Lê Trinh Tường THPT
Trưng Vương QN
Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
1
RÈN LUYỆN KỶ NĂNG BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
A-
CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÍ THUYẾT
.

I- TÓM TẮC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
HỆ THỐNG CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:

I- GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC:
1. Công thức quy đổi độ – Rađian:
180
a




2

sin
0
1
2

2
2

3
2

1
3
2

2
2

0
–1
0
cos
1
3
2

2
2

0
cot

3

1
3
3

0

3
3

–1

0 Lê Trinh Tường THPT
Trưng Vương QN
Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
2
sđ(ox, ot) = a
0
+ k360
0
hoặc sđ(ox, ot) =

+ k2

.R (

tính bằng rad)

II. NHÓM CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1:
1. Hằng đẳng thức lượng giác:
 sin
2
x + cos
2
x = 1






22
22
sin x 1 cos x
cos x 1 sin x

2
2
1
1

  



2
1
sin x
 sin
2
x =

2
1
1 cot x
 sinx =


2
1
1 cot x

 tanx.cotx = 1  tanx =

sinx 1
cosx cot x
 cotx =

cosx 1
sinx tanx

 Chú ý: Trong các công thức có chứa dấu () , việc chọn dấu (+) hoặc dấu (–) cần nhận
xét giá trị của cung x trên đường tròn lượng giác.
2. Cung liên kết:


cot
–cotx
–cotx
tanx
cotx
–tanx
3. Chú ý:
a + b =   180
0

cosb = –cosa
sinb = sina
a + b =

2
 90
0

cosb = sina
sinb = cosa
ABC
sin(B + C) =
sinA
cos(B + C) = –
cosA
tan(B + C) = – tanA


B C A
sin cos

2
a = 2cos
2
a – 1 = 1 – 2sin
2
a =


2
2
1 tan a
1 tan a

Lê Trinh Tường THPT
Trưng Vương QN
Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
3
sin2a = 2sina.cosa =

2
2tana
1 tan a
; tan2a =

2
2tana
1 tan a

3.Công thức hạ bậc:



2
2t
sina
1t




2
2
1t
cosa
1t



2
2t
tana
1t

5. Công thức biến đổi tích thành tổng:
2cosa.cosb = cos(a + b) + cos(a – b) 2sina.sinb = –[ cos(a + b) – cos(a – b) ]
2sina.cosb = sin(a + b) + sin(a – b)
6. Công thức biến đổi tổng thành tích:



a b a b

sin( )
cos .cos


Hệ quả: cosx + sinx =
2 sin( x) 2cos( x)
44

  
cosx – sinx =
2 sin( x) 2 cos( x)
44

  

III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ABC:
1. Định lý hàm số sin và cos:
a b c
2R
sinA sinB sinC
  

2 2 2
a b c 2bc.cosA  

2 2 2
b a c 2ac.cosB  

2 2 2
c a b 2ab.cosC  


a b c
p
2

R: Bán kính đường tròn ngoại tiếp, r: Bán kính đường tròn nội tiếp ABC
5. Công thức đường trung tuyến và phân giác trong các góc của ABC:



2 2 2
2
a
b c a
m
24



2 2 2
2
b
a c b
m
24



2 2 2
2

c
2ab C
l cos
a b 2
(l
a
, l
b
, l
c


độ dài phân giác)
B.
BÀI TẬP
.
VẤN ĐỀ 1. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC.
1. Tính giá trị lượng giác của cung sau.
1) sina =
3
5
với 0 < a <
2

2) tana = -
2
với < a <


3) cosa =

x 2) tan
2
x - sin
2
x = tan
2
xsin
2
x 3)
2
2
tan3 3 tan
tan 1 3tan
xx
xx




4)
22
22
cos sin
cot tan
xx
xx


= sin
2

ab
ab


= tan(a +b)tan(a - b) 9) cos
3
xsinx - sin
3
xcosx =
1
4
sin4x
10)
cos sin
cos sin
xx
xx


=
1
cos2x
- tan2x 11)
sin 2 2sin
sin 2 2sin
xx
xx


= -tan





3. Rút gọn các biểu thức sau:
1) A = sin(x +
5
2

) - 3cos(x -
7
2

) + 2sin(x +  ) 2) B=
 
11
sin cos 5sin
22
x x x


   
    
   
   

