TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
Chuyên đề 3 : Dạy học hình biểu diễn của một hình không
gian trong quan hệ vuông góc
I. Mở đầu
Trong dạy học Toán, đi cùng với việc bồi dưỡng tư duy là việc bồi dưỡng trí tưởng
tượng không gian cho học sinh. Không có trí tượng không gian thì không có sự sáng tạo
nào hết. Bởi vì cái được sáng tạo là cái mới, cái chưa có nên phải tưởng tượng ra nó. Còn
các nhà khoa học cũng cho rằng trong khoa học sáng tạo, “trí tưởng tượng quan trọng
hơn hiểu biết”.
Hình học không gian là một bộ môn Toán học nghiên cứu các tính chất của những
hình trong không gian. Việc nghiên cứu các hình trong không gian dựa trên hình biểu
diễn của chúng trên mặt phẳng. Việc biểu diễn các hình không gian trên mặt phẳng là
công việc thực sự khó khăn, mới mẻ đối với học sinh khi học Hình học không gian.
Giáo dục Toán học nhằm phát triển suy luận và vun trồng cho học sinh những khả
năng trừu tượng hóa, nó mang đến tính chặt chẽ trong tư duy và chính xác trong diễn đạt.
Nó đưa lại những hiểu biết và những kĩ năng trong lĩnh vực số và hình, đồng thời rèn
luyện những phương pháp làm việc, nó kích thích trí tưởng tượng.
Một yêu cầu quan trọng của việc dạy Hình học không gian là: thông qua việc cung
cấp tri thức và rèn luyện kĩ năng, chú ý phát triển các năng lực trí tuệ, trí tưởng tượng
không gian tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác, tư duy thuật toán, kĩ năng tính toán, . . .
đồng thời rèn luyện các phẩm chất của tư duy như linh hoạt, độc lập, sáng tạo . . .
Phân môn Hình học không gian rất có điều kiện để phát triển trí tưởng tượng không
gian cho học sinh. Để góp phần giải quyết một số khăn trong việc vẽ hình biểu diễn của
hình không gian, rèn luyện một số kĩ năng tư duy trên hình biểu diễn của hình không
gian, đồng thời góp phần nâng cao và phát triển trí tưởng tượng không gian cho người
học.
Hình học không gian ở lớp 11 được thực hiện trong chương 2 và chương 3. Thực tế
cho thấy việc dạy học hình biểu diễn của một hình không gian cho học sinh không thể
hoàn thiện ngay trong những bài học đầu tiên mà được hoàn thiện dần trong suốt quá
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
trình học của các em. Bằng kinh nghiệm giảng dạy và tham khảo nhiều tài liệu, các giáo

các hoạt động phân tích thử, vẽ thử, sau đó nhìn nhận ra những điểm chưa tốt của hình vẽ
và rút kinh nghiệm, đồng thời người học luôn phải tính toán để thể hiện tốt hơn các chi
tiết của bài toán trên hình biểu diễn.
Xét một số ví dụ cụ thể:
 Khi vẽ hình chóp : Ngoài một số các yêu cầu cơ bản như: vẽ đáy hơi dẹt, không nên
vẽ đáy quá rộng, các mặt bên và mặt đáy của hình chóp phải thoáng, không nên vẽ
mặt đáy là những tam giác đặc biệt, hình chóp tứ giác có đáy là hình bình hành, hình
vuông, hình chữ nhật nên vẽ mặt đáy dẹt với góc nhọn bé hơn hoặc bằng 45
0
, không
nên vẽ những hình có quá nhiều nét đứt. Khi sang chương “Quan hệ vuông góc” cần
chú ý thêm cho học sinh nên vẽ đường cao song song với lề vở. Chẳng hạn:
• Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy:

