Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
A. Đặt vấn đề
Trong chương trình giải tích 12 chuyên đề hàm số là một phần quan trọng
đối với Học sinh. Việc giải các câu hỏi phụ về hàm số thường là vấn đề khó
đòi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp, đặc biệt phải biết phân loại từng
dạng một. Trong các dạng toán về câu hỏi phụ về hàm số bài toán về “ tiếp
tuyến” là một bài toán cơ bản đối với học sinh. Để có được cách nhìn tổng
quan về phần này đòi hỏi học sinh phải nắm được các kiến thức cơ bản và các
bài toán tổng quát cho từng dạng.
Đây cũng là một phần quan trọng trong các đề thi học kỳ ,thi tốt nghiệp và đại
học. phần lý thuyết đơn giản nhưng bài tập thì rất đa dạng đòi hỏi học sinh
phải có tính tư duy lôgic. Chính vì vậy tôi nghiên cứu đề tài “ Rèn luyện kỹ
năng giải bài tập về tiếp tuyến cho học sinh THPT” nhằm mục đích giúp HS
phân loại một số dạng toán để đưa ra cách giải nhanh hơn.
B. Nội dung
1. Thực trạng của vấn đề
Trong SGK đại số và giải tích lớp 11 đã đưa ra bài toán về tiếp tuyến khi
biết tiếp điểm. Nếu chưa biết tiếp điểm thì có phương pháp nào để viết được
phương trình tiếp tuyến không? Đây là vấn đề mà học sinh hay lúng túng khi
đi tìm cách giải, nếu ta không nắm vững kiến thức cơ bản thì rất khó có thể
làm được.
2. Giải pháp thực hiện
Đối với giáo viên: Xây dựng hệ thống bài tập với các phương pháp cụ thể
phù hợp cho từng loại, tổ chức cho học sinh hoạt động trong các tiết luyện tập
trên lớp và các tiết dạy bồi dưỡng.
Đối với học sinh: Nắm vững kiến thức cơ bản, các công thức hay sử dụng và
ôn luyện theo từng dạng.
3. Phạm vi thực hiện:
Sáng kiến kinh nghiệm
1
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua một điểm
cho trước.
Bài toán 4; Viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại hai điểm
phân biệt. Từ đó viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại một điểm
và cắt đồ thị tại hai điểm khác.
Đối với hai bài toán 1 và 2 ta cần chú ý tới việc viết phương trình tiếp
tuyến tại tiếp điểm và bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một
điểm (có thể thuộc đồ thị hoặc không thuộc). Đối với bài toán 4 thì chỉ
xuất hiện ở đồ thị hàm số bậc 4.
Phương pháp giải bài toán 1:
Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì tiếp tuyến tại M
0
(x
0
;y
0
)
∈
(C):
y= f(x) có hệ số góc là f
‘
(x). Nên phương trình tiếp tuyến tại M
0
(x
0
;y
0
) của
(C) là:
y= f

Bài toán: Cho đồ thị (C): y= f(x) và điểm A(a;b) cho trước. Viết phương
trình tiếp tuyến đi qua A(a; b) đến đồ thị (C)
Để giải loại này có 2 phương pháp:
1.Phương pháp tìm tiếp điểm
Phương pháp này có 2 cách
Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua A(a;b) tiếp xúc (C) tại tiếp điểm có hoành
độ x
i
suy ra phương trình tiếp tuyến có dạng: y= f
,
(x
i
)(x- x
i
) + f(x
i
) (t)
Do A(a;b)
∈
(t) nên b= f
,
(x
i
)(a- x
i
) + f(x
i
) suy ra x= x
i
là nghiệm của





