- 1 -
******************************************************************************
A. Më ®Çu
I. Cơ sở của đề tài
1. Cơ sở lí luận.
Trong cuộc sống hằng ngày, mỗi chúng ta ai cũng có sự so sánh, phán đoán, suy lý
trên cơ sở các ý niệm, khái niệm về hiện tượng sự vật xung quanh. Đó chính là tư
duy lôgic. Tư duy lôgic là suy nghĩ, nhận xét, đánh giá một cách chính xác, lập
luận có căn cứ. Như vậy tính lôgic là bắt buộc đối với mọi khoa học.Và Toán học
là một nghành khoa học lí thuyết được phát triển trên cơ sở tuân thủ nghiêm ngặt
các quy luật của tư duy lôgic hình thức.Có nghĩa là khi xây dựng Toán học, người
ta dùng suy diễn lôgic, nói rõ hơn là phương pháp tiên đề. Theo phương pháp đó,
xuất phát từ các khái niệm nguyên thuỷ và các tiên đề rồi dùng các quy tắc lôgic để
định nghĩa các khái niệm khác và chứng minh các vấn đề khác. Vì thế Toán học
được coi là " môn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện
phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp
giải quyết các vấn đề, giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh và sáng tạo"(Phạm
Văn Đồng).
Bởi vậy, một trong những nhiệm vụ quan trọng bậc nhất của việc giảng dạy toán
học ở trường phổ thông đó là "Dạy suy nghĩ". Phải có sự suy nghĩ chính xác thì
mọi hoạt động mới mang lại hiệu quả như mong muốn được. Hoạt động học tập
môn toán lại càng cần đến sự suy nghĩ chính xác tối đa. Như vậy rèn luyện khả
năng tư duy lôgic cho học sinh trong quá trình dạy toán là một vấn đề tối thiểu cần
thiết và rất đáng để đầu tư công sức.
2. Cơ sở thực tiễn.
Khi trình bày môn Toán cấp THCS, do đặc điểm lứa tuổi và yêu cầu của cấp học
người ta có phần châm chước, nhân nhượng về tính lôgic. Cụ thể là : Mô tả(không
định nghĩa) một số khái niệm không phải là nguyên thuỷ, thừa nhận (không chứng
minh ) một số mệnh đề không phải là tiên đề, hoặc chấp nhận một số chứng minh
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học

khoa nên mặc dù cả thầy và trò đều sử dụng đến một cách thường xuyên nhưng vì
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 3 -
******************************************************************************
không nhấn mạnh, không làm "nổi " lên do đó chưa đọng lại trong trí óc các em và
cũng chưa hình thành được thói quen sử dụng và rèn luyện nó.
Nhận thức rõ vai trò to lớn, tầm quan trọng hàng đầu của tư duy lôgic đối với
hiệu quả học tập môn toán của học sinh phổ thông nói chung, học sinh THCS nói
riêng nên trong quá trình dạy học môn Toán đặc biệt là loại toán chứng minh, tôi
luôn để ý đến khả năng tư duy lôgic của các em và so sánh các cách làm khác nhau
của giáo viên tác động như thế nào đến khả năng ấy. Tôi đã phát hiện ra rằng khi
học loại toán chứng minh đòi hỏi các em phải có kỹ năng tư duy lôgic chặt chẽ và
đó cũng là môi trường thuận lợi để rèn luyện tốt kỹ năng này cho các em . Vì vậy,
tôi chọn lựa đề tài " Rèn luyện khả năng tư duy lôgic cho học sinh THCS thông
qua dạy học chứng minh toán học".
II. Lịch sử của đề tài.
Trong quá trình giảng dạy môn Toán cấp THCS hơn 10 năm qua và cả trong
quá trình tự học, tự rèn bản thân, tôi thường xuyên quan sát, tìm hiểu những khó
khăn, vướng mắc của học sinh cũng như của bản thân mình trong việc nâng cao
năng lực tư duy toán học. Dưới sự giúp đỡ của các đồng nghiệp và sự nỗ lực không
ngừng của bản thân tôi đã gặt hái được kết quả đáng mừng trong việc rèn luyện khả
năng tư duy toán học cho đối tượng học sinh THCS thuộc các lớp mà tôi đã giảng
dạy ở trường mình thông qua loại toán chứng minh. Những kết quả thu được báo
hiệu phương pháp thực hiện mang tính khả thi cao nên tôi mạnh dạn hoàn thành
bản sáng kiến kinh nghiệm này.
III. Mục đích - nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu.
1. Mục đích:
Tôi chọn đề tài này nhằm góp thêm một hướng đi, một cách làm có hiệu quả
đối với nhiệm vụ rèn luyện cho học sinh kỹ năng tư duy lôgic nói chung, kỹ năng

