KIẾN THỨC VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ
 ĐỊNH NGHĨA 1.4:
: Ta nói dãy số (x
n
) có giới hạn hữu hạn a nếu với mọi
ε
> 0, tồn
tại số tự nhiên N
0
(phụ thuộc vào dãy số x
n
và
ε
) sao cho với mọi n >
N
0
ta có < ε .
limx = a
⇔
∀ε > 0, ∃N∈ : ∀n> N: |xn − a| < ε .
Ta nói dãy số (x
n
) dần đến
+∞
nếu với mọi số thực dương M lớn
tùy ý, tồn tại số tự nhiên N
0
(phụ thuộc vào dãy số x
n
và M sao cho với
mọi n > N

u v= ±∞ = ±∞
thì
lim .
n n
u v = ±∞
, trong đó dấu + hoặc
−
được
chọn theo đúng quy tắc nhân dấu thông thường.
 Nếu
lim ,lim 0
n n
u v L= ±∞ = ≠
thì
lim .
n n
u v = ±∞
, trong đó dấu + hoặc
−

được chọn theo đúng quy tắc nhân dấu thông thường.
 Nếu
lim 0,lim 0
n n
u L v
= ≠ =
và (v
n
) có dấu xác định kể từ một số hạng
nào đó trở đi thì

hữu hạn thì tích (1+x
1
)(1+x
2
). …. . (1+x
n
) cũng có giới hạn hữu
hạn .

 Định lí 1.1: Mọi dãy hội tự đều có giới hạn duy nhất.
Chứng minh.
Ta thấy rằng nếu
1 2
,a a ∈¡
và
1 2
a a
ε
− <
. Khi đó với mọi
ε
dương nhỏ tùy
ý cho trước thì
1 2
a a
=
. Thật vậy, nếu
1 2
a a
≠

0 :
ε
∀ >
1 1
: :
2
n
n n n u a
ε
∃ ∀ > − <
và
2 2 2
: :
2
n
n n n u a
ε
∃ ∀ > − <
.
Đặt
{ }
0 1 2
ax ;n m n n
=
có:
1 2 1 2 1 2
2 2
n n n n
a a a u u a u a u a
ε ε

ta có
n n n
x y z≤ ≤
. Khi đó (y
n
) cũng có giới
hạn là L.
 Định Lý 1.4
: Mọi dãy số hội tụ thì bị chặn.
 Định Lý 1.5
: Một dãy tăng không nghiêm ngặt (knn) và bị chặn trên hay một
dãy giảm knn và bị chặn dưới thì hội tụ. Ngắn gọn hơn, một dãy số đơn
điệu và bị chặn thì hội tụ.
 Định Lý 1.6 ( cantor)
: Cho hai dãy số thực (a
n
), (b
n
) sao cho:
a)
*
:
n n
n a b∀ ∈ ≤¥
.
b)
[ ] [ ]
*
1 1
: ; ;

( )
n
x
được gọi là dãy cơ bản hay dãy Cauchy nếu
0
0, :N
ε
∀ > ∃ ∈¥
0
,m n N∀ >
(N
0
phụ thuộc
ε
) thì
m n
x x
ε
− <
.
 Định Lý 1.8 (tiêuu chuẩn cauchy)
: Dãy số
( )
n
x
có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi nó là dãy
Cauchy
 Định lý 1.9 Stole:
: nếu: i) U > U ii) U = +∞
iii) =α

xét dãy có dạng: x= ƒ(x )
-:cho dãy x = ƒ(x ) khi đó dãy có lim=a thì a là nghiệm của pt x =
ƒ(x)
-:nếu ƒ(x) là số co trên D thì {x
n
} là dãy hội tụ.
-:nếu ƒ(x) tăng trên D
+) x < x ⇒ {x } tăng
+) x > x ⇒ {x } giảm
-;nếu ƒ(x) giảm và:
+)thì {x
2p
} và {x
2p+r
} đơn điệu phụ thuộc vào x
0
 Định lý về ba mệnh đề tương đương.
Cho dãy số {c
k
} với 0 < c
k
< 1 k = 1,2,3,…. Xét dãy số:
Xn = (1+c
i
), Yn = (1−c
i
)
Khi đó ba kd sau là tương đương :
(i) Xn = +∞
(ii) Yn = 0

