CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
(NHIỀU TÁC GIẢ)
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG
CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Vấn đề 1 : Hệ Thức Lượng Cơ Bản
Kiến thức cơ bản
sin cos
tan ;cot
cos sin
a a
a a
a a
= =
Hệ quả 1 :
1
tan
cot
tan .cot 1
1
cot
tan
a
a
a a
a
a

=


= ⇔

0 90a< <
2) b.Tính cosa, tana, cota biết
12
sin
13
a = −
và
3
2
a
π
π
< <
3) c.Tính cosa, sina, cota biết
tan 2a = −
và
0
90 0a− < <
4) d.Tính sina, cosa, tana biết
cot 3a =
và
0 0
180 270a< <
TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC BẰNG SỬ DỤNG CÔNG THỨC CƠ BẢN.
5) a.tính
cot 2tan
tan 3cot
a a
E
a a

+ −
=
+ −
biết
cot 2a =
8) d.Tính
2sin 3cos
sin cos
a a
B
a a
−
=
+
biết
tan 2a =
9) e. Tính
2 2
2 2
3 os 2sin 1
sin 3cos 5
c a a
P
a a
+ −
=
− +
biết
tan 3a = −
10) tính

cos sin 1a a
+ =
CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC
12) .
( )
2 2 2
1 sin cot 1 cotM a a a= − + −
13) .
2
2cos 1
sin cos
a
N
a a
−
=
+
14)
( ) ( )
2 2
sin 1 cot cos 1 tanP a a a a= + + +
15)
2
1 2sin
sin cos
a
A
a a
−

a a
E
a a
−
=
−
20)
( )
2
sin cos 1
cot sin .cos
a a
F
a a a
+ −
=
−
CHỨNG MINH CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
21) .
( ) ( ) ( )
2
2 2
sin cos cos 1 tan sin 1 cota a a a a a− = − + −
22) .
2 2 2 2
tan sin tan .sina a a a− =
23)
3 3
sin cos
1 sin .cos

+
28) .
1 os 1 cos
2cot 0
1 cos 1 os 2
c a a
a a
a c a
π
+ −
 
+ = < <
 ÷
− +
 
29) .
2 2 2 2
ot os ot . osc a c a c a c a− =
CHỨNG MINH MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG PHỤ THUỘC
VÀO X
30) a.
( ) ( )
4 4 6 6
3 cos sin 2 cos sinA x x x x= − + + +
31) b.
3 3
os sin
sin .cos
sin cos
c x x

Cách nhớ
1
( )
à a v a−
Đối nhau
os( ) cosc a a− =
sin( ) sina a− = −
tan( ) t ana a− = −
cot( ) cota a− = −
Cos đối
2
( )
à a v a
π
−
Bù nhau
sin( ) sina a
π
− =
os( ) cosc a a
π
− = −
tan( ) t ana a
π
− = −
cot( ) cotaa
π
− = −
Sin bù
3

− =
 ÷
 
cot tan
2
a a
π
 
− =
 ÷
 
Phụ chéo
4
( )
à a v a
π
+
Sai kém
π
tan( ) tana a
π
+ =
cot( ) cota a
π
+ =
sin( ) sina a
π
+ = −
os( ) osc a c a
π

+ = −
 ÷
 
tan cot
2
a a
π
 
+ = −
 ÷
 
cot tan
2
a a
π
 
+ = −
 ÷
 
2 cung sai
kém
2
π
thì
sin ( cung
lớn) = cos
( cung nhỏ)
Hệ quả : A , B , C là 3 góc trong 1 tam giác
a. Ta có : A + B + C =
π

37)
0 0 0 0
os20 os40 os160 os180 1c c c c+ + = −
38)
0 0 0 0
tan50 tan 75 tan 230 tan 255+ = +
39)
0 0 0 0
os20 os40 sin110 sin130c c+ = +
40)
0 0 0 0
sin 25 sin 65 sin155 sin115+ = +
41)
0 0 0 0
sin 75 sin 65 os165 os205 0c c+ + + =
42)
0 0
0
0
sin168 sin192
cot12 2
sin 78
−
=
Tính giá trị biểu thức :
43)
0 0
0
0 0
sin( 234 ) os216

16
5 5 5
tan
3 6
5
os sin
10 5
c c c
E
c
π π π
π
π π
− +
=
−
Đơn giản biểu thức sau :
48)
( ) ( )
3
sin os cot 2 tan
2 2
F c
π π
π α α π α α
   