Như đã trình bày ở trên, bản chất lôgic của toán học là lôgic hình thức và mối
quan hệ giữa khả năng tư duy lôgic và hiệu quả học tập môn Toán là hai vấn đề
có mối quan hệ chạt chẽ với nhau. Để học tốt môn Toán người học phải có khả
năng nhất định về tư duy lôgic. Ngược lại khả năng tư duy lôgic được hình thành
và phát triển tốt hơn trong học tập môn Toán. Vì thế, việc hình thành khả năng tư
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 5 -
******************************************************************************
duy lôgic cho học sinh là một quá trình lâu dài, đòi hỏi sự quan tâm ngay từ đầu
và duy trì bền bỉ trong suốt cả quá trình dạy học của giáo viên. Mọi bài toán, mọi
đối tượng toán học đều ẩn chứa trong đó yếu tố lôgic học. Vì vậy trong mọi giờ
học toán dù chính khoá hay ngoại khoá, dù dạy kiến thức mới hay luyện tập, ôn
tập, dù với đối tượng học sinh khá giỏi hay yếu kém đều có thể thực hiện được
vấn đề rèn tư duy lôgic.Tuy nhiên để có điều kiện nghiên cứu sâu, tìm hiểu kỹ thì
trong đề tài này tôi tập trung nghiên cứu và thể nghiệm chủ yếu trong loại toán
chứng minh. Bởi vì khi học loại toán chứng minh thì khả năng tư duy của các em
được bộc lộ rõ nhất và cũng ở dạng toán này rất thuận lợi cho việc kiểm tra kết
quả thực nghiệm. Để đảm bảo yêu cầu sư phạm và tính phổ dụng rộng rãi của đề
tài, các bài toán, các vấn đề được sử dụng trong đề tài mang tính vừa sức với đối
tượng học sinh THCS.
V. Đổi mới trong kết quả nghiên cứu.
Qua nghiên cứu và thử nghiệm nhiều năm trên nhiều đối tượng học sinh
THCS thuộc các lớp tôi đã giảng dạy cho thấy kết quả rất khả quan.
Trước một vấn đề , một bài toán đặt ra, học sinh bước đầu biết "cách suy nghĩ"
biết định hướng, lựa chọn phương pháp phù hợp . Khi tìm ra cách giải quyết vấn
đề các em đã khắc phục dần những sai lầm trong cách suy nghĩ cũng như khi
trình bày bài làm do khả năng tư duy lôgic được rèn luyện tốt. Từ đó, các em biết
trình bày, lập luận một cách chặt chẽ, hợp lý, ngắn gọn súc tích và đầy đủ. Qua đó
hình thành thói quen xem xét vấn đề ở các góc độ khác nhau theo các chiều

• Khi dạy khái niệm số nguyên tố, hợp số cho học sinh lớp 6 thì các em
đều biết: "Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1
và chính nó"
Và " Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước"
Tuy nhiên khi hỏi học sinh:
" Chứng minh một số là số nguyên tố ta làm thế nào ? "
Học sinh chỉ trả lời được:
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 7 -
******************************************************************************
" Muốn chứng minh một số là số nguyên tố ta chứng tỏ nó là hợp số"
Như vậy học sinh đã tỏ rõ khiếm khuyết trong việc phân tích cấu trúc lôgic
của khái niệm dẫn đến trả lời thiếu chặt chẽ yêu cầu chứng minh của bài toán.
• Hoặc khi gặp bài toán:
Cho số :
*6

