SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị : THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
Mã số:
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“VAI TRÒ CỦA SAI LẦM VÀ CHƯỚNG NGẠI VỚI VIỆC
TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC TRONG DẠY HỌC
MÔN TOÁN”

Người thực hiện: TRẦN ANH DŨNG
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục 
- Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN 
(Ghi rõ tên bộ môn)
- Lĩnh vực khác: 
(Ghi rõ tên lĩnh vực)
Năm học: 2011 – 2012
BM 01-Bia SKKN
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: TRẦN ANH DŨNG
2. Ngày tháng năm sinh: 24 – 10 – 1957
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ: 151/29 – KP3 – P. Trung Dũng – Biên Hòa
5. Điện thoại: (CQ) 3828107 ; (ĐTDĐ) : 0903902179
6. Fax: E-mail: [email protected]
7. Chức vụ: Hiệu trưởng
8. Đơn vị công tác: THPT chuyên Lương Thế Vinh
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc sĩ
- Năm nhận bằng: 2006

lớp của trường THPT chuyên Lương Thế Vinh (Đồng Nai).
- SKKN đã giới thiệu một cách phân loại sai lầm của HS trong học tập môn Toán,
một cách tiếp cận mới vấn đề phổ biến này trong hoạt động DH.
III. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
- Đề tài có tính ứng dụng cao, cung cấp cho các nhà sư phạm một công cụ
nghiên cứu không chỉ trong phạm vi giảng dạy Toán mà có thể vận dụng trong
nghiên cứu hoạt động giảng dạy các bộ môn khác.
- Đề tài đã được thẩm định, phản biện của Hội đồng khoa học trường ĐHSP
TPHCM tại Hội thảo khoa học của học viên Cao học và NCS tháng 12/2011. Kết
quả nghiên cứu của đề tài đã được đăng tại :
• Tạp chí Khoa học- ĐH Vinh (Số tháng 4/2012)
• Tạp chí Giáo dục- Bộ GD-ĐT (Kỳ 2- tháng 4/2012)
IV. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
3
Đề tài có phạm vi áp dụng trong thực tiễn đạt hiệu quả, đã phổ biến áp dụng
trong ngành Giáo dục và có khả năng áp dụng trong phạm vi rộng đạt hiệu quả.
Trên cơ sở đó, đề xuất:
- Triển khai đề tài trong hoạt động của Hội đồng bộ môn Toán của ngành.
- Triển khai đề tài trong hoạt động của Hội đồng bộ môn KHTN của ngành.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Lê Thị Hoài Châu, Lê văn Tiến, Vai trò của phân tích khoa học luận lịch sử
toán học trong nghiên cứu và thực hành dạy – học môn toán, Đề tài NCKH
cấp Bộ, ĐHSP TPHCM, 2003.
2. Trần Anh Dũng, Khái niệm liên tục – một nghiên cứu khoa học luận và
didactic, Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học, ĐHSP TP Hồ Chí Minh, 2005.
3. Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn Toán, NXB ĐHSP Hà Nội,
2009.
4. Đào Tam (Chủ biên), Trần Trung, Tổ chức hoạt động nhận thức trong dạy
học môn Toán ở trường trung học phổ thông, NXB ĐHSP Hà Nội, 2010.
5. Lê Văn Tiến (2006). Sai lầm của học sinh, nhìn từ góc độ các lí thuyết về

Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành 
1. Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây)
- Có giải pháp hoàn toàn mới 
- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có 
2. Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây)
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng
trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại
đơn vị có hiệu quả 
3. Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Tốt  Khá  Đạt 
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và
dễ đi vào cuộc sống: Tốt  Khá  Đạt 
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả
trong phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt 
Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác nhận của
người có thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi bản sáng kiến kinh
nghiệm.
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
5
VAI TRÒ CỦA SAI LẦM VÀ CHƯỚNG NGẠI VỚI VIỆC TỔ
CHỨC HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC TRONG DẠY HỌC
MÔN TOÁN
Trần Anh Dũng
Đã có nhiều công trình nghiên cứu về sai lầm (SL) của học sinh (HS) trong dạy
học môn toán. Trong bài báo của mình [5], tác giả Lê Văn Tiến cũng đã trình bày
một tiếp cận SL từ góc độ của thuyết hành vi và thuyết kiến tạo. Cùng quan điểm

