LỜI NÓI ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lý luận
Trong chương trình toán học ở trường trung học phổ thông, phương pháp
toạ độ chiếm một vị trí quan trọng. Phương pháp toạ độ được xem là phương
pháp toán học cơ bản và cần thiết, kết hợp với phương pháp tổng hợp ta giải
quyết được các đối tượng trên mặt phẳng và không gian. Phương pháp toạ độ là
công cụ chủ yếu ở chương trình hình học lớp 10 và lớp 12 cho nên việc hướng
dẫn học sinh lớp 12 giải bài toán hình học bằng phương pháp này là cần thiết.
Ngoài việc giúp các em củng cố kiến thức về toạ độ còn giúp các em thấy rõ
được ứng dụng to lớn của phương pháp này trong bài toán hình học và là tiền đề
để các em học tốt hơn trong chương trình hình học lớp 12.
2.Cơ sở thực tại
Khi dạy Ôn tập chương 3- Hình học 12, tôi có yêu cầu học sinh làm Bài 89,
trang 138, sách bài tập hình học 12 nâng cao, các em đã lúng túng và ngạc nhiên
vì đây lại là một bài tập đại số.
Thật vậy, nói đến phương pháp toạ độ, mọi người thường hay nghĩ đến các
bài toán của hình học giải tích. Thực tế cho thấy nhiều bài toán đại số nếu giải
theo cách nhìn Đại số thì rất khó hoặc phức tạp, nhưng nếu khéo léo chuyển
sang cách nhìn Hình học và vận dụng phương pháp toạ độ vào thì lời giải ngắn
gọn, dễ hiểu hơn so với các phương pháp khác. Sẽ không có nhiều người nghĩ
rằng phương pháp toạ độ còn cho ta những lời giải hay đối với các bài toán đại

1

số: Giải hệ phương trình - giải bất phương trình - chứng minh bất đẳng thức -
tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức… Cùng với nhiều phương
pháp khác, phương pháp toạ độ là một trong những phương pháp hữu hiệu để
giải nhiều bài toán sơ cấp. Phương pháp toạ độ dùng để giải quyết các bài toán
chứa trong nó “Cái hồn hình học” mà thoạt nhiên ta chưa nhìn thấy nó.

Trong phạm vi đề tài tôi mới chỉ đưa ra: Sử dụng Phương pháp toạ độ
giải các bài toán về hệ phương trình 3 ẩn, bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất của biểu thức chứa 3 biến số thông qua một vài ví dụ.
IV. ỨNG DỤNG
Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một
phương pháp và một số kỹ năng cơ bản và biết đưa bài toán từ ngôn ngữ đại số
về ngôn ngữ hình học để giải. Hy vọng với đề tài nhỏ này sẽ giúp các bạn đồng
nghiệp cùng các em học sinh có thêm một cái nhìn cũng như phương pháp giải
một lớp các bài toán về giải hệ phương trình, giá trị lớn nhất nhỏ nhất qua việc
sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian.
Sáng kiến kinh nghiệm có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học
sinh trong việc dạy và học.
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhưng các vấn đề đưa ra ít nhiều còn thiếu
sót, hạn chế. Mong được sự góp ý của các quý thầy cô và bạn đọc.
Xin trân trọng cảm ơn!
Hoằng Hoá, tháng 5 năm 2013.
Người viết
Nguyễn Văn Trường

4

NỘI DUNG
I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong hệ trục toạ độ Oxyz
1. Tọa độ của điểm:
( )
; ;M x y z OM xi y j zk
⇔ = + +
uuuur r r r
,

( )
; ;u x y z=
r
và
( )
' '; '; 'u x y z=
ur
' { '; '; '}u u x x y y z z
= ⇔ = = =
r ur
( )
' '; '; 'u u x x y y z z
± = ± ± ±
r ur
( )
; ;ku kx ky kz
=
r
4. Tích vô hướng:
. ' . ' . ' . 'u u x x y y z z
= + +
r ur
. 0u v u v= ⇔ ⊥
r r r r
5. Các công thức tính độ dài và góc

5

2 2 2
u x y z= + +

r
6.Một số tính chất của vectơ.
Tính chất 1:
0)(
2
2
≥=
aa
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
0
=
a
Tính chất 2:
baba
+≥+
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a
và
b
cùng hướng.
Tính chất 3:
baba
≤
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a
và
b
cùng phương.

