Nguyễn Phú Khánh

528

Dạng 2. Đường thẳng

 Viết phương trình của đường thẳng.
• Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng
∆
ta cần xác định
- Điểm
(
)
0 0
A x ; y ∈ ∆

- Một vectơ pháp tuyến
(
)
n a;b

của
∆

Khi đó phương trình tổng quát của
∆
là
( ) ( )
0 0
a x x b y y 0− + − =
•


•

Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ ta cần xác định
- Điểm
(
)
0 0
A x ; y
∈ ∆

- Một vectơ chỉ phương
(
)
u a; b ,ab 0≠

của ∆
Phương trình chính tắc của đường thẳng
∆
là
0 0
x x y y
a b
− −
=

Chú ý:
o
Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT.
o

1
a b
+ =
 Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

1 1 1 1 2 2 2 2
d : a x b y c 0; d :a x b y c 0+ + = + + = .
Ta xét hệ
1 1 1
2 2 2
a x b y c 0
a x b y c 0
 + + =


+ + =



(
)
I

+ Hệ
( )
I vô nghiệm suy ra
1 2
d d .


a a
b b
≠
thì hai đường thẳng cắt nhau.
+ Nếu
1 2 1
1 2 2
a a c
b b c
= ≠
thì hai đường thẳng song song nhau.
+ Nếu
1 2 1
1 2 2
a a c
b b c
= =
thì hai đường thẳng trùng nhau.

Ví dụ 1
.
1.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho các đường thẳng

1
d : x y 3 0,+ + =

2 3

+ + =3x y 1 0
và điểm
(
)
−I 1; 2
. Viết phương trình đường thẳng đi qua I và
cắt
1 2
d , d
lần lượt tại
A
và
B
sao cho
=AB 2 2
.
3.
Trong mặt phẳng
Oxy,
tìm toạ độ các đỉnh của một tam giác vuông cân, biết đỉnh

(
)
−C 3; 1
và phương trình của cạnh huyền là
− + =3x y 2 0
.Lời giải

= ⇔ =+ = −

⇔ ⇔ = −

+ = − +

3m 3 2m 8
m 11
3m 3 2m 8
hoặc
=m 1
.
•
Với
( )
= − ⇒ − −
m 11 M 22; 11
.

•
Với
( )
= ⇒
m 1 M 2;1
.

http://trithuctoan.blogspot.com/

)
( )

− = −

⇒ = ⇔

− + = − −


b 1 k a 1
IB kIA
3b 1 k 3a 3
 

Nếu
= ⇒ = ⇒ =a 1 b 1 AB 4
(không thỏa mãn)
Nếu
( )
−
− + = − − ⇔ = −
−
b 1
3b 1 3a 3 a 3b 2
a 1

( ) ( ) ( )
 
= − + − + = ⇔ + + =


3.
Gọi hai đỉnh còn lại là
A,B
. Toạ độ điểm C không thoả mãn phương trình
cạnh huyền nên tam giác
ABC
vuông cân tại
C
.
Gọi
I là hình chiếu vuông góc của C lên cạnh huyền ( I là trung điểm của AB ).
Phương trình đường thẳng
CI
là
+
−
= ⇔ + =
−
y 1
x 3
x 3y 0
3 1
.
Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ:
 + =
 
⇒ −

 



   
+ + − =

   
   

2 2
3x y 2 0
3 1 72
x y
5 5 5
.
Giải hệ ta được
( )
   
= − −
   
   
3 19 9 17
x; y ; , ;
5 5 5 5
.
Vậy, toạ độ hai đỉnh cần tìm là :
( )
   
= − −
   
   

4x 3y 1 0+ − =
.
2.
Xác định tọa độ đỉnh
B,C
. Phương trình đường trung trực d của cạnh BC , đường
trung tuyến
CC'
lần lượt là
x y 6 0
+ − =
và
2x y 3 0
− + =

3.
Trong mặt phẳng
Oxy,
cho tam giác
ABC
cân tại
C
có phương trình cạnh AB là

− =x 2y 0
, điểm
(
)
I 4;2
là trung điểm của AB , điểm

d
. Khi đó
H' AC
∈
.
∆
là đường thẳng đi qua H và vuông góc với
1
d
, nên có:
: x y 2 0
∆ + + =

Gọi
I
là giao điểm của
1
d
và
∆
nên tọa độ
I
thỏa:
( )
x y 2 0
I 2;0
x y 2 0
+ + =