Phép chứng minh là một kiểm chứng trí tuệ đặc biệt.
Theo [7], có ba kiểu kiểm chứng thực dụng :
-Kiểm chứng kiểu “Chủ nghĩa kinh nghiệm ngây thơ” : Khẳng định chân lí của
một mệnh đề bằng cách kiểm tra một vài trường hợp cụ thể và không đặt ra vấn đề
khái quát hóa.
1
Định đề này khẳng định rằng trong lịch sử các môn khoa học, SL không phải là một “tai nạn”, SL không nằm
ngoài kiến thức mà chính là biểu hiện của kiến thức, nó góp phần tạo nên nghĩa của kiến thức.
6
-Kiểm chứng kiểu “Thí nghiệm quyết đoán” : khẳng định chân lí của một mệnh đề
bằng cách kiểm tra một vài trường hợp mà HS cho là ít riêng biệt nhất. Cách làm
này về cơ bản vẫn thuộc kinh nghiệm nhưng khác với chủ nghĩa kinh nghiệm ngây
thơ ở chỗ vấn đề khái quát hoá được đặt ra.
-Kiểm chứng kiểu “Thí dụ đại diện và thực nghiệm thầm trong óc” : kiểm chứng
này cố trình bày rõ ràng những lý lẽ về chân lí của mệnh đề, bằng cách thực hiện
những thao tác trên một đối tượng đặc biệt, nhưng lại được chủ thể xem như
(tưởng tượng như) không có tính đặc biệt và riêng rẽ mà đại diện cho cả một lớp cá
thể.
Trong dạy học toán học, do hạn chế về phát triển cá thể, người ta không thể đòi hỏi
HS tiểu học biết sử dụng các kiểm chứng trí tuệ nói chung và chứng minh nói
riêng. Như vậy, nếu yêu cầu HS tiểu học xác nhận một mệnh đề đúng hay sai, thì
các em thường kiểm tra qua một vài trường hợp đặc biệt hoặc quan sát, đo trên
hình vẽ và kết luận. Nhưng từ quan điểm khoa học toán học, đó là những cách hợp
thức hóa sai!
2. SL có nguồn gốc từ chướng ngại
Các đặc trưng sau đây hình thành nên điều kiện cần của một chướng ngại (CN)
theo quan điểm của Didactic toán:
- CN là một kiến thức, một quan niệm, chứ không phải là một khó khăn hay sự
thiếu kiến thức.
- Kiến thức này cho phép tạo ra câu trả lời phù hợp trong một số tình huống thường

lim f (x)
→ +

2) Xét tính liên tục của hàm số tại x
0
= 1
Nghiên cứu bài làm của 79 HS, chúng tôi thấy có đến 76/79 HS có lời giải sai như
sau:
x 1 x 1
lim f (x) 1; lim f(x) 1; f (1) 1
+ −
→ →
= = =
. Vì
x 1 x 1
lim f (x) lim f(x) f (1) 1
+ −
→ →
= = =
nên hàm số
liên tục tại x
0
= 1.
7
• Các quan điểm về sai lầm :
+ Theo quan điểm của thuyết hành vi thì SL này do HS bất cẩn hoặc không nắm
vững kiến thức.
+ Theo quan điểm của Didactic toán, SL này có nguồn gốc từ một chướng ngại, đó
là khái niệm “vô hạn” hoặc cũng có thể xem là chướng ngại do khái niệm “vô cùng
bé” . Ta cũng gặp hiện tượng này trong lịch sử Toán học. Trong nhiều thế kỉ, các

thành ở HS những qui tắc của hợp đồng dạy học sau đây :
- Một bài toán được đặt ra phải có câu trả lời (đáp số).
- Để có được đáp số cần sử dụng tất cả các giả thiết đã cho và cần sử dụng các kiến
thức vừa được học (trong trường hợp này là các phép toán cộng, trừ, nhân và chia
– tùy theo cấp lớp).
- HS không có trách nhiệm về tính hợp lí của bài toán, mà chính giáo viên phải
đảm bảo điều đó.
8
Như vậy, HS phạm phải SL không phải vì không nắm vững kiến thức được giảng
dạy trong lớp. Bằng chứng là các em vẫn thành công trong việc giải các bài toán
mà chương trình yêu cầu ở cấp độ này. SL xuất phát từ những qui tắc của hợp đồng
dạy học.
Ví dụ 3 : HS được đề nghị giải bài toán sau :
Cho hàm số f(x) =
2
x 2x 1 2 x 0
1
0 x 2
x