,d I
∆
. Nếu:
( ) ( ) ( )
, :d I R C
∆ > ∆ ∩ = ∅
;
( ) ( ) ( )
, :d I R C
∆ < ∆ ∩
tại 2 điểm phân biệt;
( ) ( ) ( )
, : ,d I R C
∆ = ∆
tiếp xúc nhau,
( )
∆
gọi là tiếp tuyến của
mặt cầu.
7.3.Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng:
Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và mặt phẳng
( )
: Ax +By+ Cz+D = 0P
.
Tính:
( )
( )
2 2 2
Aa +Bb +Cc+D
,

3)
( )
( )
( ) ( )
, : ,d I P R P C
=
tiếp xúc nhau tại điểm H là hình chiếu của I trên
(P), (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (C).7

II. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN VÀO
MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ
Khi giải bằng phương pháp toạ độ, học sinh cần biết cách phiên dịch yêu
cầu và đề bài của bài toán sang ngôn ngữ toạ độ, sau đó dùng kiến thức toạ độ
để giải toán, cuối cùng là chuyển kết quả từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ
hình học. Giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh chọn toạ độ véc tơ thích hợp.
Bài 1.(Bài tập 89- Ôn tập chương 3. Sách bài tập Hình học 12 nâng cao)
a) Chứng minh:
5 2 5 2 5 2 6. 3x y z+ + + + + ≤
với mọi x, y, z ≥ -2/5 và
x+ y+ z= 6
b) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
f(x)=
x m x n m n+ + + + +
với x, m, n ≥ 0 và x+ m+ n= 1.
c) Chứng minh:

2 2 2 2 2 2

f(x)=
. x m x n m nu v + + + + +=
ur r
Ngoài ra tính được
3 2;u v= =
ur r
Vậy f(x)=
. .u v u v≤
ur r ur r
=
6
hay maxf(x)=
6
khi x= m= n=1/3 .
c) Ta xem mỗi căn thức là độ lớn của một véctơ, do đó cần xác định các
điểm trong không gian.
Trong không gian Oxyz, lấy các điểm A(1; 1; -1), B(-1; 1; 1) và M(x; y; z)
Khi đó AB=
2. 22 2 2 2 2 2
( 1) ( 1) ( 1) ; ( 1) ( 1) ( 1)MA x y z MB x y z= − + − + + = + + − + −
Từ bất đẳng thức MA+ MB ≥ AB, ta suy ra

2 2 2 2 2 2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)x y z x y z− + − + + + + + − + −
≥
2. 2
Dấu “=” xảy ra khi M nằm giữa 2 điểm A; B hay


r
r

9

⇒
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
.
u a b b c c a
v a c b a b c u
u v a bc ab c abc

= + +


= + + =


= + +


r
r r
r r

Từ
. .u v u v≤

⇒
4 4 4
2 2 2 2 2 2
.
a a b c b
a b a b b c c a

= + + =



= + +

r r
r r
Do
2 2 2 2 2 2 4 4 4
. .a b a b a b b c c a a b c≤ ⇒ + + ≤ + +
r r r r
(2)
Từ (1) và (2) ⇒ abc(a + b + c) ≤ a
4
+ b
4
+ c
4
Đẳng thức xảy ra ⇔
2 2 2
2 2 2
ab bc ca


10

Đường thẳng ∆ qua O và vuông góc với (α) có phương trình
( )
2
2
x t
y t t R
z t
=


= ∈


=−

giá trị tham số t tương ứng với giao điểm của ∆ và (S) là t = ±
1
3
⇒ ∆ và (S) cắt nhau tại 2 điểm: A
2 2 1
; ;
3 3 3
 
−
 ÷
 
và B

2 2 1
d B
α
− − − −
= =
+ + −
Lấy M(x; y; z) ∈ (S),
( )
( )
2
2 2
2 2 9
1
,( )
3
2 2 1
x y z
d M F
α
+ − −
= =
+ + −
Luôn có
( ) ( ) ( )
,( ) ,( ) ,( )d A d M d B
α α α
≤ ≤
⇔
1
2 4

