a
b

A
D
C
B
o
WWW.ToanCapBa.Net
HÌNH HỌC
Chương I : VECTƠ
§1: CÁC ĐỊNH NGHĨA
TÓM T ẮT LÝ THUY ẾT
Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng .
+ Vectơ có điểm đầu (gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được
kí hiệu là
AB
uuur
( đọc là vectơ AB).
+ Một vectơ xác định còn được kí hiệu là
, , , , a b x y
r r r ur

(Chú ý:
AB BA≠
uuur uuur
)
+ Vectơ – không (có gạch nối giữa 2 từ):
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơ−không, kí hiệu
0
r

uuur
• Hai vectơ bằng nhau: nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài
Nếu
a
r
bằng
b
r
thì ta viết
a
r
=
b
r
.
AA BB=
uuur uuur
=
0
r
, |
0
r
|= 0.
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Tìm
a) Tất các vectơ khác
0
r
;
b) Các vectơ cùng phương;

AB
uuur
↑↓
CD
uuur
-1-
WWW.ToanCapBa.Net
A
B

A
D
C
B
o
E
F
D
B
A
C
K
I
N
M
D
A
C
B
WWW.ToanCapBa.Net

r
Nếu
AM
uuuur
cùng phương
a
r
thì đường thẳng AM// ∆
Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và // ∆
Ngược lại, mọi điểm M thuôc m thì
AM
uuuur
cùng phương
a
r
Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau
Ta có thể dùng một trong các cách sau:
+ Sử dụng định nghĩa:
| | | |
, cuøng höôùng
a b
a b
a b

=
⇒ =


r r
r r

uuur uuur
Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành
EF=
1
2
BC=CD và EF//CD⇒ EFDC là hình bình hành⇒
EF CD=
uuur uuur
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I
là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN.
Chứng minh:
,AM NC DK NI= =
uuuur uuur uuur uur
Giải
Ta có MC//AN và MC=AN⇒MACN là hình bình hành
⇒
AM NC=
uuuur uuur
Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm
của MD⇒
DK
uuur
=
KM
uuuur
. Tứ giá IMKN là hình bình hành,
suy ra
NI
uur
=

=
a
r
;
b)
AM
uuuur
cùng phương
a
r
và có độ dài bằng |
a
r
|.
Giải
Giả sử ∆ là giá của
a
r
. Vẽ đường thẳng d đi qua A và d// ∆
(nếu A thuộc ∆ thì d trùng ∆). Khi đó có hai điểm M
1
và M
2
thuộc d sao cho:
AM
1
=AM
2
=|
a

Bài 2: Cho hai vectơ không cùng phương
→
a
và
→
b
. Có hay không một véctơ cùng phương với cả hai véctơ
đó.
Bài 3: Cho ba vectơ
→→→
cba ,,
cùng phương và đểu khác véctơ không. Chứng minh rằng co ít nhất là hai
véctơ trong chúng có cùng hướng
Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phân biệt và thẳng hàng. Trong trường hợp nào thì hai véctơ
AB
uuur
và
AC
uuur
cùng
hướng, trường hợp nào hai véctơ ngược hướng.
Bài 5: Cho tam gác ABC. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA. Hãy vẽ hình và tìm
trên hình vẽ các véctơ bằng
PQ
uuur
,
QR
uuur
,
RP

AB
uuur
;
c) Tìm các vectơ ngược hướng với
AB
uuur
;
d)Tìm các vectơ bằng với
MO
uuuur
, bằng với
OB
uuur
.
Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O
a) Tìm các vectơ khác
0
r
và cùng phương
OA
uuur
;
b) Tìm các vectơ bằng vectơ
AB
uuur
;
c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ
AB
uuur
và có:

và
AC
uuur
cùng hướng, |
AB
uuur
|>|
AC
uuur
|;
b)
AB
uuur
và
AC
uuur
ngược hướng;
c)
AB
uuur
và
AC
uuur
cùng phương;
Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng

BCPQDCNPDAMNBAAM ==== ,,,
. Chứng minh
0AQ =
uuur r

, , , , , , , ,DA AD BC CB AO OD DO FE EF
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
b)
, ,OC ED FO
uuur uuur uuur
c)+ Trên tia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB
khi đó
'BB AB=
uuur uuur
*
FO
uuur
là vectơ cần tìm
* Trên tia OC lấy C’ sao cho CC’=OC=AB
Do CC’//AB
⇒
'CC AB=
uuuur uuur

+ tương tự
Bài 8: a)
AB DC=
uuur uuur
,
OB DO=
uuur uuur
b)
| | | | | | | |OB BO DO OD= = =
uuur uuur uuur uuur
Bài 9:

,
DC
cùng hướng và
DCAB =
*
AB
và
DC
cùng hướng
⇒
AB // CD (1)
*
CDAB =

⇒
AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành
Bài 10:
AB DC=
uuur uuur
⇒
AB=DC, AB//CD
⇒
ABCD là hình bình hành
⇒

AD BC=
uuur uuur
Bài 11 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng
1
2

cùng phương;
HD: a)
AB
uuur
và
AC
uuur
cùng hướng, |
AB
uuur
|>|
AC
uuur
| khi C nằm giữa A và B
b)
AB
uuur
và
AC
uuur
ngược hướng, khiA nằm giữa B và C
c) Cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng
+ cùng hướng: nếu |
AB
uuur
|>|
AC
uuur
| thì theo a); nếu |
AB


0AQ =
uuur r
-6-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
BÀI TẬP KHÁI NIỆM VECTƠ
1. Cho ∆ABC. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác
0
r
2. Cho tứ giác ABCD
a/ Có bao nhiêu vectơ khác
0
r
b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
CMR :
→
MQ
=
→
NP
1. Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA.
a/ Xác định các vectơ cùng phương với
→
MN
b/ Xác định các vectơ bằng
→
NP
2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ
→

4. Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng
→
MK
=
→
CP
và
→
KL
=
→
BN
a/ CMR :
→
KP
=
→
PN
b/ Hình tính tứ giác AKBN
c/ CMR :
→
AL
=
0
r
-7-
WWW.ToanCapBa.Net

A
C

=
→
a
,
→
BC
=
→
b
.
Khi đó
→
a
+
→
b
=
→
AC
Phép lấy tổng của 2 véctơ đ gọi là phép cộng véctơ .
•
Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có :
AB
uuur
+
BC
uuur
=
AC
uuur

a
)=
0
r
+ Mọi vectơ đều có vectơ đối, ví dụ
AB
uuur
có vectơ đối là
BA
uuur
nghĩa là

AB
uuur
= -
BA
uuur
+ vectơ đối của
0
r
là
0
r
.
3. Hiệu các vectơ (phép trừ)
Định nghĩa:
→
a
-
b

a b+
r r
) +
c
r
=
(a b+
r r
+
c
r
)
+
a
r
+
0
r
=
0
r
+
a
r
=
a
r
+
a
r

cùng hướng.
+
a
r
↑↓
b
r
và |
b
r
| ≥ |
a
r
| ⇒ |
a
r
+
b
r
|=|
b
r
|−|
a
r
|
+
a
r
=

c
r
,
c
r
=
b
r
−
a
r
+
a
r
−(
b
r
+
c
r
)=
a
r
−
b
r
−
c
r
;