Cũng không nên vẽ
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
• Hình chóp đều hoặc với những bài toán đã xác định chân đường cao dưới mặt
đáy nên vẽ đường cao song song với lề vở để dễ hình dung.
Đối với trường hợp này nên vẽ đáy trước, vẽ đường cao sau đó mới vẽ các cạnh bên.
Học sinh cũng cần tính toán lấy đỉnh trên đường cao sao cho các mặt bên và mặt chéo
đều thoáng; tránh trường hợp vẽ các hình không trực quan sẽ gặp nhiều bất cập khi tư
duy trên hình như khó phán đoán ra kết quả, nhầm lẫn trong các thao tác phân tích.
Chẳng hạn:
A
S
G
O
Hai hình trên là những hình không tốt, khi tưởng tượng để phân tích, tư duy trên
hình sẽ khó khắc sâu các tính chất: AG và SO là các đường cao, nhìn nhận các tam giác
vuông… do đó hạn chế trí tưởng tượng không gian của các em.

diễn của hình lập phương như sau:
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
Trong đó mặt phẳng (ADD’A’) là hình vuông, còn ABCD là hình bình hành với góc
ở đỉnh A xấp xỉ 45
0
. Hình biểu diễn đó không tốt vì khi đó hai đường chéo B’D, A’C và
hai đường thẳng A’B’, CD gần như trùng nhau. Hình biểu diễn đó sẽ tốt hơn nếu góc ở
đỉnh A của hình bình hành ABCD được vẽ lớn hơn hoặc bé hơn 45
0
.
+ Một số điểm chú ý khi vẽ hình biểu diễn của hình hộp:
• Nên vẽ đáy hơi dẹt, không nên vẽ đáy quá rộng.
• Nên vẽ đáy ABCD trước, sau đó vẽ cạnh bên AA’; tính toán, phân tích lấy đỉnh A’ trên
cạnh bên sao cho đường chéo A’C của hình hộp không bị che khuất bởi cạnh CD.
• Đối với những trường hợp không cho ở dạng đặc biệt thì không nên vẽ hình biểu diễn ở
dạng đặc biệt. Học sinh quen với việc vẽ hình hộp đứng nên khi bài toán chỉ cho hình hộp
thì lại vẽ hình biểu diễn của hình hộp đứng và khi chứng minh rất dễ nhầm sang sử dụng
các tính chất của hình hộp đứng dẫn đến giải bài toán sai.
• Kỹ năng đổi đỉnh cũng giúp học sinh nhanh chóng tìm ra hình biểu diễn tốt cho
bài toán. Chẳng hạn với bài toán: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Xác định giao
điểm của A’C với hai mặt phẳng (AB’D’) và (BDC’). Hình đã cho học sinh có thể biểu
diễn như các hình sau:
A
C
C’
D’
B’
B
A’
D

biểu diễn không tốt sẽ hạn chế sự phát triển trí tưởng tượng không gian và dễ gây ra hiện
tượng mệt mỏi, chán nản khi không tìm ra phương pháp giải các bài toán không gian do
các em không thể tưởng tượng được không gian khi quan sát hình vẽ.
Các ví dụ sau đây sẽ chỉ ra một số các hiện tượng sai lầm khi học sinh không biết
cách vẽ hình biểu diễn trực quan dẫn đến gặp khó khăn khi giải toán.
Ví dụ 3: ( Bài 30 – Hình học 11 nâng cao – trang 117)
Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a, góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng 30
0
. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A’B’C’) thuộc
đường thẳng B’C’.
a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy.
b) Chứng minh hai đường thẳng AA’ và B’C’ vuông góc với nhau. Tính khoảng cách
giữa chúng.
Đối với bài toán này học sinh thường vẽ hình như sau:
A’
B’
C’
B
C
A
A’
B’
C’
B
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
A
H
H
C

Khi biểu diễn hình một cách trực quan, học sinh sẽ tiến hành các thao tác tư duy một
cách thuận lợi vào việc giải bài toán không còn nhiều khó khăn nữa.
Để bồi dưỡng trí tưởng tượng không gian cho học sinh, đứng trước mỗi bài toán
không gian giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh kết hợp vẽ hình với các phép phân tích,
so sánh.
Ví dụ 4: Cho tứ diện SABC có SBC là các tam giác đều cạnh a. SA = a, AB = AC = a
2
. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC).
Thông thường học sinh sẽ vẽ hình trước rồi mớA
B
C
M
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
S
H
• i tính toán.
• Học sinh đã quen với một hình chóp đỉnh S, đáy là tam giác ABC hơn nữa cũng
dễ dàng tính được diện tích tam giác ABC, do đó việc tính thể tích quy về tính đường cao
SH. Tuy nhiên việc tính SH là khá khó khăn.
Nếu linh động người học sẽ có sự phân S
C
A
B
• tích (trên hình vẽ thử) như sau:
SA = SB =a, AB =a
2
=> ∆SAB vuông tại S.
SA = SC = a, AC = a
2
=> ∆SAC vuông tại S.