− − + − ≤ ≤


< ≤


1) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [-2; 2].
2) Với điều kiện nào của m thì phương trình f(x) = m có nghiệm trên [-2; 2].
Các lời giải được dự đoán (S
1i

x 2;2
x 2;2
1
max f (x) 2; min f(x)
2
∈ −
∈ −
= =
.
+ S
1b
: Tính đạo hàm như trên, lập bảng biến thiên nhưng bỏ qua tính chất gián
đoạn tại điểm x = 0. Kết quả :
[ ]
[ ]
x 2;2
x 2;2
1
max f (x) 2; min f(x)
2
∈ −
∈ −
= =
.
+ S
1c
: Lập bảng biến thiên với tính chất gián đoạn của hàm số tại điểm x = 0 và
x 0
lim f(x)
→ +

m
2
≥
.
+ S
2c
: Giải phương trình trong từng trường hợp.
+ S
2d
: Không trả lời hoặc có lời giải khác (dùng đồ thị,…)
Thực nghiệm được tổ chức trên 128 HS lớp 12 của trường THPT Lương Thế
Vinh và THPT Hàn Thuyên (TPHCM). Kềt quả thu thập được như sau :
Trả lời
Câu
S1a S1b S1c S1d S2a S2b S2c S2d
1 104
81,25%
13
10,15%
4
3,12%
7
5,46%
2 40
31,25%
2
1,56%
13
10,15%
73

x 2x 2 khi x
2
2 x khi x 1

+ − <



− ≥

1) Tìm
x 1
lim f (x)
→ −
;
x 1
lim f (x)
→ +
. Hàm số f(x) có liên tục tại x = 1 hay không ?
2) Lập bảng giá trị của hàm số.
3) Vẽ đồ thị của hàm số
Bài toán này được thực nghiệm trên một nhóm 65 HS lớp 11 của trường THPT
chuyên Lương Thế Vinh. Chúng tôi ghi nhận được 2 sai lầm có ý nghĩa, cần được
chú trọng trong quá trình giảng dạy.
+ SL 1 : HS có lời giải :
x 1
lim f (x)
→ −
=
( )

0
, trong đó f(x) là hàm số cho bởi hai
10
công thức và x
0
là một điểm biên, HS chỉ cần tìm giới hạn hai bên tại x
0
và so sánh
với f(x
0
), họ không có trách nhiệm xét tính chất của miền xác định”.
SL2 do một qui tắc HĐDH hình thành ở lớp 10 : “để vẽ đồ thị hàm số, ta xác định
một số điểm rồi nối chúng lại thành một đường liền nét.”
+ Theo quan điểm của thuyết hành vi : các SL trên do không nắm vững kiến thức
hoặc thiếu kỹ năng.
Đến đây, ta có thể đưa ra một mô tả sau đây về khái niệm hợp đồng dạy học :
“Hợp đồng dạy học là tập hợp những qui tắc phân chia và hạn chế trách nhiệm
của học sinh và giáo viên, đối với một tri thức toán học được giảng dạy”.

4. Vai trò của Sai lầm và Chướng ngại trong thiết kế tình huống dạy học
Trong học tập bởi sự thích nghi với tình huống, kiến thức được xây dựng ở học
sinh (HS) thường mang tính địa phương, có thể được HS gắn một cách thiếu lôgic
với những kiến thức khác. Nó cũng có tính tạm thời và có thể hoàn toàn không
chính xác [8].
Quan điểm này được Brousseau khẳng định với một cách nhìn mới về sai lầm
của HS:
“Sai lầm không phải chỉ là hậu quả của sự không biết, không chắc chắn, ngầu nhiên của
những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà còn có thể là hậu quả
của những kiến thức đã có từ trước, những kiến thức đã từng có ích đối với việc học tập
trước kia, nhưng lại là sai, hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội

của Brousseau về sai lầm thì một số kiến thức sai là cần thiết cho học tập. Con
đường đi của HS phải trải qua việc xây dựng tạm thời từ một số kiến thức sai, và
việc ý thức được đặc trưng sai lầm này sẽ là yếu tố cấu thành nên nghĩa của tri thức
mà việc dạy-học nhắm đến. Brousseau gọi những điểm buộc phải trải qua này là
chướng ngại khoa học luận.
Những chướng ngại SP mang tính đặc thù của hệ thống giáo dục, vì vậy có thể
được tìm thấy trong việc phân tích đối tượng tri thức trong hệ thống mà nó tồn tại.
Theo GS Nguyễn Bá Kim [3, tr. 225], chướng ngại SP là chướng ngại có thể tránh
được bằng cách thực hiện những biện pháp chuyển hóa SP một cách hợp lí.
Cơ sở lý luận trên cho thấy việc phát hiện các sai lầm và chướng ngại cũng như
phân loại được chúng có vai trò quan trọng đối với người GV trong việc thiết kế
các tình huống dạy học (DH) nhằm đạt được dụng ý sư phạm. Trong DH môn
Toán, chúng tôi cho rằng những sai lầm của HS cần được phân tích rõ để phát hiện
chướng ngại và từ đó có giải pháp sư phạm thích hợp. Mặt khác, theo chúng tôi,
các chướng ngại xuất hiện trong học tập môn toán thường chỉ tập trung ở ba loại :
chướng ngại KHL; chướng ngại SP và chướng ngại thuộc về phát triển cá thể.
Chúng tôi chỉ trình bày những quan điểm về hai loại chướng ngại đầu tiên.
Chướng ngại KHL cần được GV nghiên cứu nhằm xây dựng một đồ án DH tri
thức mới theo quan điểm dạy học kiến tạo. Nghĩa là sao cho HS có thể đạt được tri
thức mới theo chu trình : Dự báo Kiểm nghiệm  Thất bại  Thích nghi 
Kiến thức mới.
Mặt khác, theo quan điểm về chướng ngại KHL của didactic toán, để tìm dấu
vết của chướng ngại, Brousseau đã đề nghị một tiến trình như sau :
- Xác định những sai lầm thường xuyên tái diễn, chứng tỏ rằng chúng có thể
nhóm lại quanh một quan niệm.
- Nghiên cứu xem chúng có tồn tại hay không trong lịch sử xây dựng khái niệm
toán học.
- Đối chiếu những chướng ngại lịch sử với những chướng ngại học tập để nếu
có thể thì xác định các đặc trưng khoa học luận của chướng ngại [2, tr. 12]
GS Đào Tam, Trần Trung trong [5] đã phân loại các chướng ngại SP theo ba

tượng quen thuộc. Đó là sin
2
x+sin
2
y–sinx–siny = sinx.siny–1, thay vì phương trình
dạng ax
2
+bx+c = 0, hay ít ra cũng dễ dàng biến đổi về dạng này, chẳng hạn 5x
2
+
7x – 3 = 3x + 9.
Để giải bài toán, HS phải thực hiện đồng thời hai hoạt động đồng hóa và điều ứng,
thể hiện qua lời giải sau :
sin
2
x+sin
2
y–sinx–siny = sinx.siny–1⇔ sin
2
x+sinx(siny+1)+sin
2
y–siny+1= 0 (1)
Điều kiện có nghiệm của PT (1) là :
∆ = (siny + 1)
2
– 4(1 – siny + sin
2
y)
= -3(siny-1)
2

thích nếu chúng ta thừa nhận sự thiếu quan tâm khai thác các ứng dụng của công
nghệ thông tin vào thực tiễn (dạy và học toán).
Kết hợp các quan điểm của lý thuyết kiến tạo, didactic toán và thuyết hành vi,
chúng tôi tổng hợp các nguồn gốc của sai lầm của HS hoặc phân loại chướng ngại
cũng như giải pháp trong bảng tóm tắt sau :
Ví
dụ
Phân loại sai lầm Phân loại
chướng ngại
Vận dụng vào tình huống DH khái
niệm hoặc giải pháp SP
1
Thuyết hành vi :
Loại 1 (do bất cẩn)
Không Bổ sung các kiến thức nhằm hạn chế
các SL liên quan đến khái niệm giới
hạn
Didactic Toán :
Loại 5 (do chướng ngại)
Chướng ngại KHL
về khái niệm vô
hạn hoặc vô cùng
bé
3
Thuyết hành vi :
Loại 3 (do không nắm
vững kiến thức)
Không Có thể tránh được chướng ngại này
bằng cách thay đổi qui trình giảng
dạy khái niệm GTNN, GTLN của

liên tục trên một đoạn, hoặc :
- Sử dụng công nghệ thông tin trong
giảng dạy Giải tích 11 (*)
14
Đề làm rõ mục (*) trong bảng trên, chúng tôi minh họa bằng cách mô phỏng đồ thị
hàm số f(x) =
cos x cos3x
2cos x sin x 3
+
+ +
trên một đoạn chu kỳ của nó với việc sử dụng phần
mềm Geogebra để chỉ ra sự tồn tại của GTNN và GTLN của hàm số.
5. Kết luận
Những lý luận tiên tiến về DH không chủ trương HS tránh SL mà trái lại, HS
được đặt vào các trường hợp mà họ sẽ phạm SL, việc vượt qua SL, chướng ngại là
con đường tốt nhất hình thành kiến thức mới.
Xác định được sai lầm và nhận dạng được chướng ngại có một vai trò quan
trọng trong tổ chức hoạt động nhận thức trong DH môn Toán. Theo chúng tôi, thầy
giáo phải quan tâm và nhận thức được tầm quan trọng của sai lầm, chướng ngại với
tư cách chúng là động lực của hoạt động nhận thức trong DH toán. Ngoài ra, đó
cũng là những hoạt động cụ thể hóa các thành phần của đồ án DH theo quan điểm
kiến tạo :
15