⇒ −

x y 2 0
A 5;7
3x 4y 13 0
− + =

⇒

− + =


Do
CH đi qua H và vuông với AH , suy ra phương trình của
CH:3x 4y 7 0+ + =

Tọa độ điểm
C là nghiệm hệ :
3x 4y 7 0
10 3
C ;
3x 4y 13 0 3 4
+ + =

 
⇒ −

 
− + =
 



+ − =


⇔
 
− + + = +


=

( )
c
B 3 2c;6 c C' 4 c;4
2
 
⇒ − − ⇒ − −
 
 

Vì
C' CC'
∈
nên
( )
c
2 4 c 4 3 0
2

≥
B B B
B 2y ; y ,y 3

( )
⇒ − − ⇒ = −
B B B
A 8 2y ; 4 y AB 20 y 2


Gọi tọa độ điểm
( )
− ⇒ = −
C C C
C x ;10 2x CI 5 4 x


Diện tích tam giác ABC là :
= = ⇔ + − − =
ABC B C C B
1
S CI.AB 10 4y 2x x y 8 2
2

( )
⇔ − − = −

C B B C
x y 4y 2x 6 1 hoặc
( )

3
Từ
( )
1 và
( )
3 :

 − − = −
= − −
 
⇒
 
− − + =

= − +



C B B C
B
C B B C
B
x y 4y 2x 6
y 1 2
2x y 6y 5x 16 0
y 1 2
không thỏa
≥
B
y 3

, biết:
1.

( )
A 2;1 ,−
( )
B 2;3 ,
( )
C 1; 5− . Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm D,G
với D là chân đường phân giác trong góc A và G là trọng tâm của ABC
∆http://trithuctoan.blogspot.com/
+
Nguyễn Phú Khánh

533

2.
( )
A 4; 1−
,
đường cao kẻ từ B có phương trình : 2x 3y 0
∆ − =
, trung tuyến đi qua đỉnh
C có phương trình
' : 2x 3y 0.∆ + =
Lập phương trình các cạnh của ABC∆


 
 
= = ⇔ ⇔ ⇒ −
 
 
−
 
 
− = − − =
 
 
  1 1
G ;
3 3
 
−
 
 
là trọng tâm của
ABC
∆

Ta có
19 2
DG ;
15 15
 

A 4; 1
−
và vuông góc với ∆ nên nhận
(
)
u 3; 2

làm VTPT nên
có phương trình là
(
)
(
)
3 x 4 2 y 1 0
− + + =
hay 3x 2y 10 0
+ − =

Suy ra toạ độ
C là nghiệm của hệ :
( )
3x 2y 10 0 x 6
C 6; 4
2x 3y 0 y 4
 + − =  =
⇔ ⇒ −
 
+ = = −
 


Từ
(
)
1 và
(
)
2 suy ra
5 5
B ;
4 6
 
− −
 
 

Ta có
21 1 31 19
AB ; , BC ;
4 6 4 6
   
− −
   
   
 
.

http://trithuctoan.blogspot.com/
+
Nguyễn Phú Khánh


= −




= − +

Ví dụ 4
. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,

cho hình chữ nhật ABCD có
tâm
 
 
 
1
I ;0
2
. Phương trình đường thẳng
AB
;à :
− + =x 2y 2 0
và
=
AB 2AD
. Tìm tọa độ

a 0 thì
+
=
a 2
b
2
. Do
∈
A AB

Nên
( )
+
   
= − + = ⇒ = − ⇒ −
   
   
2 2
2
1 a 2 25
IA a a 2 A 2;0
2 2 4

Tương tự
( )
B 2;2
. Dựa vào tính chất trung điểm tìm được
( ) ( )
− −C 3;0 ,D 1; 2


 
− − −
 
 
a
C 1 a; 1 ,
2

 
− − −
 
 
b
D 1 b; 1
2

Từ tính chất hình chữ nhật :
= −

= = −
 

⇒ ⇒
  
= =
=

 

2

http://trithuctoan.blogspot.com/
+
Nguyễn Phú Khánh

535

Và
= = ⇒
5
IA IB A,B
2
là các giao điểm của đường thẳng AB với đường tròn tâm I và
bán kính
=
5
R
2
. Tọa độ
A,B
là nghiệm hệ
− + =



   
− + =

   
   


Oxy,

cho hình vuông ABCD , có
tâm
 
 
 
5 5
I ;
2 2
, phương trình cạnh
AB
là :
+ − =4x 3y 5 0
. Tìm tọa độ các đỉnh
A,B,C,D

biết rằng
C
có hoành độ dương. Lời giải
( )
 
