Bài tập Quan hệ vuông góc trong không gian
BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1. Cho hai tam giác cân
,ABC ABD
có chung cạnh đáy
AB
và không cùng nằm trong một mặt
phẳng. Gọi
I
là trung điểm của
AB
. Chứng minh rằng:
a)
( )AB CID⊥
b)
AB CD⊥
Bài 2. Cho hình chóp
.S ABC
có
( )SA ABC⊥
. Gọi
,H K
lần lượt là trực tâm của các tam giác
,ABC SBC
. Chứng minh rằng:
a) Ba đường thẳng
, ,AH SK BC
đồng quy.
b)
( )SC BHK⊥
c)

và
BD
.
Bài 5. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác đều cạnh
a
, các cạnh bên bằng nhau và bằng
2 3
3
a
. Gọi
O
là tâm đa giác đáy.
a) Tính độ dài đoạn nối
S
với hình chiếu của nó trên
( )ABC
.
b) Chứng minh
( )BC SAO⊥
và
SA BC
⊥
.
c) Tính góc giữa
SA
và
( )ABC
.

đến đường thẳng
SC
.
Bài 7. Cho tứ diện
ABCD
có
BCD
là tam giác vuông ở
D
, cạnh
AB
vuông góc với mặt phẳng
( )BCD
,
BD a=
,
CD b=
,
AB h=
. Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm của
BD
và
AC
.
a) Tính độ dài đoạn
MN
.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa

lấy điểm
S
cố định.
a) Khi
,M N
di động trên
,Ox Oy
thì
I
chạy trên đường nào ?
b) Xác định vị trí của
,M N
để tam giác
SMN
có diện tích lớn nhất.
Bài 9. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
a
và
µ
0
60A =
,
3
2
a
SA SB SD= = =

ABCD
.
a) Tính độ dài đoạn thẳng
SO
.
b) Gọi
M
là trung điểm của
SC
. Chứng minh rằng
( ) ( )MBD SAC⊥
.
c) Tính độ dài đoạn
OM
và tính góc giữa hai mặt phẳng
( ),( )MBD ABCD
.
Gv. Lê Minh Chơn trang 1
Bài tập Quan hệ vuông góc trong không gian
Bài 11. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi tâm
I
, cạnh
a
và có
µ
0

( ) ( )SAB SAD⊥
.
Bài 12. Tứ diện
SABC
có
ABC
và
SBC
là hai tam giác nằm trong hai mặt phẳng vuông góc nhau.
SBC
là tam giác đều cạnh
a
,
ABC
là tam giác vuông tại
A
và
·
ABC = ϕ
.
a) Xác định hình chiếu
H
của
S
trên
( )ABC
.
b) Tính độ dài đoạn
SA
.

.
a) Chưng minh tam giác
SCD
vuông tại
C
.
b) Tính
( ,( ))d A SBC
.
Bài 14. Cho hình vuông
ABCD
và tam giác đều
SAB
cạnh
a
nằm trong hai mặt phẳng vuông góc
với nhau. Gọi
I
là trung điểm của
AB
.
a) Chứng minh
( ) ( )SAD SAB⊥
.
b) Tính góc
ϕ
giữa
SD
và
( )ABCD

, ,SB SC SD
lần lượt tại
, ,H M K
. Chứng
minh rằng:
a)
AH SB⊥
,
AK SD⊥
.
b)
( )/ /BD α
, từ đó chứng minh
/ /BD HK
.
c)
HK
đi qua trọng tâm tam giác
SAC
.
Bài 16. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
a
và có các cạnh bên
SA SB SC a
= = =
. Chứng minh:

b) Tính góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
( )ABCD
.
c) Tính chu vi tam giác
AMN
.
Bài 18. Cho hình vuông
ABCD
cạnh
a
, tâm
O
. Trên đường thẳng qua
O
và vuông góc với
( )ABCD
lấy điểm
S
sao cho
6
2
a
SO =
. Mặt phẳng
( )
α
qua
A