=
+−=
kx
f
baxkxf
)(
,
)()(
,
có nghiệm
Giải hệ phương trình trên ta tìm được các nghiêm x=x
i
và viết được
phương trình tiếp tuyến: y= f
,
(x
i
)(x- x
i
) + f(x
i
)
2.Phương pháp tìm điều kiện nghiệm kép.
Đường thẳng đi qua A(a;b) với hệ số góc k có phương trình:
y= k(x-a) +b tiếp xúc với đồ thị (C):
⇔

,x
2
và phương trình tiếp tuyến.
Sau đây là các dạng toán cụ thể:
DẠNG 1: TIẾP TUYẾN HÀM ĐA THỨC BẬC 3
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=f(x)=x
3
-3x+5 khi biết:
1) Hoành độ của tiếp điểm là x
1
=-1; x
2
=2; x
3
=
3
2) Tung độ của tiếp điểm là y
1
=5; y
2
=3; y
3
=7
Giải:
Đạo hàm y’(x)=3x
2
– 3
1) x
1

x
1
( )
2
1
3x −
=0
⇔
x
1

{ }
3,0 ±∈
Tiếp tuyến tại x
1
=0 là (t
1
): y=y’(0)(x - 0) + 5
⇔
y = -3x + 5
Tiếp tuyến tại x
1
= -
3
là (t
2
): y = y’(-
3
)(x +
3

+ 8x – 3
3. Đường cong (C): y = x
3
– 4x
2
+ 6x – 7
Giải:
1. Hoành độ giao điểm của (C) với (d) là nghiệm của phương trình:
2x
3
– 3x
2
+ 9x – 4 = 7x + 4
⇔
(x - 2)( 2x
2
+ x + 4)
Sáng kiến kinh nghiệm
4
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa

⇔
(x -2)
0
4
3
3
2
1
2

2
biết tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng y=
3
1
x
Giải: Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=
3
1
x nên tiếp tuyến có hệ số
góc bằng -3. Gọi tiếp điểm có hoành độ x
0

⇒
y
’
(x
0
)=3
2
0
x
-6
x
0
=-3
⇔
3(x
0
-1)

0
x
-6x
0
=9
⇔
2
0
x
-2x
0
-3=0
⇔
x
0
=-1 hoặc x
0
=3
Tiếp tuyến tại x
0
=-1 là y=9(x+1)-3
⇒
y= 9x+6
Tiếp tuyến tại x
0
=3 là y=9(x-3)+1
⇒
y= 9x-26
Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước đến đồ thị.
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(


=
+






−=
kxf
xkxf
)('
4
12
19
)(
có
nghiệm
⇔+






−=⇒ 4
12
19
)(')( xxfxf

2
1
3
2
1
x
x
x
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(0;-1) đến C có phương trình:
y= 2x
3
+ 3(m-1)x
2
+ 6(m-2)x-1
Giải: Đường thẳng đi qua A với hệ số góc k có phương trình: y=kx-1 tiếp xúc
với (C) y=f(x)
⇔
Hệ



=
−=
kxf
kxxf
)('
1)(
có nghiệm
⇔−=⇒ 1)(')( xxfxf
⇔=−− 0)(1)(' xfxxf

= 0
⇒
f
’
(0)=6(m-2)
⇒
Tiếp tuyến (t
1
): y= 6(m-2)x-1
Với x
2
=
4
)1(3 m−
⇒






−
4
)1(3
,
m
f
=
8
3−

Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
b. Tìm trên đường thẳng y=-2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông
góc với nhau.
Giải: a. Đường thẳng đi qua A(
2;
9
23
−
) với hệ số góc k có phương trình:
y= k(x-
9
23
)-2 tiếp xúc với (C) y= f(x)
⇔
Hệ phương trình:






=
−−=
kxf
xkxf
)(
2)
9
23
()(

23
)-2
⇔
y=-2
Với x=3 suy ra tiếp tuyến (t
2
): y=y
’
(3)(x-
9
23
)-2
⇔
y=9x-25
Với x=
3
1
suy ra tiếp tuyến (t
3
): y=y
’
(
3
1
)(x-
9
23
)-2
⇔
y=