+ − = ⇒ = − + ⇒ − +
 
 
4 5 4 5
AB :4x 3y 5 0 y x A a; a ,


=
 
⇔
 
=
=
 



2 2
BI AC
BI.AC 0
1
1
BI AC
BI AC
2
4

( )
I

Mà
   
= − + = − +
   
   
 


Vậy,
( ) ( ) ( ) ( )

− −

       

− − − −
       

       

A 2; 1 ,B 1;3 ,C 3;6 ,D 6;2
35 23 50 38
A 10; ,B 7; ,C 5; ,D 2;
3 3 3 3

Mà
>
C
x 0

( ) ( ) ( ) ( )
⇒ − −A 2; 1 ,B 1;3 ,C 3;6 ,D 6;2
là tọa độ cần tìm.

Ví dụ 6
. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,


= =k tanB 3

hay


= ⇒ =
0 0
B 60 C 30

Giả sử
( )
( )
( )
− ∈A a;0 ,C a; 3a 3 BC

Khi đó :
 
= +
 
 
A B
AB r cot cot
2 2
hay
(
)
− = +a 1 2 1 3 .
TH1:
( )


− = − + ⇒ = − − ⇒

− − − −


A 2 3 1;0
a 1 2 1 3 a 2 3 1
C 2 3 1; 6 2 3

Khi đó
 
− − − −
=
 
 
 
1 4 3 6 2 3
G' ;
3 3

Cách 2 : Phương trình đường
( )
1
d
phân giác trong của góc A là :
= − +y x a

Phương trình đường
( )

⇒a ycbt
( Cách 1 )
Cách 3:
ta có
= − = − = −
AB a 1 ,AC 3 a 1 ,BC 2 a 1

( )
( )

= = −

−

⇒ = = = ⇒ − = +

+
− + −

=


2
1 3
S .AB.AC a 1
a 1
S
2 2
r 2 a 1 2 3 1
P

ABC
vì
= ⇒ = ±
r 2 y 2http://trithuctoan.blogspot.com/
+
Nguyễn Phú Khánh

537

Phương trình
( )
− −
= − = ⇔ ± = ⇒ = ±
0
x 1 x 1
BI: y tan30 x 1 2 x 1 2 3
3 3

* Nếu A và O khác phía đối với
⇒ = +B x 1 2 3
và
( )
= ⇒ = +d I;AC 2 a x 2 
+ +

( )
AB :
x 2y 3 0
+ − =
và
trọng tâm
G
của
ABC
∆
thuộc đường thẳng
x y 2 0
+ − =
. Xác định tọa độ
A,B

của tam giác.
2.
Cho hình chữ nhật
ABCD
có phương trình cạnh
AB
:
x 2y 1 0
− − =
, đường chéo

BD :
x 7y 14 0
− + =

G
2x 1
x
3
2y 1
y
3

−
=


⇔

−

=

G x y 2 0∈ + − =
nên có:
2y 1
2x 1
2 0
3 3
−
−
+ − =

 
⇒ = − + + = =
 
 

Hơn nữa
A x 2y 3 0
∈ + − =
suy ra tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:

( ) ( )
A A A
2 2
A A A
x 2y 3 0 x 4
5 1
x 5 y 1 y
4 2
 + − =  =
 
⇔
 
− + + = = −
 
 
hoặc
A
A
x 6
3

( )
x 2y 1 0 x 7
B 7; 3
x 7y 14 0 y 3
 − − =  =
⇔ ⇒ =
 
− + = =
 

Giả sử:
(
)
A 2a 1; a AB : 2 2y 1 0,
= + ∈ − − =( )
D 7d 14; d BD : x 7y 14 0− ∈ − + =

( ) ( ) ( )
AB 6 2a; 3 a , BD 7d 21; d 3 , AD 7d 2a 15; d a⇒ = − − = − − = − − −
  

Vì
( )( )
AB AD AB.AD 0 3 a 15d 5a 30 0 a 3⊥ ⇒ = ⇔ − − − = ⇔ =
   
( không thỏa )
hoặc 3d a 6 0− − =

( ) ( )
EA 6d 13; 3d 7 , EC d 2; 8 2d⇒ = − − = + −
 
và d 3≠
Lại có:
( )
E 2;1 AC EA, EC∈ ⇒
 
cùng phương

(
)
(
)
(
)
(
)
2
6d 13 8 2d d 2 3d 7 d 5d 6 0
⇔ − − = + − ⇔ − + =(
)
(
)
(
)
(

là giao điểm của hai đường chéo, hai cạnh của hình bình hành nằm
trên hai đường thẳng
1 2
d ,d
và giao điểm của hai đường thẳng đó là một đỉnh của
hình bình hành. Lời giải
Tọa độ giao điểm của
1
d
và
2
d
là nghiệm của hệ:
x y 1 0 x 1
3x y 5 0 y 2
+ − = = −
 
⇔
 
− + = =
 
.
Ta giả sử
( )
A 1;2−
và
1 2

x
x y 6 0
1 23
4
M ;
3x y 5 0 23 4 4
y
4

=

+ − =


 
⇔ ⇒
 
 
− + =
 


=

d
2
d

. Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB :
x 3y 5 0,− + =
đường chéo BD :
x y 1 0− − =
và đường chéo AC đi qua điểm
( )
M 9;2− . Tìm tọa độ các đỉnh của
hình chữ nhật
ABCD .
2.
Cho 3 đường thẳng
1 2
d :x 3y 0, d :2x y 5 0,− = + − =
3
d : x y 0− = . Tìm tọa độ các
điểm
1 2 3
A d , B d , C, D d∈ ∈ ∈
để tứ giác
ABCD
là một hình vuông. Lời giải
1.
Tọa độ điểm B là nghiệm hệ phương trình:
x 3y 5 0 x 4
x y 1 0 y 3
 − + =  =
⇔

)
AC
n 2 a;4 3a
= − +

lần lượt là vectơ pháp
tuyến của
AB,

BD,
AC. Hơn nữa




ABD BAC cos ABD cosBAC= ⇒ =
Mà

2
cosABD ,
5
=


( ) ( )
2 2
10 a 1
cos BAC
10 2 a 4 3a
+

+
Nguyễn Phú Khánh

540∗
Với
(
)
a 1 A 2;1
= ⇒ −
. Đường thẳng
AD
đi qua
A
và vuông góc với
AB
nên có
phương trình :
3x y 5 0
+ + =

Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ :
x y 1 0 x 1
3x y 5 0 y 2
 − − =  = −
⇔
 
+ + = = −

( )
C 5;0 ,
( )
D 1; 2
− −
là tọa độ cần tìm.
2.
Gọi
(
)
2
B b; 5 2b d
− ∈
. Đường thẳng
1
∆
qua B và vuông góc
3
d cắt
3
d tại C .
Phương trình
1
: x y b 5 0∆ + + − =

Tọa độ của
C

là nghiệm hệ
x y 0

 
− =
 


Đường thẳng
2
∆
qua
A
và vuông góc
3
d
cắt
3
d
tại

D
.
Phương trình
1
: x y 6b 10 0∆ + − + =

Tọa độ của
D

là nghiệm của hệ
( )
x y 0

5 15 5 5 5 5 5 5
b A ; , B ;0 , C ; , D ;
2 4 4 2 4 4 2 2
       
= ⇒
       
       Ví dụ 10
. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy
1
. Cho đường thẳng
(
)
d : x 2y 1 0,
+ − =

(
)
d' : 3x y 7 0
+ − =
cắt nhau tại I. Viết
phương trình đường thẳng đi qua
(
)
M 1;2 , đồng thời cắt 2 đường thẳng
(
)
d và
http://trithuctoan.blogspot.com/
+
Nguyễn Phú Khánh

541Lời giải
1.
Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:

x 2y 1 0
3x y 7 0
 + − =

+ − =


( )
x 3
I 3;2
y 2
 = −
⇔ ⇒ −

=

.

Mà
( ) ( )
2 2
2 2
IH 2KH IH KH 20 2 a 1 7 3a a 2
 
= ⇔ = ⇔ = − + + ⇒ = −
 
 

Ta có:
AI 2AB
IH HK
HK AB
AI AB
IH 2KH

=

⇒ = ⇒

=




Vậy, đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua
M
và có vectơ chỉ phương là
(
( ) ( )
CD
CD 4;1 n 1; 4
⇒ − ⇒
 
phương trình đường thẳng
CD : x 4y 17 0
− + =( ) ( )
MAB MCD
4x 3y 4 x 4y 17
S S AB.d M,AB CD.d M,CD 5 17
5
17
+ − − +
= ⇔ = ⇔ ⋅ = ⋅4x 3y 4 x 4y 17
⇔ + − = − +