= + − − + − + −
 ÷  ÷
   
49)

sin( ) sin .cos os .sina b a b c a b+ = +
sin( ) sin .cos os .sina b a b c a b− = −
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
+
+ =
−
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
−
− =
+
Hệ quả : Biến đổi biểu thức
cos sinE a x b x= +
về dạng tích số
i. Giả sử
2 2
0a b+ >
( và a và b không đồng thời triệt tiêu)
Ta có :

( )

+ = −
 ÷
 
cos sin 2 os
4
a a c a
π
 
− = +
 ÷
 
sin cos 2 sin
4
a a a
π
 
+ = +
 ÷
 
sin cos 2 sin
4
a a a
π
 
− = −
 ÷
 
Rút gọn các biểu thức sau :
51)
0 0 0 0

os( ) sin .sin
sin( ) sin .cos
c a b a b
F
a b a b
+ +
=
− −
57)
5
tan tan
2 12
5
1 tan .tan
12 12
G
π π
α α
π π
α α
   
+ − +
 ÷  ÷
   
=
   
+ + +
 ÷  ÷
   
58)

tan( ) tan tan tan .tan .tan( )a b a b a b a b+ − − = +
62)
2sin( )
tan tan
os( ) os( )
a b
a b
c a b c a b
±
= ±
+ + −
63)
2 2 2
sin ( ) sin sin 2sin .sin . os( )a b a b a b c a b+ − − = +
64) Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x :
65)
2 2
os ( ) os 2cos .cos . os( )A c a x c x a x c a x= − + − −
66)
2 2
os 2cos .cos . os( ) os ( )B c x a x c a x c a x= − + + +
67)
( ) ( )
6 6 4 4
2 sin cos 3 sin cosC a a a a= + − +
Các bài toán liên quan đến tam giác :
68) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC (không vuông) ta đều có :
69)
t anA tan tan t anA.tan .tanB C B C+ + =
70) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có :

2 1
tan
m
A
m
+
≥
76) Cho tam giác ABC thỏa mãn :
2
tan 2tan tan A.tanA B B+ =
. CMR tam giác ABC cân.
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
7
CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
Các bài toán liên quan khác
77) Cho x và y là hai số thay đổi và là nghiệm đúng của phương trình
2 2
1x y+ =
. Tìm giá trị
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của phương trình
2 1P x y= − +
78) Cho bốn số thay đổi a, b, x, y thỏa mãn
2 2
4a b+ =
và
2 2
3x y+ =
. CMR :
3 2 3 ax 2 3by− ≤ + ≤
79) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

−

2
2 tan
tan 2
1 tan
a
a
a
=
−
Hệ quả
Đặt
tan
2
a
t =
, ta có :
2
2
2
2
2
sin
1
1
cos
1
2
tan

a
a
= −
= −
−
=
−
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
8
CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
81) Tính
sin 2 , os2 ,tan 2a c a a
biết
5 3
cos à
13 2
a v a
π
π
−
= < <
82) Tính
4
tan 2 ,cos à 0
5 2
a a v a
π
−
= < <
Tính giá trị biểu thức sau:

8
G
π
π
=
−
89)
2 0
0
1 cot 105
cot 75
H
−
=
Chứng minh rằng :
90)
3 3
sin 4
cos .sin sin .cos
4
a
a a a a− =
91)
3 3
sin cos sin 2
1
sin cos 2
a a a
a a
−

a a c a
  
+ + + − =
 ÷ ÷
  
95)
2
sin 2 2sin
tan
sin 2 2sin 2
a a a
a a
−
=
+
96)
2
1 sin 2sin
2 4
a
a
π
 
− = −
 ÷
 
97)
0 0
sin 3 4sin .sin(60 ).sin(60 )a a a a= + −
98)

tan 2 cos 2
a a
N
a a
+
=
−
nếu
2
tan
5
a =
103)
2sin 2 os2
tan 2 cos2
a c a
P
a a
−
=
+
nếu
1
tan
2 2
a
= −
VẤN ĐỀ 5 : BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
[ ]
1

109)
0 0
1
sin 2sin 15 os 15
2 2 2
a a
a c
   
− − + =
 ÷  ÷
   
110) Cho tam giác ABC có
2 2 2
5
ˆ ˆ
ˆ
4 2 . : os os os
4
A B C CMR c A c B c C= = + + =
VẤN ĐỀ 6: BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
KIẾN THỨC CƠ BẢN
cos cos 2cos cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
cos cos 2sin sin
2 2
a b a b