3)
     
os os 2 sin os
2

6
a + cos
6
a) - 3(sin
4
a + cos
4
a) 4) D =
1 cot
1 cot
a
a


-
2
tan 1a 

5) E =
2
sin4 4cosaa
+
42
cos 4sinaa
6) F = cos
2
a + sin(30
0
+ a)sin(30
0

1
1 sin 2mb
(m là hằng số không phụ thuộc vào a, b ).
5. Tính các biểu thức đại số.
1) Tính sin
3
a -cos
3
a biết sina -cosa = m
2) Biết sina + cosa = m hãy tính theo m giá trị của biểu thức: A =
1 cos2
cot tan
22
a
aa



3) Biết
cos( )
cos( )
ab
ab


=
p
q
. Tính tana.tanb
Lê Trinh Tường THPT

2) B = cos
7

.cos
4
7

.cos
5
7


3) C = sin6
0
.sin42
0
.sin66
0
.sin78
0
4) Tính: E = sin5
0
.sin15
0
sin25
0
.sin35
0
. sin85
0

0
+ cot20
0
8) Tính sin15
0
và cos15
0

8) A = tan20
o
.tan40
o
.tan60
o
.tan80
ob) B =
1
2sin10
o
- 2sin70
o
, M = cos
5

- cos
2
5

12

+ tan
2
5
12


e) E = tan9
o
- tan27
o
- tan63
o
+ tan81
o
. f) F = cos
6
16

+ cos
6
3
16

+ cos
6
5
16


+ cos
6
7


i) I = sin
5

+ sin
23
5

+ sin
6

+ cos
13
5

k) K = cos
5

+ cos
2
5

+ cos
3
5


o
. 11. Tính: A = sin6
o
.sin42
o
.sin66
o
.sin78
o
.
12. Tính: A = cos
7

. cos
4
7

. cos
5
7

. 13. Tính: cos
65

. cos
2
65

. cos
4

. sin
9
18

. 15. Tính: cos
15

.cos
2
15

.cos
3
15

.cos
4
15

cos
7
15

.
16. Tính: sin5
o
. sin15
o
.sin25
o

.sin20
o
.sin30
o
sin80
o
.
20. Tính: cos9
o
. cos27
o
. cos45
o
. cos63
o
. cos81
o
. cos99
o
. cos117
o
. cos135
o
. cos153
o
. cos171
o
.
21. Tính: A = cos
5

- x)tan(
3

+ x) = tan3x 4) cosa.cos2a.cos4a cos2na =
1
1
sin 2 .
2 sin
n
n
a
a



Lê Trinh Tường THPT
Trưng Vương QN
Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
6

5) Để tính S = cosa - cos(a + x) + cos(a +2x) + +(-1)
n
. cos(a +nx).
thì nhân 2 vế với 2cos
2
x
nếu cos
2
x


sin
x
x

[1 +
2
2
(1 cos )
sin
x
x

]
c) C = cos3x.cos
3
x - sin3x.sin
3
x

3. Chứng minh rằng :
a) 4.cosx.cos(
3

- x).cos(
3

+ x) = cos3x. b) 4.sinx.sin(
3

- x).sin(

.tan80
o
.
4. Chứng minh rằng :
a) sin
6
x + cos
6
x =
5
8
+

3
8
cos2x b) tanx =
1 cos2
sin 2
x
x

Áp dụng tính:
A = sin
6
(
24

) + cos
6
(

x =
35 7 1
cos4 cos
64 16 16
xx

Áp dụng tính A = sin
8
(
24

) + cos
8
(
24

) B = sin
4
(
16

) + sin
4
(3.
16

) + sin
4
(5.
16

) + cos(
4
5

)
7. Cho: sin2a + sin2b = 2sin2(a + b). Tính: tana.tanb. 24. CMR:
00
00
sin75 cos75
sin75 cos75


=
1
3VẤN ĐỀ 2. BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC.
I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
+ A + B + C =  +
ab
< c < a + b + a
2
= b
2
+ c
2
- 2a.b.cosC
+
2

a
2
=
2 2 2
24
b c a

m
b
2
=
2 2 2
24
a c b

m
c
2
=
2 2 2
24
b a c


+ Đường phân giác:
l
a
=
2 .cos
2

a c b
s

cotC =
2 2 2
4
a b c
s


II-BÀI TẬP : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC.
1. sinA + sinB + sinC = 4cos
2
A
.cos
2
B
.cos
2
C
. 2. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC.
3. sin3A+sin3B+sin3C = -4cos
3
2
A
cos
3
2
B
cos