Tọa độ M cần tìm là nghiệm của hệ:

3x y 5 0
3x y 5 0
3x 7y 21 0

 
⇒ − −
 
 Ví dụ 11
. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy

1.
Cho tam giác ABC có diện tích bằng 96 . Gọi
( )
M 2;0 là trung điểm của
AB,

phân giác trong của góc A có phương trình:
(
)
d : x y 10 0
− − =
. Đường thẳng AB

http://trithuctoan.blogspot.com/
+
Nguyễn Phú Khánh

542

tạo với

và
C
tới đường thẳng
∆
lớn nhất. Lời giải
1.
M'
đối xứng với
(
)
M 2;0
qua
(
)
d : x y 10 0
− − =

(
)
M' 10; 8
⇒ −
.
Đường thẳng qua
( )
M 2;0 với vectơ pháp tuyến
( )
n a; b

Với
(
)
a 7b AB :
= ⇒

7x y 14 0
+ − =

AB cắt d tại
( )
A A 3; 7
⇒ −
và B đối xứng A qua
( )
M B 1;7
⇒AM'B ABC
1 1
AB 10 2 S AB.d M',AB 48 S AC 2AM'
2 2
∆ ∆
⇒ = ⇒ =   = = ⇒ =
 
 (

 
 (
)
C 11; 15
⇒ −

Vậy,
( ) ( ) ( )
A 3; 7 , B 1;7 , C 17; 9
− −
hoặc
( ) ( ) ( )
A 9; 1 , B 5;1 ,C 11; 15
− − −
là tọa độ cần
tìm.
2.
∗
Nếu đường thẳng
∆
cắt đoạn BC tại 1 điểm M . Khi đó:
d B, d C, BM CM BC
 ∆ +  ∆ ≤ + =
   
. Đẳng thức xảy ra khi đường thẳng
∆
vuông

ABC
∆
nhọn nên
2AI BC
>
, do đó
d B, d C,
 ∆ +  ∆
   
lớn nhất khi và chỉ khi
đường thẳng
∆
đi qua
A
và có vectơ pháp tuyến
(
)
AI 4; 5
=


Đường thẳng cần tìm:
(
)
(
)
4 x 1 5 y 1 0
− + − =
hay
4x 5y 9 0

d'
sao cho đường thẳng
+ + =
d :3x 4y 1 0
là đường
phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng
d
và
d'
.

Lời giải
1.
Nhận thấy
A
và
B
nằm về một phía so với đường thẳng
∆
. Gọi
A'
là điểm
đối xứng với
A
qua
∆
. Khi đó với mọi điểm
M
thuộc
∆


19
x
19 2
5
H ;
2 5 5
y
5

=


 
⇔ ⇒

 
 

=


.
Vì
H
là trung điểm của
AA'
nên
∆
M

28 26
A'B ;
5 5
 
= −
 
 

, khi đó phương trình A'B:
13x 14y 43 0
+ − =

Tọa độ M thỏa hệ phương trình:

=

− − =


⇔
 
+ − =


=


16
x
x 2y 3 0


x 2y 3 0 x 1
3x 4y 1 0 y 1
− − = =
 
⇔
 
+ + = = −
 
( )
I 1; 1
⇒ −

Vì d là phân giác của góc hợp bởi giữa hai đường thẳng
∆
và d' nên d và d' đối
xứng nhau qua
d
, do đó
I d'
∈
.
Lấy
( )
∈∆
E 3;0 , tìm được
3 16
F ;
5 5
 

AB,AC
và
( )
D 1;0 là chân đường
phân giác trong góc
A
. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
2
.
( )
M 1;4 ,
( )
N 1;3
−
là trung điểm của
BC,CA
và
1 5
H ;
3 3
 
−
 
 
là trực tâm tam giác
ABC .
3.