π
 
− = +
 ÷
 
sin cos 2 sin
4
a b a
π
 
+ = +
 ÷
 
sin cos 2 sin
4
a b a
π
 
− = −
 ÷
 
( )
sin
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
+
+ =

sin 70 sin 20 sin 50− +
112)
0 0 0
os44 os22 2 os79c c c− −
113)
sin sin 2 sin3x x x+ +
114)
1 cos os2x c x
+ +
Đơn giản các biểu thức sau:
115)
sin( ) sin os( ) os
sin( ) sin os( ) os
a b a c a b c a
A
a b a c a b c a
+ − + +
= −
+ + + −
116)
1 cos os2
1 3sin 2cos
x c x
B
x x
+ +
=
+ −
Chứng minh rằng :
117)

=
tan cot
2 2
A B C+
=
Bất đẳng thức côsi
Cho a ,b >0 ta luôn có
2 .a b a b+ ≥
hay
2
.
2
a b
a b
+
 
≤
 ÷
 
Tổng quát :
1 2
, , , 0
n
a a a ≥
ta luôn có
1 2 1 2
.
n
n n
a a a n a a a+ + + ≥

⇔ =
Cho tam giác ABC biến đổi các biểu thức sau về dạng tích :
119)
sin sin sinA B C
+ +
120)
sin 2 sin 2 sin 2A B C+ +
121)
cot cot cot
2 2 2
A B C
+ +
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
12
CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
A , B , C là 3 góc của 1 tam giác. Chứng minh rằng :
122)
cos cos cos 1 4sin .sin .sin
2 2 2
A B C
A B C+ + = +
123)
cos2 cos2 cos 2 1 4cos .cos .cosA B C A B C+ + = − −
124)
2 2 2
os os os 1 2cos .cos .cosc A c B c C A B C+ + = −
125)
2 2 2
sin sin sin 2 2cos .cos .cosA B C A B C+ + = +
126)

2 2 2
os os os 1c A c B c C+ + =
.
133) Cho tam giác ABC có các cạnh và các góc thỏa mãn hệ thức :
2 2
1 cos 2
sin
4
B a c
B
a c
+ +
=
−

Chứng minh tam giác ABC cân.
134) Số đo 3 góc của tam giác ABC lập thành 1 cấp số cộng và thỏa mãn hệ thức :
3 3
sin sin sin
2
A B C
+
+ + =
. Tính các góc A, B , C.
135) Chứng minh rằng tam giác ABC cân khi và chỉ khi :
.cos .cos .sin .sina B b A a A b B
− = −
.
136) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có :
.cos .cos .cos 2

π
π
= +


= − +

sinX sin
α
=
2
'2
X A k
X A k
π
π π
= +


= − +

t anX tan
cot cotX
α
α
=
=
X A k
π
= +

sin 2
3 2
x
π
 
+ =
 ÷
 
144)
( )
0
1
sin 2 50
2
x + = −
145)
tan 3x =
146)
3tan 3
3
x
π
 
+ =
 ÷
 
147)
3cot 3
3
x

cos 2 cos 1 0x x+ + =
155)
2
6sin 3 cos12 14x x+ =
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
14
CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
156)
4 2
4sin 12cos 7x x+ =
157)
2
2cos 3cos2 4x x− =
158)
2
5sin 2cos 2 2x x+ =
159)
sin 2 sin 0x x+ =
160)
5sin os2 2 0x c x
+ + =
161)
sin cos 1
2
x
x+ =
162)
2
tan 2 3
4

π π
   
+ − − − − =
 ÷  ÷
   
168)
2
2 tan 1 tanx x= −
169)
tan tan 2 0x x
+ =
170)
( )
tan 3 cot 1 3 0x x+ − + =
171)
3tan 3 cot 3 3 0x x+ − − =
172)
2
2
2 2
sin 2 2
tan
sin 2 4cos
x
x
x x
−
=
−
173)

tan 45 tan 45
tan cot
2 2
x
x x
x x
− + =
−
179)
sin 2 sin 6 sin3 sin 5x x x x
=
180)
sin .sin 7 sin 3 .sin 5x x x x=
181)
sin 5 .sin 3 sin 9 .sin 7x x x x
=
182)
cos . os3 sin 2 .sin 6 sin 4 .sin 6 0x c x x x x x− − =
183)
sin 4 .sin 5 sin 4 .sin 3 sin 2 .sin 0x x x x x x
+ − =
184)
sin 5 sin 3 sin 4x x x+ =
185)
sin sin 2 sin3 0x x x
+ + =
186)
cos cos3 2cos5 0x x x+ + =
187)
2 2

os os 2 os 3 os 4 2c x c x c x c x+ + + =
195)
6 6 2
sin cos 4cos 2x x x+ =
196)
2 2
2 tan 3tan 2cot 3cot 2 0x x x x+ + + + =
197)
2 2
2 tan 3tan 2cot 3cot 3 0x x x x− + + − =
Tính giá trị gần đúng các nghiệm phương trình sau:
198)
2
sin 2
6 5
x
π
 