A
tan
2
B
+ tan
2
B
tan
2
C
+ tan
2
C
tan
2
A
=1
13. cot
2
A
+cot
2
B
+ cot
2
C
= cot
2
A
cot

=
3
4
(a
2
+ b
2
+ c
2
).
17. la =
2 .cos
2
A
bc
bc
=
2
bc
. . .( )bc p p a
. 18. r = p.tan
2
A
tan
2
B
tan
2
C
=

a b A B
AB


=
1
4
(a
2
sin2B + b
2
sin2A) = p
2
.tan
2
A
tan
2
B
tan
2
C
= 2R
2
.sinA.sinB.sinC.
2. Chứng minh các đẳng thức sau:
Lê Trinh Tường THPT
Trưng Vương QN
Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
8

cos
2
A
. f) cos
2
BC
=
bc
a

sin
2
A
. g) b.cosB + c.cosC = a.cos(B - C).
h) cosA + cosB = 2
ab
c

sin
2
2
C
. i)
1
r
=
1
a
h
+

. b) IA.IB.IC = 4Rr
2
. c) cosA + cosB + cosC = 1 +
r
R

5. Các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng công sai của cấp số cộng
đó được xác định theo công thức sau: d =
3
2
r(tan
2
C
- tan
2
A
)
6. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc. CMR : b
2
+ c
2
= 5a
2
.
7. Chứng minh rằng:
cos
2
a
A
l

=
b
c
m
m
≠ 1 chứng minh rằng : 2cotA = cotB + cotC.
10. Cho tam giác ABC và AM là trung tuyến. gọi  =
AMB
. Chứng minh rằng:
a) cot =
22
4
bc
s

. b) cot = cotC - cotB. c) cot =
2sin( )
2sin sin
Bc
BC


11. Chứng minh rằng
c
b
là nghiệm của phương trình:
(1 + x
2
-2xcosA)(b
2

C
=3. Chứng tỏ rằng: tanA, tanB, tanC
theo thứ tự đó lập 1 cấp số cộng.
Lê Trinh Tường THPT
Trưng Vương QN
Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
9
17. Tam giác ABC có cot
2
A
, cot
2
B
, cot
2
C
theo thứ tự lập một cấp số cộng. CMR : a, b, c theo thứ
tự cũng lập một cấp số cộng.
18. Tam giác ABC có: cotA, cotB, cotC hteo thứ tự lập một cấp số cộng. Chứng minh rằng a
2
,
b
2
, c
2
theo thứ tự đó cũng lập một cấp số cộng.
19. Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2tanA = tanB + tanC. Chứng minh rằng :
a) tanB.tanC = 3. b) cos(B- C) = 2cosA.
IV – ĐỊNH DẠNG TAM GIÁC CÂN.
A. Chứng minh rằng tam giác cân khi và chỉ khi:

2sin .sin
cot
2 sin
C A B
C


6. sin
33
.cos sin .cos
2 2 2 2
A B B A

7. (p - b)cot
.tan
22
CB
p
8.
22
1 cos 2
sin
4
B a c
B
ac





2
)sin(C-B) = (C
2
- B
2
)sin(B- C)3.
2
2
( ) 1 cos( )
2.
1 cos2
b c B C
bB
  


4. sin(B - C)=
22
2
bc
a


V. NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG.
A. Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác vuông là:
1. cos2a + cos2B + cos2C = -1 2. tan2A + tan2B + tan2C = 0
3. sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC

sin
bc
A
Aa


5. cot2C =
1
(cot cot )
2
CB
6.
cos( )
tan
sin sin( )
BC
B
A C B




7.
sin cos
sin cos
AB
tgA
BA



sin 2
4
aB
13.
sin sin
sin .cos .cos
11
cos cos
BC
A B C
BC




14. 1 + cot(45
0
- B) =
2
1 cot A
15. sin
4
C + 2sin
4
A + 2sin
4
B = 2sin
2
C(sin
2

2
C  2
10. cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C  1
11. Ch.minh nếu  ABC có: sin
2
A
= sin
2
B
.sin
2
C
thì tan
2
B
. tan
2
C
=
1
2
và ngược lại.
12. Chứng minh rằng nếu a = 2c thì a
2

2
BC

16. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM = BA chứng minh rằng:
a) tgB = 3tgC b) sin A = 2sin(B - C)
17. Cho A, B, C là 3 góc nhọn của một tam giác. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam
giác ABC đều là có hệ thức.
1 1 1
(cot cot cot ) 3
sin sin sin
A B C
a B C
     