50
3
x
x x
x


≥ −


≥ ⇔ ≤ ≤



≤


Trong hệ toạ độ Oxyz xét các vectơ:

(1,1,1)
( 1, 2 3, 50 3 )
u
v x x x

=


= + − −



x≤ ≤

Bài 5.(Trích đề thi vào đại học xây dựng Hà Nội năm 2001).
Cho 3 số x, y, z thoả mãn điều kiện:
0 ; ; 1 (1)
3 / 2 (2)
x y z
x y z
≤ ≤


+ + =

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
F= cos(x
2
+ y
2
+ z
2
) (3)
Giải.
Sự có mặt của 3 số x, y, x trong bài toán “gợi” cho ta sử dụng phương pháp toạ
độ. Ta xác định hệ toạ độ đề-các vuông góc Oxyz như hình vẽ.

12

Dựng hình lập phương ABCO.A
1
B

2
+ z
2
.
OI là khoảng cách từ O(0;0;0) tới mp(KLJ) là OI =
3 / 2
3 / 4
3
−
=
Ta có min T = OI
2
= 3/4 với I là tâm lục giác đều MNPQRS.
Max T đạt được khi H là những điểm M, N, P, Q, R, S của lục giác đều
MNPQRS khi đó: Max T =OM
2
mà M(1;0;1/2)
⇒
OM
2
=5/4.
Ta có : 0<3/4≤OH
2
≤5/4<π/2,
Mà trên (0 ; π/2) hàm số cosx nghịch biến nên ta có :
Cos(5/4)≤ cos(x
2
+ y
2
+ z

J
LHay maxF= cos(3/4) khi H là tâm của lục giác đều MNPQRS tức x= y= z= 1/2
minF= cos(5/4) khi H trùng với một trong các đỉnh của lục giác đều
MNPQRS, chẳng hạn H≡M tức x= 1, y= 0, z= 1/2
Việc định hướng phân tích như trên phục vụ cho việc giải bài tập này cho
lớp 12 nhằm nêu bật ứng dụng của hình học trong Đại số.
Không chỉ sử dụng trong việc giải bất phương trình hay chứng minh bất
đẳng thức, mà trong những bài toán giải hệ nhiều ẩn, nếu ta khéo léo chọn véc tơ
hay chọn mặt phẳng và mặt cầu, ta sẽ đưa bài toán về xét sự tương giao của mặt
cầu với mặt phẳng hoặc đường thẳng.
Bài 6. Giải hệ phương trình:
2 2 2
2 4 6 0(1)
3 2 2 8 0(2)
3 3 4 12 0(3)
x y z x y z
x y z
x y z

+ + − − − =

+ − − =


+ − − =




=

Giá trị tham số t tương ứng với điểm chung của (S) và ∆ là nghiệm của
phương trình:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 4 6 3 2 2 4 4 6 6.3 0t t t t t t− + + + − − − + − =
⇔
0
10
49
t
t
=



=−


⇒ ∆ và (S) có hai điểm chung
( )
0;4;0A
và
20 136 30
; ;
49 49 49
A
 

2 2 2
6 2 2 2 0x y z x y z+ + − + − + =
, (S) có tâm I(3; -1; 1) bán kính R = 3
và (α): x + 2y + 2z + 6 = 0
ta có
( )
2 2 2
9
,( ) 3
1 2 2
d I R
α
= = =
+ +
⇒ (S) và (α) tiếp xúc nhau.

15

⇒ Hệ (2) có nghiệm duy nhất và nghiệm của hệ là toạ độ hình chiếu vuông
góc H của I trên (α)
Đường thẳng ∆ qua I và vuông góc với (α) có phương trình
( )
3
1 2
1 2
x t
y t t R
z t
= +


Đặt:
( )
( )
4 4 4
2 2 2
2 2 2
1
; ;
1 1 2 6 ( , , ) . .
1;1;2
. ( , , ) 7
u x y z
u x y z
v f x y z u v u v
v
u v f x y z