O
I
Khi A , B’, C’, D’ đồng phẳng thì ba mặt phẳng (AB’C’D’), (SAC), (SBD) đôi một
cắt nhau theo ba giao tuyến SO, B’D’, AC’ ⇒ ba đường thẳng này đồng quy. Từ đó suy
ra hình trên là sai.
Học sinh có thể vẽ bằng cách xác định B’, D’ trước; Sau đó xác định giao điểm I của
B’D’ với SO, khi đó C’ = AI ∩ SC .
Vẽ hình đúng sẽ dễ dàng cho việc tìm lời giải của bài toán một cách chính xác hơn.
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
Hình vẽ có vai trò quan trọng trong dạy học Hình học không gian. Khi học những
khái niệm, định lí hình vẽ đúng giúp học sinh dễ nhận dạng các định lí. Khi học giải toán,
hình vẽ đúng và tốt giúp học sinh hiểu rõ bài toán và giảm bớt sự trừu tượng của các hình
biểu diễn cũng như của yêu cầu bài toán, do đó có thể tìm ra lời giải dễ dàng và nhanh
chóng hơn. Vì vậy chúng ta cần thường xuyên chú ý hướng dẫn cho học sinh vẽ hình
đúng và trực quan.
Công việc rèn luyện cho học sinh vẽ hình biểu diễn phải được thực hiện liên tục
xuyên suốt quá trình học tập Hình học không gian, kể cả trong giải toán Hình không gian.
Đứng trước mỗi bài toán giáo viên cần tổ chức cho học sinh luyện tập vẽ hình, kết hợp trí
tưởng tượng với các thao tác phân tích, so sánh các dữ kiện cũng như yêu cầu bài toán,
bao quát bài toán để có thể vẽ được hình đúng và tốt nhất. Sự tinh tuý của các hình trong
không gian là điều kiện cho học sinh vừa củng cố vừa khai thác triệt để các biểu tượng
không gian,vừa tích luỹ được nhiều kinh nghiệm quý báu góp phần bồi dưỡng và không
ngừng nâng cao các thao tác tư duy và trí tưởng tượng không gian, bồi dưỡng thế giới
quan và tư duy linh hoạt cho học sinh.
Cũng cần phải nói rằng hình biểu diễn trong sách giáo khoa và hình vẽ của thầy giáo
trên bảng trong các giờ lên lớp nhất thiết phải là các ví dụ mẫu mực về cách vẽ hình biểu
diễn, do đó người thầy cũng phải luôn luôn trau dồi kĩ năng vẽ hình tốt.
II. Dạy học tách bộ phận phẳng ra khỏi không gian
Khi giải một bài toán Hình học không gian thông thường ta tiến hành trên từng bộ
phận mặt phẳng. Do đó để học sinh dễ hiểu và tiện theo dõi giáo viên nên hướng dẫn học

O
G
Đặt K = AC’ ∩ A’C ⇒ K là trung điểm của A’C.
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
G = AK ∩ A’O ⇒ G là trọng tâm tam giác AA’C ⇒ = ⇒G là trọng tâm ÄBDA’.
Hoạt động vẽ hình biểu diễn của hình không gian là bước đi từ trực quan sinh động
đến tư duy trừ tượng”. Từ việc quan sát các mô hình cụ thể , qua một quá trình tái hiện
lại, tưởng tượng lại biểu tượng không gian mới vẽ được hình biểu diễn của hình không
gian lên mặt phẳng. Hoạt động tách bộ phận phẳng ra khỏi không gian chính là bước đi:
từ tư duy trừu tượng trở về thực tiễn. Từ một mô hình không gian trừu tượng người học
phải hình dung ra hình dạng đúng, trực quan của bộ phận phẳng đó để có thể biểu diễn
riêng rẽ ra mặt phẳng một cách chính xác các quan hệ của nó như trong thực tế.
A
S
D’
B’
C’
B
C
D
O
A’
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (α)
cắt SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’. Chứng minh rằng:
+ = + .
Giải:
+ Dựng mặt phẳng (α) = (A’B’C’D’).
Lấy 3 điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC. Khi đó D = (A’B’C’) ∩
SD.
+ Xét riêng mặt phẳng (SAC). Từ C kẻ CK // A’C’ (K ∈ SO). Từ A kẻ AH // A’C’ (H ∈