18. Cho tam giác ABC với 3 góc đều nhọn. CMR: (sinA)
2sinB
+ (sinB)
2sinC
+ (sinC)
2sinA
> 2
Bất đẳng thức trên có đúng không nếu tam giác ABC vuông, vì sao?
VI. BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC.
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
Hàm lồi lõm. ( Không có trong chương trình HS dùng tham khảo)
+ Tính chất hàm lồi:
12
( ) ( )
()
22

+ sin
2
C

3
2

3. 1 < cosA + cosB + cosC 
3
2
4. Sin
2
A + Sin
2
B + Sin
2
C ≥
9
4

5. 2 < cos
2
2
A
+ cos
2
2
B
+ cos
2


1
8
8. sinA.sinB.sinC 
33
3

9. cosA.cosB.cosC 
1
8
10. cos
2
A
. cos
2
B
. cos
2
C

33
3

11. 1 + cosA.cosB.cosC ≥
3
.sinA.sinB.sinC 12.
1
cos A
+
1

1
sin A
) + (1 +
1
sin B
) + (1 +
1
sinC
) ≥ 5 +
26 3
9

16. tan
2
A
+ tan
2
B
+ tan
2
C
≥
3
17. tan
2
2
A
+ tan
2
2

≥
1
33
22. cos
3
A + cos
3
A +

cos
3
A 
9
4
+
1
4
(cos3A + cos3B + cos3C).
23. 36r
2
 ab + bc + ca  9R
2
. 24. (a + b + c)(h
a
+ h
b
+ h
c
) ≥ 18S.
25. h

2
-a
2
)+b(a
2
+c
2
-b
2
)+c
2
(a
2
+b
2
-c
2
)  3abc
29. a(b-c)
2
+ b(c-a)
2
+c(a -b)
2
+4abc≥ a
3
+b
3
+c
3

R
r a b c abc
32.
2
a
m
+
2
b
m
+
2
c
m
≥
3
s

33. a
4
+ b
4
+ c
4
≥ 16S
2
. 34. tg
2
A
+ tg

2
c
2
+ c
2
a
2
≥ 16S
2
.
CHỨNG MINH ABC ĐỀU KHI THÕA MÃN CÁC ĐIỀU KIỆN SAU
1. R = 2r 2. S =
2
3
R
2
(sin
3
A + sin
3
B + sin
3
C) 3.
cos cos .cos
sin sin sin
a A b B c C
a B b C c A


=

abc
BC











6.
3 3 3
2
1
cos .cos
4
BC
abc
a
abc








1
2
13.
sin sin 2sin
cos cos 2cos
A B C
A B C






14.
cos cos cos
sin sin sin
A B C
A B C


= 3.cotA.cotB.cotC, với ABC nhọn
15. 3tan
2
A + tan
2
B + tan
2
C = tan
2
A. tan

= tanA + tanB + tanC.
18. Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn: cot
2
A
+ cot
2
B
cot
2
C
= 9 Chứng minh  ABC là
tam giác đều.
19. Cho tam giác ABC thỏa mãn:
.cos .cos .cos 1
2
a A b B c C
abc



(A, B, C là các góc của tam
giác a = BC, b = CA, c = AB). Chứng minh tamgiác ABC là tam giác đều.
20. Chứng minh để tam giác đều, điều kiện cần và đủ là: p + R = (2 + 3
3
).r
21. Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2cosA.sinB.sinC +
3
(sinA + cosB + cosC) =
17
4

27. Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thỏa mãn:
222
1 1 1 1
sin 2 sin 2 sin 2 2.cos .cos .cosA B C A B C
  

Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
28. Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc A, B, C của tam giác đó thỏa mãn hệ thức:
cos2A +
3
(cos2B + cos2C) +
5
2
= 0
29. Cho tam giác ABC thỏa : sin(A + B).cos(A - B) = 2sinA.sinB. CMR,  ABC vuông.
30. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng 1. Gọi ma, mb, mc lần lượt là độ
dài các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác
ABC là tam giác đều khi và chỉ khi:
sin sin sin
3
a b c
A B C
m m m
  

31. CMR, không tồn tại tam giác mà cả 3 góc trong của nó đều là nghiệm của phương trình:

2
1
(4cos 1)(7sin sin2 6) 0