= + + =


=
 
⇒ = + + = ⇒ = >
 
=
 

= =



Cách 1. Mặt cầu (S):
2 2 2
x y z 3+ + =
, tâm O(0; 0; 0); bán kính R =
3
và
mp(α): x + y + z – 3 = 0 tiếp xúc với nhau vì
( )
2 2 2
3
,( ) 3
1 1 1
d O R
α
−
= = =
+ +
Do đó hệ phương trình
( )
( )
2 2 2
x y z 3 1
x y z 3 2
 + + =


+ + =


có nghiệm duy nhất,


= = + +


r
r
r r r r r
r
r r
Đẳng thức xảy ra khi
u
r
cùng hướng với
v
r
hay:
0 0
1 1 1
x y z
x y z
= = > ⇔ = = >
(4)
Thế (4) vào (3) ta được x = 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x = 1; y = 1; z = 1)

17

Bài 10. Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm:
2 2 2
1(1)

m
d O
α
−
= =
+ − +
⇔
3
3
m
m
=


=−

TH1: m = 3
Ta có giao điểm là hình chiếu vuông góc H của O(0; 0; 0) trên (α
1
): 2x
– y + 2z – 3 = 0.
Đường thẳng ∆ qua O và vuông góc với (α
1
) có phương trình
( )
2
2
x t
y t t R
z t

; ;
3 3 3
 
− −
 ÷
 
(tương tự như TH1)
Vậy khi m = 3 thì hệ có nghiệm duy nhất là
2 1 2
; ;
3 3 3
x y z
 
= =− =
 ÷
 
khi m = - 3 thì hệ có nghiệm duy nhất là
2 1 2
; ;
3 3 3
x y z
 
=− = = −
 ÷
 
III. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
1. Mục đích thực nghiệm
Mục đích thực nghiệm là để kiểm chứng khả năng sử dụng phương pháp
toạ độ vào giải một số bài toán Đại số như hệ phương trình, bất đẳng thức…


+ + =
+ + =
+ + =
Bài 2. Cho a, b là hai số thực tuỳ ý. Chứng minh rằng
2 2
1 ( )(1 ) 1
2 (1 )(1 ) 2
a b ab
a b
+ −
− ≤ ≤
+ +
Việc ra đề như trên hàm chứa những dụng ý sư phạm, tất nhiên đề kiểm tra
này dành cho học sinh có học lực khá trở lên ở hai lớp thực nghiệm và đối chứng.
Xin được phân tích rõ hơn về điều này và đồng thời đánh giá sơ bộ về chất lượng
làm bài của học sinh.
Đề kiểm tra như trên là không quá khó và cũng không quá dễ so với trình
độ học sinh. Có thể nói với mức độ đề như trên thì sẽ phân hóa được trình độ của

20

học sinh, đồng thời cũng đưa ra cho giáo viên sự đánh giá chính xác về mức độ
nắm kiến thức của học sinh.
Hướng dẫn: Bài 1. Xét hai véc tơ
2 2 2
0 0 0 0 0 0
( , , ) ; ( , , )u x y z v x y z= =
ur r
trong đó
0 0 0

v b
ab
u v
a b
a b
u v
a b












=
= −
−
=
+ +
⇒
+
=
+ +
ur
r

đối chứng (ĐC) được thể hiện thông qua bảng sau:
Năm
học
Lớp
Tổng
số
Điểm 8 trở lên Điểm từ 5 đến 8 Điểm dưới 5
Số
lượng
Tỷ lệ
Số
lượng
Tỷ lệ
Số
lượng
Tỷ lệ
2012-
2013
TN 20 5 25% 12 60 % 3 15 %
ĐC 20 2 10 % 10 50 % 8 40 %
Căn cứ vào kết quả kiểm tra, bước đầu có thể thấy hiệu quả của sử
dụng phương pháp toạ độ trong không gian vào giải toán Đại số.
KẾT LUẬN
1. Kết quả nghiên cứu
1.1.Đối với học sinh.
Trên đây là những kinh nghiệm mà tôi đúc rút được trong quá trình
giảng dạy Toán lớp 12 tại trường THPT Hoằng Hoá 4.
Hệ phương trình nhiều ẩn, hệ phương trình có chứa tham số hoặc bài toán
min-max là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình môn toán
THPT nói chung và trong việc ôn thi Đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi nói

kiện cho bài viết có chất lượng hơn.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hoá, ngày 15 tháng 05 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác

Nguyễn Văn Trường
2425