,
( )
1n n
x f x
+
=
hội tụ. Giới hạn của
dãy số là nghiệm duy nhất trên I của phương trình
( )
x f x
=
.
 Định Lý 1.13: ( Trung bình nhân)
: Nếu dãy số dương
( )
n
x
có giói hạn hữu hạn là a thì dãy số các
trung bình nhân
( )
1 2

n
n
x x x
cũng có giới hạn là a.
E: PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ:
 Phương pháp dãy số phụ:
: Phương pháp dãy số phụ để khảo sát sự hội tụ của các dãy số
không đơn điệu mà tăng giảm bất thường. Trong một số trường hợp, ta

2
α
α
α
+
⇔ =
và ta thiết lập dãy
( )
n
x
thỏa
0
x a
=
,
1
2
2
n
n
n
x
x
x
+
+
=
. Nếu dãy này hội tụ thì
lim 2
n

= ⇔ − = ⇔ = + −
Khi đó ta có dãy
( )
n
x
xác định bởi
2
0 1
, 1
2
n
n n
x
x a x x
+
= = + −
.
 Dãy số là nghiệm của một họ phương trình phụ thuộc biến n
:Xét một họ phương trình
( )
, 0F n x
=
. Nếu với mỗi n, phương trình
( )
, 0F n x
=
có nghiệm duy nhất
n
x
trên một miền xác định D nào đó thì

n n n
x x x
y y y
−
−
−
=
−
Với điều kiện tồn tại giới hạn ở vế phải.
 Sử dụng xấp xỉ trong dự đoán kết quả
Trong nhiều trường hợp, dự đoán được kết quả đã là một nửa,
thậm chí là 2/3 lời giải. Chúng ta đã gặp nhiều tình huống là lời giải đầu
tiên thu được một cách rất khó khăn, nhưng sau đó thì hàng loạt lời giải
đẹp hơn, gọn hơn xuất hiện. Sao chúng ta không nghĩ ngay được những
lời giải đẹp? Vì chúng ta chưa biết đáp số. Khi biết rồi thì có thể định
hướng dễ dàng hơn rất nhiều. Dưới đây, ta xem xét một số ứng dụng của
xấp xỉ trong việc dự đoán kết quả.
 Định Lý 1.15
: Cho dãy số thực
( )
n
x
. Khi đó nếu tổng
1 2

n
x x x+ + +
có giới hạn
hữu hạn khi
n

 Hệ đếm cơ số.
: Một số bài toán sẽ rất khó khi ta nhìn với hệ đếm cơ số thông
thường nhưng lại trở nên khả đơn giản khi ta tìm cho nó một hệ đếm cơ
số thích hợp.
 Số phức:
: xét cho cùng dù ở thể loại nào ta cũng không thể bỏ qua ứng
dụng của số phức với lượng kiến thức không quá lớn kết hợp với tính
rộng rãi của nó. Số phức là công cụ hữu hiệu khi ta gặp bí ở nghiệm của
phương trình. Tóm lại một bài toán hay còn tùy vào con mắt người làm.
 Dãy số phần nguyên:
 Định Lý 1.17
 : Nếu a,b là các số vô tỉ thỏa mãn + = 1 thì hai dãy số:
x
n
= và y
n
= (n = 1,2, )
Lập thành một phân hoạch của tập hợp các số nguyên dương.
 Dãy số xây dựng từ phương trình:
 Các phương pháp giải khác:
a. Phương pháp sắp xếp lại
: Phương pháp này khá hiệu quả trong việc chứng minh bất đẳng
thức ở dãy số nếu ta sd phương pháp này ta sẽ có điều hiển nhiên
sau:
≤ |an−a| + |a−a|+ + |a−a|.
với a < a < < a. và sd các mối liên hệ ta được dpcm.
b. Phép thế lượng giác:
: một phương pháp khá quen thuộc ta sẽ không phải nói nhiều về
phương pháp này vì nó xuất hiện hầu hết trong các chương toán
học và với dãy số thì sẽ rất hữu hiệu cho dãy số tuần hoàn và một