(x-2)[2x
2
-(3m-1)x+2]=0



=+−−=
=
⇔
02)13(2)(
2
2
xmxxg
x
Do không thể có tiếp tuyến nào vuông góc với tiếp tuyến y=-2 song song với
Ox
Sáng kiến kinh nghiệm
7
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Nên để từ M(m; -2) kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với (C) thì g(x)=0 phải có
2 nghiệm phân biệt x
1
;x
2
và các tiếp tuyến tại các điểm có hoành độ x
1
;x
2
vuông góc với nhau.
Ta có:-1= y’(x

27
55
Với m =
27
55
thì
∆
g = (3m - 1)
2
– 16 > (3.2 - 1)
2
– 16 = 9 > 0
Vậy điểm M(
2;
27
55
−
)

Bài 4: Cho hàm số y = -x
3
+ 3x + 2 (C). Tìm trên trục hoành các điểm kẻ
được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Giải:
Lấy bất kỳ A(a;0)
Ox
∈
. Đường thẳng đi qua A(a;0) với hệ số góc k có
phương trình y = k(x - a) tiếp xúc với (C): y = f(x)
⇔

g(x) = 0 có 2 nghiệm phân
biệt và khác (-1)
⇔




−
<≠−
>
⇔



≠+=−
>−+=∆
3
2
1
2
0)1(6)1(
0)63)(23(
a
a
ag
aa
Bài 5: Cho (C): y = x
3
-12x + 12. Tìm trên đường thẳng y = -4 các điểm có
thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).

(x - 2)g(x) = 0
Từ M(m; -4) kẻ được 3 tiếp tuyến đi qua (C)
⇔
g(x) = 0 có 2 nghiệm phân
biệt và khác 2
⇔





≠<
−<
⇔



≠−=
>+−=∆
2
3
4
4
01224)2(
0)123)(43(
m
m
mg
mm
Bài 6: Cho (C): y = x

+ 12x
2
– 24x + 17 = m
Ta có g’(x) = -6(x - 2)
2

0≤

⇒
Bảng biến thiên
x -
∞
2 +
∞

)(
,
xg
- 0 -
g(x) +
∞
-
∞
Sáng kiến kinh nghiệm
9
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Nghiệm của phương trình tìm tiếp điểm cũng là hoành độ giao điểm của
đường thẳng y = m với đồ thị y = g(x). Nhìn bảng biến thiên suy ra g(x) = m
chỉ có đúng 1 nghiệm. Vậy từ M(2;m) bất kỳ
∈

⇔
f’(x)(x-m) – [f(x) – f(m)] = 0
⇔
(3ax
2
+ 2bx + c)(x-m) – [a(x
3
– m
3
)] + b(x
2
– m
2
) + c(x - m)] = 0
⇔
(x - m)[2ax
2
– (am – b)x – m(am + b)] = 0
⇔
(x - m)
2
[2ax + (am + b)] = 0





+
=
=

)
3
(,
3 a
b
f
a
b −−
)
∈
(C) là điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C).
Nhận xét : f’(x) = 6ax + 2b = 0
⇒
Điểm uốn
; ( )
3 3
b b
U f
a a
− −
 
 ÷
 
Vậy trên đồ thị hàm bậc 3 điểm uốn là điểm duy nhất kẻ được đúng 1 tiếp
tuyến đến đồ thị.
Bài tập tự luyện:
Sáng kiến kinh nghiệm
10
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Bài 1: Cho hàm số:

−+==
mxxgyP
xxxfyC
2
22
2)(:)(
)1()1()(:)(

a. Tìm m để (C) và (P) tiếp xúc nhau.
b. Viết phương trình tiếp tuyến chung tại các điểm chung của (C) với (P).
Giải:
a. (C) và (P) tiếp xúc nhau
⇔