+ =
 ÷
 
trong khoảng
,
3 6
π π
 
−
 ÷
 
199)

x x x
π π
   
+ − − = +
 ÷  ÷
   
trong đoạn
[ ]
0,2x
π
∈
202)
sin
1
cos
in 2
x
x
s x
= −
trong khoảng
( )
0,2x
π
∈
203)
sin 3 sin
os2 sin 2
1 os2
x x

cos2 2 3 cos 1 0x m x m− − + − =
207) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sau có 1 và chỉ 1 nghiệm
[ ]
0,x
π
∈
( )
2 1 cos 2 5cos 3 0m x x m+ + + + =
208) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sau có nghiệm
3
,
2 2
x
π π
 
∈
 
 
( )
cos 2 2 1 cos 1 0x m x m− + + + =
209) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sau có nghiệm
0,
12
x
π
 
∈
 ÷
 
3 2

x c x
b
a b
a b
α
α α
α

=

+

⇔ + =

+

=

+

( )
2 2
os
c
c x
a b
α
⇔ − =
+
(điều kiện để phương trình có nghiệm

219)
( ) ( )
0 0
os 2 15 sin 2 15 1c x x− − − = −
220)
2sin 9cos 85x x− =
221)
2 sin 2 3cos 2 4x x+ =
222)
( ) ( )
0 0
5cos 2 18 12sin 2 18 13x x+ − + = −
223)
5 2
2cos 3cos
6 3 2
x x
π π
   
+ + − =
 ÷  ÷
   
224)
2
2sin 3 sin 2 3x x+ =
225)
2
2sin 2 3 sin 4 3x x+ =
226)
( )

230)
3 cos2 sin 2 2sin 2 2 2
6
x x x
π
 
+ + − =
 ÷
 
231)
5
12cos 5sin 8 0
12cos 5sin 14
x x
x x
+ + + =
+ +
232)
( )
1
4sin 3cos 4 1 tan
cos
x x x
x
+ = + −
233)
6 6
1
sin cos sin 4 0
2

∈
 ÷
 
Giải và biện luận phương trình theo tham số m :
237) Cho phương trình :
3 os3 sin3m c x x m− =
.Chứng minh rằng phương trình trên luôn có
nghiệm.
238) Cho phương trình :
( )
2 os2 2 sin cos 3 2m c x m x x m− + = +
.Giải và biện luận phương trình
theo tham số m.
239) Tìm các giá trị của
3
,
4
x
π
π
 
∈ −
 ÷
 
thỏa mãn phương trình sau với mọi m:
2 2 2 2
sin sin cos os cos sinm x m x m x mc x x x− − + = −
240) Tìm m để phương trình có nghiệm :
( )
sin 1 cos

⇔ =
Thay vào phương trình (1), ta có :
2
1
0
2
t
At B C
−
+ + =
Giải các phương trình sau :
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
18
CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
241)
( )
3 sin cos sin 2 3 0x x x+ − − =
242)
sin cos 4sin .cos 1 0x x x x+ − − =
243)
( )
2sin 2 3 3 sin cos 8 0x x x− + + =
244)
( )
2 sin cos 3sin 2 2x x x+ + =
245)
( )
( )
( )
1 2 sin cos sin 2 1 2 0x x x+ + − − + =

cos sin 3
x x
x x
+ + +
253)
( )
( )
3 3
4 sin os 3sin 2 4 sin cos 0x c x x x x+ − − + =
254)
3
sin .cos
sin cos
x x
x x
=
+
255)
9
2cos 4 10cos 2 6 0
2 4
x x
π π
   
− − − + =
 ÷  ÷
   
256)
( )
( )

 
259) Cho phương trình :
( )
2.sin 2 2 2 sin cos 2 1 0x m x x m− + + + =
. Xác định m để phương
trình có nghiệm trong khoảng
( )
0,
π
LOẠI 4 :PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
Cách 1 :
Bước 1 : kiểm tra cosx = 0 có phải là nghiệm đúng của phương trình hay không ?
Bước 2 : chia hai vế của phương trình cho
2
os (cos 0)c x x ≠
ta được phương trình bậc hai
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
19
CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
có ẩn số phụ t = tanx.
2
0At Bt E+ + =
.
Cách 2 :
Dùng công thức :
2
2
1 os2
os
2

sin 10sin .cos 21cos 0x x x x− + =
261)
2 2
sin 2sin .cos 3cos 0x x x x− − =
262)
2 2
6sin sin .cos cos 2x x x x+ − =
263)
2
sin 2 2sin 2cos2x x x− =
264)
2 2
2sin 2 3sin 2 .cos 2 cos 2 2x x x x− + =
265)
2
cos 3sin .cos 1 0x x x− + =
266)
2 2
cos sin 3 sin 2 1x x x− − =
267)
2 2
5
4 3 sin .cos 4 os 2sin
2
x x c x x+ − =
268)
1
4cos 6sin
sin
x x

x x x x x c x
π π
π π
   
− + + + − + =
 ÷  ÷
   
274)
( )
( )
2 2
9
2sin 5 3 1 sin 2 3 sin 0
2 2
x x x
π π
π
   
+ − + − + + =
 ÷  ÷
   
275)
( )
2 2
3sin 3 3 sin .cos 3 os 0x x x c x− − − =
276)
2 2 2 2
3
3sin . os 3sin . os sin . os sin . os
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

∈
 ÷
 
281) Cho phương trình lượng giác :
6 6
sin cos a sin 2x x x+ =
. Xác định a để phương trình có
nghiệm.
282) Cho phương trình :
( )
2
3
3tan tan cot 1 0
sin
x m x x
x
+ + + − =
. Với giá trị nào của m thì
phương trình có nghiệm.
283) Cho phương trình :
( ) ( )
sin 2 sin 3 asinx x x
π π
− − − =
a) Giải phương trình khi a = 1.
b) Tìm a để phương trình có ít nhất 1 nghiệm
( )x k k Z
π
≠ ∈
.

 
 
+ − − =
 ÷
 
 
 
VẤN ĐỀ 10 - MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG
MẪU MỰC
287) Giải phương trình :
2 2
4cos 3tan 4 3 cos 2 3 tan 4 0x x x x+ − + + =
288) Giải phương trình :
( )
2 2
os3 2 os 3 2 1 sin 2c x c x x+ − = +
289) Giải phương trình :
2
2 sin 1 0x x xy− + =
.
290) Giải phương trình :
( )
2
os4 os2 5 sin 3c x c x x− = +
291) Giải phương trình :
15 24
cos sin 1x x+ =
.
292) Giải phương trình :
( )

x x y
x x
   
+ + + = +
 ÷  ÷
   
.
297) Giải phương trình :
1 1
cos 1 cos3 1 1
cos cos3
x x
x x
− + − =
VẤN ĐỀ 11 - HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
298) Giải hệ phương trình :
tan cot 2sin
4
tan cot 2sin
4
x x y
y y x
π
π

 
+ = +
 ÷

  

x y

+ =


+ =


301) Giải hệ phương trình :
2
2
sin cos .cos
cos sin .sin
x x y
x x y

=


=


302) Giải hệ phương trình :
sin sin 2
cos cos 2
x x m
x x m
+ =





+ + =

307) Giải hệ phương trình :
sin 7cos 0
5sin cos 6 0
x y
y x
− =


− + =

308) Giải hệ phương trình :
2
3 2
9sin 15sin .sin 2 17 cos 11 0
5cos 3sin 8cos 1 0
x x x x
x x x

− + − =


− + − =


309) Tìm m để hệ phương trình
1

đó.
311) Giải và biện luận phương trình:
( )
sin 1 cos
cos
m
m x m x
x
+ + =
.
VẤN ĐỀ 12 - BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Giải các bất phương trình lượng giác sau:
312)
sin sin
3
x x
π
 
− >
 ÷
 
313)
sin sin 2 0x x+ ≤
314)
sin cos 2cos
3
x x
π
+ ≥
315)

x
x
− − − + ≤
324)
2
1 tan
2
cos 0
4tan
2
x
x
x
−
− >
325)
tan 6 tan 3 0x x+ ≤
326) Xác định
( )
0 2
α α π
≤ ≤
sao cho phương trình sau có nghiệm :
( )
2
2 2sin 1 2sin 1 0x x
α α
− − + − =
327) Tìm các giá trị của a để phương trình sau vô nghiệm :
( )

1 cos
m x m m
m m x
− +
>
+ −
Biên soạn : TRẦN MAI SANG – 0975 034 943
24