(
)


.
Vì
B,C,D
thẳng hàng nên
a 3 b 2
a 1 b 4
+ +
=
+ −
3a b 7 0 b 3a 7
⇔ − + = ⇒ = +

( )
1 .
Mặt khác D là chân đường phân giác trong góc A nên
(
)
(
)
AD,AB AD,AC
=
   

(
)
(
)
AD.AB AD.AC
cos AD,AB cos AD,AC

( ) ( )
( )
2 2 2
2
a 1 a 1 b b 1 a 1 a b 2 b
a 1 b 1 a b 2
− + + + − + −
∗ ⇔ =
+ + + + −

( )
2

Thay
( )
1
vào
( )
2
ta có:
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )
2 2
2 2 2
2
a 1 3a 7 3a 8 a a 3a 5 3a 7
a 1 3a 8 a 3a 5
− + + + − + + +

M
qua
AD
và
AC M'N
≡

Gọi N' là điểm đối xứng của N qua AD và AB MN'≡

2.
Gọi
(
)
(
)
(
)
C x; y B 2 x;8 y , A 2 x;6 y
⇒ − − − − −

Vì
1 5
H ;
3 3
 
−
 
 
là trực tâm tam giác
ABC

3 3
 
= − − − = − −
 
 
 

Nên
( )
( ) ( )
( )
7 23
x 2x 2 y 2y 8 0 1
3 3
1 5
2 x y 0 2
3 3

   
+  −  + − + − =

   
 

   
∗ ⇔

 

− + + =


x 3⇔ = − hoặc
41
x
15
= −
.
•

(
)
(
)
(
)
x 3 y 5 A 1;1 , B 5;3 , C 3;5
= − ⇒ = ⇒ −•
41 67 11 23 71 53 41 76
x y A ; , B ; , C ;
15 15 15 15 15 15 15 15
     
= − ⇒ = ⇒ −
     
     
.
3.
Gọi

EH.EF EH.ED
EF ED
FH.FE FH.FD
EF FD

=




=


   
   
, giải hệ này ta
tìm được
a 1,b 1
= =
hay
(
)
H 1;1
.
F
H
E
D
B
A

.
Vì
( )
3x y 8 0 x 1
A AB AC A : A 1;5
x y 4 0 y 5
 − + =  = −
= ∩ ⇒ ⇔ ⇒ −
 
+ − = =
 

Tương tự, ta tìm được
(
)
(
)
B 4; 4 ,C 4;0
− −
.

Ví dụ 14
. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho điểm
( )
A 3;2 , các

http://trithuctoan.blogspot.com/
+

B b;3 b− ,
∈ + − =
2
C d : x y 9 0
nên
( )
C c;9 c− .
Tam giác ABC vuông cân tại A khi và chỉ khi

=
 =

⇔
 
⊥
=



2 2
AB AC
AB AC
AB AC
AB.AC 0
 

Hay
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
2 2 2 2

( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
2
3u 5
v
3u 5
v
u 1
u 1 v 3 3
u 1
4
u 1 3
uv 3u v 5 0
u 1 4
u 1
 +
=
 +


=
+

 + = − +
+

)
(
)
B 0;3 ,C 4; 5
.
Chú ý:
Ngoài cách trên, ta có thể giải theo cách khác như sau:
Tịnh tiến hệ trục tọa độ Oxy về hệ tục XAY theo véc tơ OA

, ta có công thức dời
trục:
 = +

= +

x X 3
y Y 2
.
Trong hệ trục mới, ta có phương trình của
1
d : X Y 2 0,+ + =

2
d : X Y 4 0+ − =
.
Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên phép quay
±
→
0
(A, 90 )

X Y 2 0 X 3 x 6
X Y 4 0 Y 1 y 3
.
•
Xét phép quay
−
0
(A; 90 )
Q
, ta có phương trình − + =
'
1
d : X Y 2 0

http://trithuctoan.blogspot.com/

Nguyễn Phú Khánh

548

Do đó tọa độ của C là nghiệm của hệ:
 − + =  =  =
⇔ ⇒
  
+ − = = =
  
X Y 2 0 X 1 x 4
X Y 4 0 Y 3 y 5
.
Từ đó ta tìm được B, C.

(
)
I 3; 1
,
(
)
(
)
C t; t 2 d
+ ∈
với
t 0,
<

2
IC 2t 4t 10,= − +

( )
IH d I,CD 2 2= = ⇒
2
CI 4 2t 4t 10= = − +
t 3⇒ = ( không thỏa ) hoặc
( )
t 1 C 1;1= − ⇒ −
(
)
(
)
H a; a 2 d ,
+ ∈

)
ABCD
AB CD . IH IK
S
2
+ +
=

( )
2
36 x 3 2 4 2 2 2 x 3
2
 
⇔ = − + + −
 
 
 

( )
2
36 x 3 4
⇔ = − +
x 3 2 x 1⇔ − = ⇔ = ( không thỏa ) hoặc x 5=
( )
A 5;1⇒
( )
AB d : x y 4 0
B 3; 1 AB DI BC : x 2y 1 0
DI : x 3
− − = 