=
=
)(')('
)()(
xgxf
xgxf
có nghiệm

⇔



−==
==

xxm
xxx
mxxx
Vậy với m = -3 hoặc m = 0 thì (C) và (P) tiếp xúc nhau.
b. Xét m = 1, x
0
= 0
⇒
(P): y = g(x) = 2x
2
+ 1
Phương trình tiếp tuyến chung tại x
0
= 0: y = g’(0)(x - 0) + g(0)
⇔
y = 1
+ Xét m = -3, x
0
=
2

⇒
(P): y = g(x) = 2x
2
– 3
Phương trình tiếp tuyến chung tại x
0
=
2
:

2
x-7
Sáng kiến kinh nghiệm
11
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Bài 2: Cho đồ thị (C): y = -x
4
+ 2mx
2
– 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyên với
đồ thị tại A(1;0), B(-1;0)
⊥
với nhau.
Giải:
Do A(1;0)
∈
(C); B(-1;0)
∈
(C) nên các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với
nhau
⇔
y’(1).y’(-1) = (4m - 4)(-4m + 4) = -1

⇔
-16m
2
+ 32m – 15 = 0
⇔
m =
4

) = 2
⇔
x
0
3
– x
0
2
+ x
0
+ 1 = 2
⇔
(x
0
- 1)(x
0
2
+ 1) = 0

⇔
x
0
= 1
⇒

Phương trình (t): y = 2(x – 1) + y(1)
⇔
y = 2x -
12
67

3
– 4x
0
+ 4 = 4
⇔
4x
0
(x
0
2
- 1) = 0
⇔
x
0
= 0; x
0
=
1±
Tại x
0
= 0
⇒
Tiếp tuyến (t
1
): y = 4x + y(0) = 4x – 1
Sáng kiến kinh nghiệm
12
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Tại x
0

Giải:
Xét phương y
0
= x
0
3
+ mx
0
2
– m – 1
m
∀

⇔
m(x
0
2
- 1) + (x
0
4
– 1 – y
0
) = 0
m
∀
⇔
2
0
0
4

⇔
m = -1.
Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước.
Bài 1: Cho đồ thị (C): y = f(x) =
24
2
1
2
1
xx −
. Viết phương trình tiếp tuyến đi
qua O(0;0) đến đồ thị (C).
Giải: Đường thẳng đi qua O(0;0) với hệ số góc k có phương trình y = kx tiếp
xúc với đồ thị (C): y = f(x)



=
=
⇔
kxf
kxxf
)('
)(
có nghiệm
⇒
f(x) = f’(x).x
Sáng kiến kinh nghiệm
13
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa

0
2
1
2
3
224
2
xxxxx
Tại x
1
= 0
⇒
Tiếp tuyến (t
1
): y = f’(0).x
⇔
y = 0
Tại x
2
=
3
3−

⇒
Tiếp tuyến (t
2
): y = f’(
3
3−
).x =




=
+=
kxf
kxxf
)('
4)(
có nghiệm
⇒
f(x) = f’(x)x + 4
⇔
f’(x).x + 4 – f(x) = 0
⇔
(4x
3
– 8x)x + 4 – (4 – 4x
2
+ x
4
) = 0
⇔
x
2
(3x
2
- 4) = 0
⇔


Tại x
2
=
3
32

⇒
tiếp tuyến: y = f(
3
32
)x + 4
⇔
y =
4
9
316
+
−
x
Tại x
3
=
3
32−

⇒
tiếp tuyến: y = f(
3
32−
)x + 4

3
–kx + 3 – m = 0 có 2 nghiệm kép x
1
, x
2
phân biệt.
⇔
x
4
– 4x
3
–kx + 3 – m = (x-x
1
)
2
(x-x
2
)
2

∀
x
⇔
x
4
– 4x
3
–kx + 3 – m =[x
2
-Sx+P]