; ;NC MC AM CD AD NC+ + +
uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur
b) Chứng minh :
AM AN AB AD+ = +
uuuur uuur uuur uuur
Giải:
-8-
WWW.ToanCapBa.Net
A
B C
D
WWW.ToanCapBa.Net
a) + Vì
MC AN=
uuuur uuur
nên ta có
NC MC+
uuur uuuur
=
NC AN+
uuur uuur
=
AN NC+
uuur uuur
=
AC
uuur
+Vì
CD BA=
uuur uuur

uuur uuur uuur
Vậy
AM AN AB AD+ = +
uuuur uuur uuur uuur
Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O.
Chứng minh:
0OA OB OC OD OE OF+ + + + + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
Giải
Vì O là tâm của lục giác đều nên:
0; 0; 0OA OD OB OE OC OF+ = + = + =
uuur uuur r uuur uuur r uuur uuur r
⇒
đpcm
Bài 3: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O.
a) Chứng minh rằng vectơ
;OA OB OC OE+ +
uuur uuur uuur uuur
đều cùng phương
OD
uuur
b) Chứng minh
AB
uuur
và
EC
uuur
cùng phương.
Giải
a) Gọi d là đường thẳng chứa OD

uuur
Bài 4: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.
a) Tìm
; ; ;AM AN MN NC MN PN BP CP− − − −
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur
.
b) Phân tích
AM
uuuur
theo hai vectơ
;MN MP
uuuur uuur
.
Giải
a)
AM AN−
uuuur uuur
=
NM
uuuur
MN NC−
uuuur uuur
=
MN MP−
uuuur uuur
=
PN
uuur
(Vì
NC MP=

Giải
Vì ABCD là hình thoi cạnh a và
·
BAD
=60
0
nên AC=
3a
và BD=a. Khi đó ta có :
| | 3AB AD AC AB AD AC a+ = => + = =
uuur uuur uuur uuur uuur
| | 3BA BC CA AB AD CA a− = ⇒ + = =
uuur uuur uuur uuur uuur
-9-
WWW.ToanCapBa.Net
B
A C
D
WWW.ToanCapBa.Net
3
| |
2
a
OB DC DO DC CO OB DC CO− = − = ⇒ − = =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo.
Tính
| |; | |;| |OA CB AB DC CD DA− + −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Giải

2) Biến đểi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng.
3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh.
Bài 7: Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì.
Chứng minh rằng:
=+
→−→−
CDAB
→−→−−
+ CBAD
(theo 3 cách)
Giải
Cách 1: (sử dụng qui tắc tổng) biến đổi vế trái
AB CD AD DB CB BD AD CB BD DB AD CB+ = + + + = + + + = +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Cách 2: (sử dụng hiệu)
AB AD CB CD DB DB− = − ⇔ =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Cách 3: Biến đổi vế trái thành vế phải
Bài 8: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F.
Chứng minh:
AB BE CF AE BF CD+ + = + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Giải
VT =
AB BE CF AE ED BF FE CD DF+ + = + + + + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
=
AE BF CD ED DF FE+ + + + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
=

VT =
OA OB OC+ +
uuur uuur uuur
=
OM MA ON NB OP PC+ + + + +
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
=
OM ON OP MA NB PC+ + + + +
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
Mà
NB NM NP= +
uuur uuuur uuur
-10-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
⇒
MA NB PC+ +
uuur uuur uuur
=
0MA NM NP PC NA NC+ + + = + =
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur r
⇒
VT=
OM ON OP+ +
uuuur uuur uuur
=VP⇒ đpcm
BÀI TẬP PHÉP CỘNG, TRỪ CÁC VECTƠ
1. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR :
→
AC

CMR :
→
AC
+
→
BF
+
→
GD
+
→
HE
=
→
AD
+
→
BE
+
→
GC
+
→
HF
8. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR :
a/
→
DO
+
→

MA
+
→
MC
=
→
MB
+
→
MD
(với M là 1 điểm tùy ý)
9. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB.
CMR :
→
OD
+
→
OC
=
→
AD
+
→
BC
10. Cho ∆ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý
→
'AA
,
→
'BB

 b/ Dựng
u
r
=
→→
+ACAB
. Tính 
u
r

13. Cho ∆ABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a
a/ Dựng
v
r
=
→→
+ACAB
. b/ Tính 
v
r
.
14. Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ
, , ,OA OB OC OD
uuur uuur uuur uuur
có độ dài bằng
nhau và
OA OB OC OD+ + +
uuur uuur uuur uuur
= 0. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
2. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR :

=
0
r
b/
→
AD
−
→
FC
−
→
EB
=
→
CD
−
→
EA
−
→
FB
c/
→
AB
−
→
DC
−
→
FE

BC
=
0
r
c/
→
MB
−
→
MC
+
→
MA
=
0
r
d/
→
MA
−
→
MB
−
→
MC
=
0
r
e/
→

→
AB
. Tính 
u
r

18. Cho ∆ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.
a/ Tính 
→→
−ACAB
 b/ Tính 
→
BA
−
→
BI

19. Cho ∆ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính
→→
−ACAB

BÀI TẬP THÊM
Bài 1 : Cho A,B,C,D tìm các véctơ sau:
a)
v AB DC BD CA
→
= + + +
uuur uuur uuur uuur
b)
DABCCDABm +++=

theo
a
r
và
b
r
Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính 
BC
uuur
+
AB
uuur
 ; 
AB
uuur
-
AC
uuur
 theo a.
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm ; AD = 6cm . Tìm tập hợp điểm M , N thỏa
a) 
AO
uuur
-
AD
uuur
= 
MO
uuuur


BE
uuur
+
CF
uuur
=
AE
uuur
+
BF
uuur
+
CD
uuur
c)
AB
uuur
+
CD
uuur
+
EF
uur
+
GA
uuur
=
CB
uuur
+

. Khi nào điểm M nằm trên đường
phân giác trong của góc AOB? Khi nào N nằm trên đường phân giác ngoài của góc AOB ?
Bài 7 : Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh :
OOEODOCOBOA =++++
Bài 8 : Cho tam giác ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’
là điểm đối xứng của A qua C. với một điểm O bất kỳ, ta có:
''' OCOBOAOCOBOA ++=++
Bài 9: Cho lụ giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR :
a)
OA
uuur
+
OB
uuur
+
OC
uuur
+
OD
uuur
+
OE
uuur
+
OF
uuur
=
0
r
b)

ME
uuur
=
MB
uuur
+
MD
uuuur
+
MF
uuur
( M tùy ý )
Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD
a) Chứng minh rằng
HB
uuur
+
HC
uuur
=
HD
uuur
b) Gọi H’ là đối xứng của H qua O .Chứng minh rằng
HA
uuur
+
HB
uuur
+
HC

c
r
=k
a
r
(gọi là phép một số thực với 1 vectơ). Khi đó:
+
c
r
cùng phương
a
r
+
c
r
cùng hướng
a
r
khi k>0
+
c
r
ngược hướng
a
r
khi k<0
+ |
c
r
|=| k

+
b
r
)= k
a
r
+k
b
r
+ (k+h)
a
r
= k
a
r
+h
b
r
+ k(h
a
r
)= (kh)
a
r
+ 1.
a
r
=
a
r

:
a
r
=k
b
r
(∀
a
r
,
b
r
;
b
r
cùng phương
a
r
≠
0
r
⇔ ∃ 0≠k ∈
¡
:
b
r
=k
a
r
)

a
r
+n
b
r
.
G
I
C
B
A
CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Xác định vectơ k
a
r
PP: Dựa vào định nghĩa vectơ k
a
r
và các tính chất
1) Cho
a AB=
r uuur
và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho :
3 ; 4OM a ON a= = −
uuuur r uuur r
Giải
Vẽ d đi qua O và // với giá của
a
r
(nếu O ∈ giá của

r
cùng hướng khi đó
3OM a=
uuuur r
.
− Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4|
a
r
|,
ON
uuur
và
a
r
ngược hướng nên
4ON a= −
uuur r
2) Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM=
1
5
AB. Tìm k trong các
đẳng thức sau:
) ; ) ; )a AM k AB b MA kMB c MA k AB= = =
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
Giải
A
B
M
a)
| | 1