Tìm * để
*6
chia hết cho 2, cho 3 và cho 5.
Không ít học sinh lần lượt xét * để
*6
chia hết cho 2. Rồi lại xét * để
*6
chia
hết cho 3
Trong trường hợp này học sinh không phân tích được bản chất của dấu phẩy
(,) cũng như từ "và" của bài toán. Thực ra chúng là phép hội trong lôgic toán học.
• Đơn giản như khi ta cho học sinh viết gọn bằng kí hiệu câu diễn đạt sau:






−=
=
7
2
3
x
x

Rõ ràng học sinh đã mắc cả lỗi về sử dụng dấu "
⇒
" cả lỗi về dấu "
{
"
( Thực chất của dấu "
⇒
" là phép "Kéo theo" , dấu "
{
" hay liên từ "và " là
"Phép tuyển" trong lôgic toán học )
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 8 -
******************************************************************************
• Không chỉ có ở số học và đại số,trong hình học, học sinh cũng mắc
nhiều lỗi không kém.Thí dụ:

như thực tiễn giảng dạy bộ môn cho thấy qua hoạt động suy luận, chứng minh
toán học thì khả năng tư duy lôgic của học sinh được rèn luyện tốt nhất.
V. Thu thập, phân tích, tổng hợp và tiến hành thể nghiệm các biện
pháp trên đối tượng học sinh THCS tại các lớp mình giảng dạy.
Bằng kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy và nhiệt tình trao đổi học hỏi về
chuyên môn cũng như sự bền bỉ kiên trì tìm kiếm, thể nghiệm, lựa chọn tôi rút
ra các biện pháp như sau để rèn luyện cho học sinh THCS có tư duy logic toán
học tốt qua loại toán chứng minh.
1. Trước hết cho học sinh tiếp cận với phương pháp chứng minh trực
tiếp.
Có nhiều phương pháp chứng minh. Tuy nhiên đầu tiên giáo viên cần cho
học sinh tiếp xúc, làm quen và rèn luyện phương pháp chứng minh trực tiếp. Để
có hiệu quả, giáo viên cần chú trọng việc giúp đỡ học sinh rèn khả năng chuyển
đổi ngôn ngữ của bài toán. Sau đó dần dần hình thành ở các em kỹ năng sử dụng
các kết luận lôgic tuân theo các quy tắc lôgic.
1.1 Rèn luyện khả năng chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán từ lời sang kí
hiệu, hình vẽ và ngược lại.
Việc phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ thông thường sang kí hiệu toán học,
hình vẽ và ngược lại có một ý nghĩa hết sức quan trọng. Không những giúp cho
các em nắm chắc cấu trúc của bài toán (cái cho biết, cái phải tìm) mà còn giúp các
em dễ dàng phân biệt các phần khác nhau của điều kiện, từ đó tìm được hướng
huy động các kiến thức có liên quan. Như vậy cũng góp phần cho việc rèn luyện
khả năng tư duy có lôgic.
Dẫn chứng:
Ví dụ 1:
Ngay từ bài toán "Vỡ lòng" sau:
"Chứng minh rằng: Trong hình chữ nhật hai đường chéo bằng nhau".
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 10 -

***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
GT ABCD là hình chữ nhật
KL AC = BD
- 11 -
******************************************************************************
1.A
1
) Trong hình chữ nhật các góc đều vuông và Từ định nghĩa
các cạnh đối bằng nhau.
A
2
) ABCD là hình chữ nhật Giả thiết
A
3
) Do đó
0
^^
90== BA
và AD = BC Từ A
1
và A
2

2. A
4
) Nếu hai tam giác tam giác vuông có 2 cạnh Định lí đã biết
góc vuông bằng nhau thì chúng bằng nhau.
A
5

6
, A
9
).
Chẳng hạn ở bước A
3
:
Từ A
1
và A
2
suy ra A
3
. Vì A
1
, A
2
đúng suy ra A
3
đúng.
Hay ở bước A
6
:
Từ A
4
và A
5
suy ra A
6
. Vì A