⇔







−=
=
=+
=
mP
kSP
PS
S
3
2
02
42
2
2
⇔








2
1
xy
PTTT
x
x
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hàm số:
4 2
4 4y x x= − +
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi
qua điểm A(0;4)
Bài 2: Cho hàm số:
4 2
1 3
3
2 2
y x x= − +
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
đi qua điểm A(0;
3
2
)
DẠNG 3: TIẾP TUYẾN CỦA HÀM PHÂN THỨC BẬC NHẤT/BẬC NHẤT.
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị.
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
1
12
+
−

)1(
4
3
+−= xy
⇔
4
1
4
3
−= xy
Bài 2: Tìm a,b để đồ thị (C): y =
1−
+
x
bax
cắt Oy tại A(0;-1) đồng thời tiếp
tuyến tại A có hệ số góc bằng 3.
Giải:
Yêu cầu bài toán
⇔



−=
=
⇔



=−−

a
b
ba
b
ba
y
ba
y
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc k cho trước.
Bài 1: Cho (C): y =
12
54
+
−−
x
x
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song
(
∆
): y=3x+2
.
Giải:đường thẳng y=3x+m tiếp xúc (C)
⇔
3x+m=
12
54
+
−−
x
x

= +
Bài 2: Cho (C):
45
32
−
−
=
x
x
y
Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
)(∆⊥
:y=-2x
Giải:Đường thẳng
mxy +=
2
1
tiếp xúc (C)
⇔
45
32
2
1
−
−
=+
x
x
mx
có nghiệm kép

Bài toán 3: Phương tình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước.
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(0;1) đến đồ thị (C): y =
12
34
−
+−
x
x
Giải:
Đường thẳng đi qua A(0;1) với hệ số góc k có phương trình y = kx + 1 tiếp
xúc với đồ thị (C): y =
12
34
−
+−
x
x

⇔
kx + 1 =
12
34
−
+−
x
x
có nghiệm kép

⇔
(kx + 1)(2x - 1) = -4x + 3 có nghiệm kép

Lấy bất kỳ điểm A(3,a) thuộc đừng thẳng x = 3. Đường thẳng đi qua A(3;a)
với hệ số góc k có phương trình y = k(x - 3) + a tiếp xúc với (C): y =
2
12
−
+
x
x

⇔
phương trình k(x - 3) + a =
2
12
−
+
x
x
có nghiệm kép
⇔
[kx – (3k - a)](x -2) = 2x + 1 có nghiệm kép
⇔
kx
2
– [5k – (a - 2)]x + [6k – (2a + 1)] = 0 có nghiệm kép
⇔
k
0≠
và
∆
= [5k – (a -2)]

<
⇔








≠−=
=−=∆
>−=∆
a
a
a
ag
a
a
Bài 3: Tìm trên Oy những điểm kẻ đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C): y =
1
1
−
+
x
x
Giải:
Lấy bất kỳ A(0,a)
∈
Oy. Đường thẳng đi qua A(0,a) với hệ số góc k có

= [k – (a -1)
2
] + 4(a + 1)k = 0
⇔
k
0≠
và g(k) = k
2
+ 2(a + 3)k + (a - 1)
2
= 0
Qua A(0,a) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)
⇔
g(k) = 0 có đúng 1 nghiệm k
0≠



=+=∆
>+=∆
⇔
0)1(8'
0)1(8'
a
a




−=

số góc k có phương trình y = k(x - a) + 2 tiếp xúc với (C): y =
34
43
−
+
x
x
⇔
k(x -a) + 2 =
34
43
−
+
x
x
hay [kx – (ak - 2)](4x - 3) = 3x + 4 có nghiệm kép
⇔
4kx
2
– [(4a + 3)k - 5]x + (3ak - 10) = 0 có nghiệm kép
Sáng kiến kinh nghiệm
18
và g(0) = (a -1)
2