Gọi M là trung điểm của BC ⇒ AA
1
⊂ (AMD).
J
B
D
C
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
A
I
M
A
1
N
MI ∩ AD = I ⇒ (BCI) ∩ AD = J ⇒ (BCI) chia ABCD thành hai tứ diện JBCD và
JABC.
A
M
O
1
D
F
A
1
E
K
J
I
D
1

1
E = .
Dễ dàng tính được: AM = MD = a ⇒ A
1
D = , AA
1
= , AE = AD -
ED = AD - DJ = AD - . AD = .a ⇒ OE = .
Tam giác ∆AO
1
E ∼ ∆DO
2
F ⇒ = = = ⇒ O
2
F = O
1
E = a.
R = OD = OE + ED = (.a) + (a) = ⇒ R = a.
R = O
2
A = OF + FA = (a) + ( a) = ⇒ R =
⇒ = = (ĐPCM)
Như vậy bài toán càng phức tạp thì việc tách bộ phận phẳng ra khỏi không gian càng
cần thiết. Ngay cả với những học sinh giỏi có trí tưởng tượng không gian phát triển cũng
khó có thể tư duy tốt trên trên một hình không gian có nhiều dữ kiện và nhiều đường nét
phức tạp. Khi tách bộ phận phẳng ra khỏi không gian các dữ kiện của bài toán được thể
hiện đầy đủ, tường minh, chính xác nên người học dễ tư duy bằng những kĩ năng đã biết
trong Hình học phẳng, do đó tạo hứng thú học tập cho học sinh.
Việc tách bộ phận phẳng ra khỏi không gian góp phần phát triển trí tưởng tượng
không gian, và ngược lại để tách bộ phận phẳng ra khỏi không gian cũng đòi hỏi người

tại lớp 11A5 và 11A4, những sai lầm của các em đúng như tác giả đã phân tích. Sau khi
khắc phục những sai lầm này, kết quả học tập của các em đã cho thấy hiệu quả của đề tài.
Cụ thể:
Kết quả kì thi tháng 3
Giỏi khá Trung bình Yếu
Số lượng
Tỉ lệ
Kết quả kì thi học kì 2
Giỏi khá Trung bình Yếu
Số lượng
Tỉ lệ
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
KẾT LUẬN
Hình học không gian luôn là sự e ngại của người học, kể cả các em học sinh lớp
12. Việc dạy học hình học không gian chính là dạy cho các em biết vẽ hình, biết tư duy
thao tác trên hình và liên hệ trở lại được với thực tiễn. Chuyên đề 3, tác giả đã làm rõ
những sai lầm thường gặp của học sinh, cách khắc phục khi vẽ hình biễu diễn của hình
không gian, cũng như một vài cách thức dạy học mà tác giả cho rằng có thể phát triển trí
tượng tượng không gian cho các em một cách hợp lý, có chiều sâu tư duy. Đây là kết quả
nghiên cứu tài liệu, phương pháp giảng dạy kết hợp với nghiên cứu tâm lí lứa tuổi và trên
cơ sở tôn trọng mục tiêu giáo dục của đất nước.
Do giới hạn đề tài trong chương trình lớp 11, nên đây chưa thể gọi là “hoàn thiện”
về các vấn đề về hình biểu diễn của hình không gian. Lên lớp 12 các em sẽ tiếp tục các
thao tác như cắt, ghép hình, mối liên hệ giữa các hình hình học,… Tác giả hy vọng đề tài
sẽ giúp các em có những cơ sở về kiến thức một cách vững chắc để tiếp tục học các kiến
thức hình học lớp 12 tốt hơn.