(c.g.c)
ΔABD = ΔABC (KL)
Sơ đồ1
Ví dụ 2:
Chứng minh định lý về đường trung bình của một tam giác:
"Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của một tam giác và song
song với cạnh thứ hai thì cũng đi qua trung điểm của cạnh thứ ba".
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
ABCD là hình chữ nhật
AC = BD
- 13 -
******************************************************************************
* Vẽ hình và phân tích làm rõ cấu trúc của mệnh đề cần chứng minh có
dạng:
(AD = DB) và (DE // BC)
⇒
(AE = EC) ( Liên từ "và" thực chất là
"phép hội" trong lôgic toán học )
Hìnhvẽ
F
D
E
A
B
C
* Xây dựng sơ đồ giúp học sinh nhìn thấy rõ quá trình suy luận(Sơ đồ 2).

∈
Z) (GT)
(GT)
(Khái niệm) (Khái niệm)

(k
∈
Z) ) (q
∈
Z)
(Tính chất phân phối của phép
nhân đối với phép cộng)

(khái niệm )
(KL)
Nhờ cách phân tích này, học sinh tìm cách giải bài toán một cách có cơ sở
hơn, khi trình bày cũng chặt chẽ hơn. Như vậy các em đã bước đầu biết suy nghĩ,
phân tích bài toán để tìm cách giải một cách lôgic.
Sau khi học sinh nắm được cách tư duy và phân tích bài toán như hướng dẫn
trên giáo viên cho các em làm các bài tập củng cố kỹ năng :
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
a : m b : m
b = m.q
a = m.k
a + b = m.k +m.q
a + b = m(k +q)
a + b : m
- 15 -
******************************************************************************

2
= 4 nên mệnh đề trên là sai.
Ta nói rằng cách làm trên là chỉ ra một phản thí dụ.
Ví dụ 5:
Chứng tỏ mệnh đề sau là sai: "Có một hình đa giác lồi có 4 góc nhọn".
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 16 -
******************************************************************************
Giáo viên có thể phân tích cho học sinh rõ cách suy luận như sau:
Có 1 đa giác lồi có 4 góc nhọn R

⇓

⇓
Đa giác đó có 4 góc ngoài là 4 góc tù S
1⇓

⇓
Tổng các góc ngoài của đa giác đó lớn hơn 4 góc vuông S
Theo phân tích trên ta có:
R
⇒
S
1
và S
1

và b. Xét các khả năng xảy ra trong bài toán:
- a// b
- a cắt b
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 17 -
******************************************************************************
Từ đó lập phủ định của mệnh đề này, tức là:
(a
⊥
c) và (b
⊥
c) suy ra (a không song song với b) (giả sử a cắt b tại I )
Ta có
cb
ba
⊥
⊥

⇒
Qua I có hai đường thẳng a, b cùng
a cắt b tại I vuông góc với c (S)
Mệnh đề S sai vì trái với định lý đã được chứng minh (Qua một điểm cho
trước, có thể dựng được một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường
thẳng cho trước). S sai, vậy :
)//()()( bakhongcbca ∧⊥∧⊥
là sai
Do đó
)//()()( bacbca
⇒⊥∧⊥

AC < AB AC = AB
(Định lý thuận) (Định lý thuận)
B < C B = C
B không lớn hơn C (B
≤
C )

Sơ đồ 3
Lưu ý:
- Cần giúp học sinh thấy rõ phép chứng minh trực tiếp(phản chứng) và phép
chứng minh gián tiếp không tách rời nhau. Trong chứng minh gián tiếp một mệnh
đề nào đó, ta thường phải chứng minh trực tiếp một mệnh đề trung gian, cũng như
trong chứng minh trực tiếp một mệnh đề nào đó nhiều khi ta phải chứng minh một
số mệnh đề trung gian bằng phản chứng.
- Thông thường phương pháp chứng minh gián tiếp hay được dùng để chứng
minh các định lý đảo(Dựa vào kết quả của định lý thuận) và khi chứng minh các
mệnh đề có dạng " Có ít nhất một "
Sau việc hướng dẫn qua ví dụ cụ thể giáo viên cần cho các em được thử sức
bằng các bài tập tương tự:
Bài tập tương tự:
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 19 -
******************************************************************************
1. Hãy trình bày thành sơ đồ phép chứng minh bằng phản chứng các mệnh đề
sau đây và xét xem ta đã dùng hình thức nào (Bác bỏ phủ định của mệnh đề phải
chứng minh hay chứng minh mệnh đề phản đảo):
a) Nếu tích của hai số nguyên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn.
b) Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng
song song với nhau.

bcyxacbcxacybxyxabxxya
bcyxyabxyacybcxxabxxac
+++++++
=+++++++
.22.22.
.2.22.2
22
22
(3)
(3) đúng, vậy (1) đúng . (điều phải chứng minh)
Cần phân tích cho học sinh thấy sự suy luận không hợp lôgic:
(1)
⇒
(4), (4) đúng, vậy (1) đúng.
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 20 -
******************************************************************************
Ở đây các phép biến đổi là tương đương nên phải nói:
(1)
⇔
(4), (4) đúng, vậy (1) đúng.
Như thế trong toàn bộ lời giải chỉ cần thay:
"Từ (1) suy ra (2)" bởi " (1) tương đương với (2)"
4.2. Khi giải bài toán sau:
Cho một tam giác ABC với trực tâm H và HC = AB.
Chứng minh rằng góc C = 45
0

Một học sinh đã giải như sau:

******************************************************************************

H
C'
C
A
B
G
B'
Như vậy trong khi hướng dẫn học sinh giải, cần lưu ý các em phân chian xem
xét tất cả các trường hợp xảy ra rồi mới kết luận.
4.3 Khi giải bài tập sau:
Với những giá trị nào của a , b ta có bất đẳng thức:
2>+
a
b
b
a
?
Học sinh giải:
a
2
+ b
2
> 2ab
a
2
- ab > ab - b
2





+
2
2
(2)
Muốn chứng minh (2) thì phải chứng minh (a+b)
2
- 4ab
0
≥
(3)
Muốn chứng minh (2) thì phải chứng minh a
2
+b
2
- 2ab
0≥
(4)
Hay (a - b )
2

0
≥
(5)
(5) đúng. Điều phải chứng minh"
VI. Kết quả thực nghiệm
Qua quá trình thực hiện nêu trên đối với học sinh thuộc các khối lớp tại trường
mà tôi trực tiếp giảng dạy trong những năm qua đã cho thấy kết quả rõ nét.

dồi thường xuyên của cả thầy và trò, tuyệt đối không thể nóng vội.
C. KÕt luËn
Trên đây tôi mới chỉ trình bày một số phương pháp giúp nâng cao khả năng
tư duy lôgic cho học sinh thông qua dạy chứng minh toán học. Các nội dung toán
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 24 -
******************************************************************************
học khác hoàn toàn có thể làm được điều này nếu giáo viên biết cách khai thác
yếu tố lôgic trong mỗi dạng toán.
Biết rằng rèn luyện bất kỳ một kỹ năng nào cũng không dễ dàng thành công
tuy nhiên chữ "nhẫn" trong trường hợp này còn đáng giá hơn cả "ngàn vàng".
Với kinh nghiệm ít ỏi trong công tác chuyên môn và sự nhiệt tình vì chất
lượng học tập của học sinh thân yêu, tôi đã viết ra những cách làm, hướng suy
nghĩ của bản thân và không thể tránh khỏi thiếu sót. Vì thế tôi rất mong cũng có
nhiều đồng nghiệp và các cấp chuyên môn quan tâm đến vấn đề này đồng thời
góp ý bổ sung để tôi có hướng đi tốt hơn trong "sự nghiệp trồng người".
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tháng 3 năm 2009.
Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa toán THCS các lớp 6,7,8,9. Nhà xuất bản Giáo dục, 2002.
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 25 -
******************************************************************************
2. Hoàng chúng - Mấy vấn đề về lôgic trong giảng dạy toán học, NXB Giáo
dục, 1969.
3. Nguyễn Bá Kim - Phương pháp giảng dạy môn toán, NXB Đại học sư phạm,
2004.
4. Nhóm tác giả: Lê Văn Hồng - Phạm Đức Quang - Nguyễn Thế Thạch -