TRẦN ĐỨC NGỌC * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN

HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN
TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (1)
I-Nguyên hàm các hàm hữu tỷ
1/Nguyên hàm các hàm số Đa thức : Dựa vào định nghĩa,tính chất và công thức nguyên hàm các hàm số
thường gặp để tính
Ví dụ 1 : Tính I = =
2/Nguyên hàm các hàm số phân thức :Ta tìm cách tính các nguyên hàm dạng

I = Trong đó h(x) , g(x) là các đa thức biến số x .

*1.Nếu bậc của tử thức cao hơn hay bằng bậc mẫu thức thì chia đa thức ,tách hàm số thành tổng hai hàm số
: một hàm số đa thức và một hàm phân thức có bậc của tử thức nhỏ hơn bậc mẫu thức ,hoặc tử thức là hằng số :

= q(x) + .Trong đó q(x) , r(x) là các đa thức .Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số.Hàm số

y = nếu có thể được thì biến đổi y = = + với bậc p(x) bé hơn bậc r(x) họăc p(x) là hằng

số.Ta có : = + = +
Như vậy ta chỉ cần phải nghiên cứu cách tính các nguyên hàm I = , I = Bậc r(x) ,
bậc p(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) . p(x) là hằng số.

*2. Tính các nguyên hàm I = .Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số.

+ Dạng I: với a .(Đổi biến số - đặt U = ax+b). I
1
= = = ln + C .

Ví dụ2 : I = = = ln(5x+3) + C


3
=

a -Nếu x
2
+bx+c = (x- x
1
)(x- x
2
) Thì dùng phương pháp “hệ số bất định” tìm 2 số A , B sao

cho : = + .

Do đó : I
3
= = A + = Aln(x-x
1
)+Bln(x-x
2
) + C

Ví dụ 4: I = = - = ln + C Vídụ 5: I = = dx =

= - ( - ) = ln - .ln + C

b -Nếu x
2

TRẦN ĐỨC NGỌC * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN

HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN
TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (3)
Ta biến đổi: = = +

Do đó: = + (q - )

= + C + (q - )

Nguyên hàm : J = dạng I = , với u = x + và a =

Nguyên hàm I = . Đặt u = atant ,Thì: du = a(1 + tan
2
t)dt và u
2
+a
2
= a
2
(1 + tan
2
t) Ta có:

I = = = = + C

Vídụ 7: I= = - 8 = - 8

+ Dạng IV : I
4

+bx+c = (x- x
1
)(x- x
0
)
2
với x
1
x
0
(1 nghiệm kép và 1 nghiệm đơn)

Thì bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : = +

Do đó : I
4
= = + = + .dx

= A + +
TRẦN ĐỨC NGỌC * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN

HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN
TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (4)

= A.ln + .ln + (Bx
0
-C). + D

c-Nếu g(x) = x
3

3
.Bằng phương pháp hệ số bất định tìm các số A. B,

C sao cho : = + + . Do đó ta có :

= + + = - + C.ln + D

-Nếu h(x) là hằng số A thì : = = A = + C

Trƣờng hợp tử thức là bậc 2 thì có thể biến đổi =

Do đó: I
4
= = + .Với p
1
= p- ; q
1
= q -

Nguyên hàm dạng : j = đã nêu rõ ở trên

Bài tập: Tính nguyên hàm

1. I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I =

TRẦN ĐỨC NGỌC * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN

HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN
TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (5)
2. I = ; I = ; I = ; I = ; I =


c/ I = Chú ý: =(x-1)(x-2)(x-3)

d/ I = Chú ý : = (x+1)(x
2
-x+1)

8. I =

Hướng dẫn : Tìm các số A,B,C,D,E để = + +

9. I = = .dx ( , đặt x = tant )

TRẦN ĐỨC NGỌC * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN

HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN
TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (6)
10.I = (Hd:I = +3 - 2 )

11. I = I = I = I =

12.I = I = I = = - 3 +

13. I = (Hd : I= 3 - + 5 )

14. I = (Hd : I= 3 + 2 - 2 )

15. I = (Hd : I= 3 + 5 - 7 )

16. I = (Hd : I = 2 + 5 - 3 )

- Chú ý :Có thể hạ bậc biến đổi tích thành tổng đưa nguyên hàm của f(x) = cos
m
x.sin
n
x về nguyên hàm
hàm hợp.Chẳng hạn ví dụ 1 ở trên ta giải cách 2:

I = = I = =

= = - cos3x - cosx + C

Ví dụ 2 : I =

- Đặt sinx = t Ta có I = = I = = =

Ví dụ 3 : I = (Mặc dù đặt sinx = t cũng được nhưng cosx ở mẫu thức ,đặt cosx = t)

-Đặt cosx = t.Ta viết I = = I = = I =

= = t
2
- ln +C

Ví dụ 4 : I = = = - = - ln + C (Đã đặt cosx = t)

2/Nếu số mũ của cả cosx và sinx đều là số chẵn (m và n đều chẵn)
*Nếu f(x) = cos
m
x.sin
n


-Ta có : I = = I = = - .d(cotx) = - . cot
3
x + C

(Thực chất đã đặt cotx = t nhưng viết tắt cho gọn thôi)

Ví dụ 8 : I = (Vì mẫu thức là cos
2
x,chính là mẫu thức của tan
2
x nên ta đặt tanx = t)

-Ta có : I = = I = =

= - = +

= tanx + sin2x - x + C

3.Nguyên hàm của hàm số f(x) = Với h(x) và g(x) là các biểu thức bậc nhất của sinx,cosx
*Nếu thay cosx bởi (-cosx) mà hàm số đổi dấu thì đặt sinx = t
*Nếu thay sinx bởi (-sinx) mà hàm số đổi dấu thì đặt cosx = t
*Nếu thay cosx bởi (-cosx) và sinx bởi (-sinx) mà hàm số không đổi thì đặt tanx = t hoặc cotx = t
-Có những bài dùng phương pháp liên kết.
1/ Nếu thay cosx bởi (-cosx) mà hàm số đổi dấu thì đặt sinx = t

Ví dụ 9 : I = = = =

= - = … (Nguyên hàm Hàm số hữu tỷ)



5/Tính nguyên hàm : I =

-Tách tử thức thành một tổng: có một số hạng là đạo hàm của mẫu thức .Ta viết :

I = = . dx

= + = + .dx

= ln + .dx .

Tính : J = .dx . xét các dấu hiệu như đã trình bày ở trên .Nếu không thỏa mãn

dấu hiệu nào(trong 1/ , 2/ , 3/) thì đặt t = tan

Ví dụ 13 : I = J = k =

6/ Nguyên hàm của f(x) = cosax.cosbx , f(x) = cosax.sinbx , f(x) = sinax.sinbx :
-Biến đổi tích thành tổng , đưa về nguyên hàm của hàm hợp

Ví dụ 14 : Tính I = = .sin8x + .sin2x) +C
TRẦN ĐỨC NGỌC * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN

HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN
TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (10)

Ví dụ 15 : Tính I =

=



-Do đó : I = 2. = 2. = …(Đây là nguyên hàm của hàm hữu tỷ)

Ví dụ 3 : I = . Đặt = t

2.Nguyên hàm của hàm số phân thức chứa nhiều căn,bậc khác nhau :bậc m, n …mà biểu
thức trong căn giống nhau : Đặt căn bậc r là t với r là BSCNN của m,n …
Ví dụ 4 :
I = . Đặt = t , ta có x + 1 = t
6
nên dx = 6 t
5
dt, = t
3
, = t
2TRẦN ĐỨC NGỌC * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN

HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN
TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (11)
Do đó : I = = 6 (đây là nguyên hàm hàm hàm số hữu tỷ)

3.Nguyên hàm của hàm số phân thức chỉ chứa x và
với a,b,c R , a 0:
-Đổi biến số đƣa về nguyên hàm của hàm số Lƣợng giác (Đã nói trên)

-Ta có = . Gọi (x + ) = u và = =
Hai trường hợp :

t).dx =

2/Tính I
2
= =

= A + (B - ) = A +(B - )I
1TRẦN ĐỨC NGỌC * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN

HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN
TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (12)
(Trong đó: I
1
= .Đặt t = x + + nói ở trên )

Ví dụ 6 : I = = .dx = - =

= - = .ln -
(Tính Xem ví dụ 5 ngay phía trên)
3/Tính I
3
= . Đặt (x – d ) = đưa về dạng I
1
nói trên .

Ví dụ 7 : Tính : I =
Đặt x-2 = thì dx = - dz , (x -2) = . =

=

(đặt t = t = x + + như đã nói rõ ở trên )
Ví dụ 8 :
Tính tích phân I = (Ở đây P
2
(x) = x
2
-1 Vì n = 2, Q
1
(x) = ax + b )
Lời giải:
Gỉa sử : = (ax+b). + . .

- Ta phải tìm các hệ số: a, b,
TRẦN ĐỨC NGỌC * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN

HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN
TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (13)
- Lấy đạo hàm hai vế ……. (Đã nói ở trên)

BÀI TẬP :
1/ I = I = I = I =

2/ I = I = .dx I = I = .dx với a > 0

3/ I = .dx I = I = I =

4/ .dx , .dx = .dx ;


TRẦN ĐỨC NGỌC * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (14)

14/ ; ; Tìm nguyên hàm của f(x) = ; .cos4x.dx

15/ -sinxcosx-co x).dx ; ; .dx ;

16/Chứng minh rằng : < dx < 2 ;Tính: ,

BÀI TẬP VỀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ

1/Chứng minh rằng : Nếu y = f(x) là hàm số chẵn , a > 0 thì = 2
Bài giải :
Xét I = . Đặt t = -x thì : dx = -dt .Do f(x) là hàm chẵn nên f(-x) = f(x) tức là f(t) = f(x)

Vậy f(x)dx = - f(t)dt. Khi x = - a thì t = a , Khi x = 0 thì t = 0

Suy ra : = = = .

Vì thế = + = + = 2 (đpcm)

2/Chứng minh rằng : Nếu y = f(x) là hàm số lẻ , a > 0 thì: = 0
Bài giải :

Xét I
1
= . Đặt t = -x thì : dx = -dt .Do f(x) là hàm lẻ nên f(-x) = -f(x) tức là f(x) = -f(t)

Vậy f(x)dx = f(t)dt. Khi x = - a thì t = a , Khi x = 0 thì t = 0

Suy ra : = = - = - .