a
r
+3
b
r
,
a
r
−2
b
r
Giải
a) −5
a
r
=(−1)(5
a
r
)=((−1)5)
a
r
= −(−5)
a
r
b) −(2
a
r
+3
b
r

u AE v AF
. Hãy phân tích các vectơ
, , ,AI AG DE DC
uur uuur uuur uuur
theo
hai vectơ
,u v
r r
.
Giải Ta có
1 1 1 1
( ) )
2 2 2 2
AI AD AE AF u v= = + = +
uur uuur uuur uuur r r
2 2 2
3 3 3
AG AD u v= = +
uuur uuur r r
0. ( 1)DE FA AF u v= = − = + −
uuur uuur uuur r r
DC FE AE AF u v= = − = −
uuur uuur uuur uuur r r
2) Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ
AM
uuuur
theo hai
vectơ
,u AB v AC= =
r uuur r uuur

+ Nếu
=
uuur uuur
AB kCD
và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD.
-14-
WWW.ToanCapBa.Net
C
A
N
M
A
B
C
D
WWW.ToanCapBa.Net
1) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK=
1
3
AC.
Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Giải
Ta có
1
2
2
4 2 (1)
BI BA BM BA BC
BI BA BC
= + = +

0BC MA+ =
uuur uuur r
,
3 0AB NA AC− − =
uuur uuur uuur r
. Chứng minh MN//AC
Giải
3 0
3 0 2
+ + − − =
+ − = ⇔ =
uuur uuur uuur uuur uuur r
uuur uuuur uuur r uuuur uuur
BC MA AB NA AC
hay AC MN AC MN AC
/ /MN AC
uuuur uuur
. Theo giả thiết
BC AM=
uuur uuuur
Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành
⇒
M không thuộc AC
⇒
MN//AC
4. Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số
1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh:
2MN AC BD= +
uuuur uuur uuur
Giải

WWW.ToanCapBa.Net
K
I
A
B
C
D
WWW.ToanCapBa.Net
' ' '
' ' ' ' ' ' ' ' '
3 ' ' ' ' ' ' '
3 ' (
VP AA BB CC
AG GG G A BG GG G B CG GG G C
GG AG BG CG G A G B G C
GG GA GB GC
= + +
= + + + + + + + +
= + + + + + +
= − + +
uuur uuur uuuur
uuur uuuur uuuuur uuur uuuur uuuuur uuur uuuur uuuuur
uuuur uuur uuur uuur uuuuur uuuuur uuuuur
uuuur uuur uuur
) ' ' ' ' ' '
3 '
G A G B G C
GG
+ + +
=

A
B
I
2 0 2 2IA IB IA IB IA IB+ = ⇔ = − ⇒ = −
uur uur r uur uur uur uur
hay IA=2IB ,
IA IB↑↓
uur uur
. Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB=
1
3
AB
3) Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho:
0GA GB GC GD+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
Giải
Ta có
2GA GB GI+ =
uuur uuur uur
, trong đó I là trung điểm AB
Tương tự
2GC GD GK+ =
uuur uuur uuur
, K là trung điểm CD

2 2
0
GA GB GC GD GI GK
hayGI GK
+ + + = +

+
→
ON
+
→
OP
Bài 2: Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi M∈BC sao cho
→
BM
= 2
→
MC
a/ CMR :
→
AB
+ 2
→
AC
= 3
→
AM
b/ CMR :
→
MA
+
→
MB
+
→
MC

OC
+
→
OD
=
0
r
c/ CMR :
→
MA
+
→
MB
+
→
MC
+
→
MD
= 4
→
MO
(với M tùy ý)
d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho
→−
MA
+
→−
MB
+

MC
+
→
MD
=
→
ME
+
→
MF
+
→
MG
+
→
MH
c/ CMR :
→→
+ACAB
+
→
AD
= 4
→
AG
(với G là trung điểm FH)
Bài 5: Cho hai ∆ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H.
CMR :
→
AD

EB
+ 2
→
EC
= 3
→
AB
c/
→
EB
+ 2
→
EA
+ 4
→
ED
=
→
EC
Bài 7: Cho ∆ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho
→
AN
=
2
1
→
NC
.
Gọi K là trung điểm của MN.
a/ CMR :

DB
,
→
CE
= 3
→
EA
. Gọi M
là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :
a/
→
AM
=
3
1
→
AB
+
8
1
→
AC
b/
→
MI
=
6
1
→
AB

uuur
Bài 11: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là một điểm trên AC sao cho NA=2NC. Gọi K là trung
điểm của MN. Phân tích
AK
uuur
theo
AB
uuur
và
AC
uuur
.
Bài 15 : Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho
5JB = 2JC.
a) Tính
, ,AI AJ theo AB AC
uur uur uuur uuur
-17-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính
AG
uuur
theo
AI
uuur
và
AJ
uur
Bài 16: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2

a/ Tính
→
PM
,
→
PN
theo
→
AB
và
→
AC
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.
Bài 18: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C,
C’ là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.
Bài 19: Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các
trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB
a/ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui
b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC
Bài 20: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tưng đtều kiện sau :
a/
MA MB=
uuur uuur
. b/
MA MB MC O+ + =
uuur uuur uuuur ur
c/ |
CΜΑ + ΜΒ=ΜΑ + Μ 
uuuur uuuur uuuur uuuur
d/

). Khi đó có duy nhất một số m sao cho
OM mi=
uuuur r
. Số m gọi là
tọa độ của m đối với trục (O;
i
r
) (nó cũng là tọa độ của
OM
uuuur
).
+ Cho vectơ
u
r
trên trục (O;
i
r
). Khi đó có duy nhất số x sao cho
u xi=
r r
. Số x gọi là tọa độ của
vectơ
u
r
đối với trục (O;
i
r
).
 Độ dài đại số của vectơ trên trục
Cho A,B nằm trên trục (O;

AB
= −AB
+ Nếu hai điểm A và B trên trục (O;
i
r
) có tọa độ lần lượt là a và b thì
AB
= b−a
 Tính chất:
+
AB CD AB CD= ⇔ =
uuur uuur uuur uuur
+
AB BC AC+ =
(hệ thức Sa−lơ)
2. Hệ trục tọa độ
x
y
→
i
→
j
O

Hệ trục tọa độ
Hệ trục tọa độ vuông góc gồm 2 trục tọa độ Ox và Oy vuông góc nhau. Vectơ đơn vị trên Ox là
i
r
, vectơ đơn vị trên Oy là
j

.
Ký hiệu
a
r
= (x ; y) hoặc
a
r
(x ; y)
Nhận xét: (hai vectơ bằng nhau) Cho
a
r
= (x ; y),
b
r
= (x’;y’)
a
r
=
b
r
{
'
'
x x
y y
=
⇔
=
 Một số tính chất: Cho
a

b
r
=(mx+nx’ ; my+ny’)
4)
a
r
//
b
r
≠
0
r
⇔ có số k thỏa
a
r
=k
b
r
⇔
{
'
'
x kx
y ky
=
=
⇔
' ' 0
' '
x y

2
OM
+ Gốc tọa độ là O(0;0)
 Tọa độ vectơ
MN
uuuur
khi biết tọa độ hai điểm M, N
Cho M(x
M
; y
M
) và N(x
N

; y
N
) ta có :
MN
uuuur
= (x
M
– x
N
; y
M
– y
N
)
 Tọa độ trung điểm: Nếu P(
;

G(x
G
;y
G
) được tính theo cơng thức:
x
G
=
3
A B C
x x x+ +
; y
G
=
3
A B C
y y y+ +

-20-
WWW.ToanCapBa.Net

O
y
x
M
2

M
1


; y
A
),B=(x
B
; y
B
) . Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k
≠
1 thì
M(x
M
; y
M
) có toạ độ là:

k
kxx
x
BA
M
−
−
=
1
;
k
kyy
y
BA
M

⇒ ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng khi
C A C A
B A B A
x x y y
x x y y
− −
≠
− −
WWW.ToanCapBa.Net
BÀI TẬP CƠ BẢN
1) Biểu diễn vectơ
a
r
dưới dạng
a xi y j= +
r r r
a)
a
r
=(1;−1) b)
a
r
=(5;0) c)
a
r
=(0;−2) d)
a
r
=(0;0)
2) Xác định tọa độ vectơ

u
r
=
j
r
3) Xác định tọa độ của vectơ
c
r
, biết:
a)
c
r
=
a
r
+3
b
r
; với
a
r
(2;−1),
b
r
(3;4). Tính độ dài của
c
r
b)
c
r

b
=(-3;1);
→
c
=(5;-2). Tìm vectơ:
a)
→→→→
−+= cbam 532
b)
→→→
+= can 1424
.
Đáp án: a)
m
ur
= (−30;21) b)
n
r
=(118;68)
5) Cho hai điểm A(−1;1), B(1;3)
a) Xác định tọa độ các vectơ
,AB BA
uuur uuur
.
b) Tìm tọa độ điểm M sao cho
(3;0)BM =
uuuur
.
c) Tìm tọa độ điểm N sao cho
(1;1)NA =

0
60BAD =
. Chọn
hệ trục tọa độ (A;
,i j
r r
), trong đó
i
r
và
AD
uuur
cùng hướng. Tìm tọa độ các véctơ
, , , .AB BC CD AC
uuur uuur uuur uuur
Đáp án: Kẻ BH⊥AD, ta có
BH=3⇒ AB=2
3
(vì ∆HAB vuông và
·
0
60BAD =
)
⇒ AH=
3
. Do đó;A(0;0), B(
3
;3), C(4+
3
;0), D=(4;0)

Đáp án:
, ,AG GM AM= = =
uuur uuuur uuuur
13) Cho A(1;3); B(0;2) ; C(4;5) . Xác định tọa độ ba điểm E,F biết rằng:
a)
ACABCE 43 −=
b)
2 4 0AF BF CF
+ − =
uuur uuur uuur r
.
Đáp án:
14) Cho A(2;t
2
); B(t;-4); C(2t;4t); D(t
2
;-1). Xaùc ñònh t ñeå
→−
AB
=
→−−
CD
.
Đáp án: t=1
15) Cho biết các véctơ sau cùng phương hay không cùng phương
a)
→
a
= (1;2) và
→

b
r
=(4;x) b)
u
r
=(0;5),
v
r
=(x;7)
c)
m
ur
=(2;3),
n
r
=(1;x) d)
a
r
=( t+1;2)
b
r
=(3;4-t).
Đáp án: a) x= 6 b) x= 0 c) x=
3±
d) t=1; t=2
17) Biểu diễn véctơ
→
c
theo hai véctơ
→

a
= (−4;3) ;
→
b
= (−2;−1).
HD: Tìm các số m, n sao cho
→
c
= m
→
a
+ n
→
b
giải hệ
1 1
2 2
1
2
a
a
c m nb
c m nb
= +


= +

Đáp án: a)
c

AD
uuur
theo
,AB AC
uuur uuur
.
Đáp án:
AD
uuur
=3
AB
uuur
+4
AC
uuur
19) Cho ba điểm A(−1;1), B(1;3), C(−2;0). Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
HD:
2AB AC= −
uuur uuur
20) Cho A(3;4), B(2;5). Tìm x để điểm C(−7;x) thuộc đường thẳng AB.
Đáp án: A, B, C thẳng hàng⇒
/ /AC AB
uuur uuur
⇒x=14
21) Cho bốn điểm A(0;1), B(1;3), C(2;7), D(0;3). Chứng minh đường thẳng AB//CD.
Đáp án: ta có
2CD AB= −
uuur uuur
⇒ AB và CD song song hoặc trùng nhau
Ta

25) Cho tam giác ABC đều cạnh a. Chọn hệ tọa độ (O;
,i j
r r
), trong đó O là trung điểm BC,
i OC↑↑
r uuur
,
j OA↑↑
r uuur
.
a) Tính tọa độ các đỉnh tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC.
c) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Đáp án: a)
3
(0; ), ( ;0), ( ;0)
2 2 2
a a a
A B C−
b)
3
( ; )
4 4
a a
E
c) Tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với trọng tâm G.
26) Cho lục giác đều ABCDEF. Chọn hệ tọa độ (O;
,i j
r r
), trong đó O là tâm của lục giác đều,

BC
uuur
c) ABCD hình bình hành
d) ABCD hình thang có hai đáy là BC, AD với BC = 2AD
28) Cho hai điểm I(1; -3), J(-2; 4) chia đọan AB thành ba đọan bằng nhau AI = IJ = JB
a) Tìm tọa độ của A, B
b) Tìm tọa độ của điểm I’ đối xứng với I qua B
c) Tìm tọa độ của C, D biết ABCD hình bình hành tâm K(5, -6)
29) Cho
a
r
=(2; 1) ;
b
r
=( 3 ; 4) và
c
r
=(7; 2)
a) Tìm tọa độ của vectơ
u
r
= 2
a
r
- 3
b
r
+
c
r

→
AB
.
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2
→
MA
+ 5
→
MB
=
0
r
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2
NA
+ 3
NB
= −1
2/ Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c.
a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
-23-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho
→
MA
+
→
MB
−

+
AD
1
=
AB
2
b/ Gọi I là trung điểm AB. CMR :
2
IAID.IC =
c/ Gọi J là trung điểm CD. CMR :
AJ.ABAD.AC =
TỌA ĐỘ TRÊN MẶT PHẲNG
5/ Viết tọa độ của các vectơ sau :
a
r
=
i
r
− 3
j
r
,
b
r
=
2
1
i
r
+

i
r
+ y
j
r
, biết rằng :
u
r
= (1; 3) ;
u
r
= (4; −1) ;
u
r
= (0; −1) ;
u
r
= (1, 0) ;
u
r
= (0, 0)
7/ Trong mp Oxy cho
a
r
= (−1; 3) ,
b
r
= (2, 0). Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ :
a/
u

AB
,
→
AC
,
→
BC
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho :
→
CM
= 2
→
AB
− 3
→
AC
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho :
→
AN
+ 2
→
BN
− 4
→
CN
=
0
r
9/ Trong mp Oxy cho ∆ABC có A(4; 3) , B(−1; 2) , C(3; −2).

b) Vectơ
ACAB+
vuông góc với vectơ
CAAB+
Bài 2 :Tứ giác ABCD là hình gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau ?
a)
DCBCAC =−

b)
DADCmDB +=
Bài 3:Cho tam giác ABC , với mỗi số thực k ta xác định các điểm A’ , B’ sao cho
CAkBBBCkAA == ','
. Tìm quĩ tích trọng tâm G’ của trung điểm A’B’C.
Bài 4: Cho tứ giác ABCD . Các điểm M,, N, P và Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD và DA . Chứng
minh hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm
Bài 5: :Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý , Chứng minh vectơ
MCMBMAv 2−+=
không phụ
thuộc vào vị trí của điểm M. Hãy dựng điểm D sao cho
vCD =
Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm tam giác , D là điểm đối xứng
của A qua O.
a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành
b) Chứng minh :

OHOCOBOA
HOHCHBHA
HOHDHA
=++
=++

→
OB
+
→
OC
= 4
→
OI
-25-
WWW.ToanCapBa.Net