0
≠
và g(0)= (a - 1)
2
= 0


>


⇔ ⇔ ≥
∆ = − − =



=



= ≠


Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hàm số
2
2
x
y
x
+
=
−
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)
biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-6;5)
Bài 2: Cho hàm số
2

b. Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 2 điểm và tiếp tuyến tại 2 điểm đó vuông góc với
nhau.
Giải:
a. (Cm) cắt Ox = (x
0
,0)
(*)
0
02
0
2
0
0
2
0
0
0
2
0



≠+
=+−
⇔=
+
+−
⇒
mx
mmxx

2,1





≠+
=+−
⇒=⇒
mx
mmxx
xy
)(xg⇒
= x
2
– 2mx + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
khác (-m)
Sáng kiến kinh nghiệm
19
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Tiếp tuyến tại x
1
, x
2
vuông góc với nhau
)(').('1
211

+m) = 4(x
1
-m)(x
2
-m)
⇔
5x
1
x
2
– 3m(x
1
+ x
2
) + 5m
2
= 0
⇔
5m – 3m(2m) + 5m
2
= 0
⇔
m(5 - m) = 0
⇔
m
{ }
0;5∈
Với m = 0 thì g(x) = x
2
= 0

2
2 3
lim lim :
x m x m
x x m
y TCĐ x m
x m
→ →
− +
= = ∞ ⇒ =
−
+ Đạo hàm: y’(x) =
m
y
mx
mmxx 2
)0('
)(
242
2
2
=⇒
−
+−
+ Tiếp tuyến tại A = (C)
Oy∩
có hoành độ x
A
= 0 nên có phương trình là:
(t): y = y’(0)(x - 0) + y(0)

TCĐ
mx
mm
x
)4(16
764
16
7
4
3
2
Sáng kiến kinh nghiệm
20
: x=
4
m−
: y =
16
7
4
3 m
x +
−
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
+ Đạo hàm: y’(x) =
2
2
2
22
16

3
=⇒+
−
y
m
x

⇔
3(m
2

- 16) = 4m
2

⇔
m
2
= -48 vô nghiệm
⇒
ĐS: m =
4±

Bài 4: Tìm trên đồ thị (C): y =
1
22
2
+
++
x
xx

2
1
)1(1
)1(
1
2
0
2
0
+⇔−=
+
x
x






+−⇒=⇒+−=
−
−−⇒
−
=⇒−−=
⇔
)
2
23
,
2

x
xx
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc
với đường thẳng (
∆
): 3y – x + 6 = 0
Giải:
Do hệ số góc của (
∆
): y =
2
3
1
−x
là
3
1
nên tiếp tuyến
)(∆⊥
có hệ số góc là
(-3).
Đường thẳng y = -3x + m tiếp xúc với (C)
mx
x
xx
+−=
+
++
⇔ 3
2

−
+−
x
xx
.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song
song với đường thẳng y = x + 4
Giải:
y =
2
772
2
−
+−
x
xx
= 2x – 3 +
2
1
−x
. Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương
trình y’(x) = 1
⇔
2 -



=
=
⇔=
−

xx

⇔
k(x -1) – 1 =
1
1
2
+
++
x
xx
có nghiệm kép
⇔
[kx – (k + 1)](x + 1) = x
2

+ x + 1 có nghiệm kép
⇔
(k - 1)x
2

– 2x – (k + 2) = 0 có nghiệm kép
⇔




+−=
−−=
⇔

2
−
+−
=
x
xx
y

2. Cho đồ thị (C)
2
2
2
+
−+
=
x
xx
y
. Tìm các điểm A
∈
Ox kẻ được hai tiếp tuyến
đến (C).
5. Hiệu quả đạt được
Sau khi thực hiện xong chuyên đề trên học sinh đã nâng cao được khả năng tư
duy khi làm các bài toán về tiếp tuyến
Kết quả thu được ở hai lớp như sau:
Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu
C1 10% 62% 28% 0%
C3 25% 35% 32% 8%
C. Kết luận: