Bài 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA =
a 2
.
1) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.
2) Chứng minh rằng: (SAC)
⊥
(SBD) .
3) Tính góc giữa SC và mp (SAB) .
4) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) .
Giải:
1) • SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AB, SA ⊥ AD
⇒ Các tam giác SAB, SAD vuông tại A.
• BC ⊥ SA, BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông tại B.
• CD ⊥ SA, CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆SCD vuông tại D.
2) BD ⊥ AC, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC).
3) • BC ⊥ (SAB) ⇒
·
( )
·
SC SAB BSC,( ) =
• ∆SAB vuông tại A ⇒
SB SA AB a
2 2 2 2
3= + =
⇒ SB =
a 3
• ∆SBC vuông tại B ⇒
·
BC
BSC
SB

(AOI).
3) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI).
4) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB .
Giải :
1) • OA ⊥ OB, OA ⊥ OC ⇒ OA ⊥ BC (1)
• ∆OBC cân tại O, I là trung điểm của BC ⇒ OI ⊥ BC (2)
Từ (1) và (2) ⇒ BC ⊥ (OAI) ⇒ (ABC) ⊥ (OAI)
2) Từ câu 1) ⇒ BC ⊥ (OAI)
3) • BC ⊥ (OAI) ⇒
·
( )
·
AB AOI BAI,( ) =
•
BC a
BI
2
2 2
= =
• ∆ABC đều ⇒
BC a a
AI
3 2 3 6
2 2 2
= = =
• ∆ABI vuông tại I ⇒
· ·
AI
BAI BAI
AB

2
6
4
=
•
a
IK
2
2
4
=
• ∆AIK vuông tại K ⇒
·
IK
AIK
AI
1
cos
6
= =
1
S
A
B
C
D
O
A
B
C


2) CA ⊥ AB, CA ⊥ SB ⇒ CA ⊥ (SAB) ⇒ CA ⊥ BH
Mặt khác: BH ⊥ SA ⇒ BH ⊥ (SAC) ⇒ BH ⊥ SC
Mà BK ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (BHK)
3) Từ câu 2), BH ⊥ (SAC) ⇒ BH ⊥ HK ⇒ ∆BHK vuông tại H.
4) Vì SC ⊥ (BHK) nên KH là hình chiếu của SA trên (BHK)
⇒
·
( )
·
( )
·
SA BHK SA KH SHK,( ) ,= =
Trong ∆ABC, có:
µ
AC AB B a BC AB AC a a a
2 2 2 2 2 2
tan 3; 3 4= = = + = + =
Trong ∆SBC, có:
SC SB BC a a a SC a
2 2 2 2 2 2
4 5 5= + = + = ⇒ =
;
SB a
SK
SC
2
5
5
= =

cos ,( ) cos
10 5
= = = =
Bài 4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a.
1) Chứng minh
SAC SBD( ) ( )⊥
;
SCD SAD( ) ( )⊥
2) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC).
3) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC))
Giải:
1) • BD ⊥ AC, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC)
• CD ⊥ AD, CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ (DCS) ⊥ (SAD)
2) • Tìm góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD)
SA ⊥ (ABCD) ⇒
·
( )
·
SD ABCD SDA,( ) =
·
SA a
SDA
AD a
2
tan 2= = =
• Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAD)
AB ⊥ (ABCD) ⇒
·
( )
·

H
a
OB
2
2
=
,
a
SO
3 2
2
=
⇒
·
OB
BSO
OS
1
tan
3
= =
3) • Tính khoảng cách từ A đến (SCD)
Trong ∆SAD, vẽ đường cao AH. Ta có: AH ⊥ SD, AH ⊥ CD ⇒ AH ⊥ (SCD) ⇒ d(A,(SCD)) = AH.
a
AH
AH SA AD a a
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2 5
5
4

Do đó H là trọng tâm tam giác ABD nên
H AO H AC∈ ⇒ ∈
Như vậy,
SH SAC
SAC ABCD
SH ABCD
( )
( ) ( )
( )

⊂
⇒ ⊥

⊥

b) Ta có ∆ABD đều cạnh a nên có
a
AO AC a
3
3
2
= ⇒ =
Tam giác SAC có SA = a, AC =
a 3
Trong ∆ABC, ta có:
a a
AH AO AC AH
2
2
2 1 3

a 2
, I là trung điểm cạnh AC, AM là đường cao
của ∆SAB. Trên đường thẳng Ix vuông góc với mp(ABC) tại I, lấy điểm S sao cho IS = a.
a) Chứng minh AC ⊥ SB, SB ⊥ (AMC).
b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC).
c) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mp(AMC).
Giải:
a) • AC ⊥ BI, AC ⊥ SI ⇒ AC ⊥ SB.
• SB ⊥ AM, SB ⊥ AC ⇒ SB ⊥ (AMC)
b) SI ⊥ (ABC) ⇒
·
( )
·
SB ABC SBI,( ) =
AC = 2a ⇒ BI = a = SI ⇒ ∆SBI vuông cân ⇒
·
SBI
0
45=
c) SB ⊥ (AMC) ⇒
·
( )
·
SC AMC SCM,( ) =
Tính được SB = SC =
a 2
= BC ⇒ ∆SBC đều ⇒ M là trung điểm của
SB ⇒
·
SCM


⇒
SO BD
BD SAC
AC BD
( )

⊥
⇒ ⊥

⊥

⇒ (SAC) ⊥ (SBD)
•
SO (ABCD
SO SBD
)
( )

⊥

⊂

⇒ (SBD) ⊥ (ABCD)
b) • Tính
d S ABCD( ,( ))
SO ⊥ (ABCD) ⇒
d S ABCD SO( ,( )) =
Xét tam giác SOB có
a a a

=


⇒ = + ⇒ = = ⇒ =

+

=


c) Tính
d BD SC( , )
Trong ∆SOC, vẽ OK ⊥ SC. Ta có BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ OK ⇒ OK là đường vuông góc chung của
BD và SC ⇒
d BD SC OK( , ) =
.
Tính OK:
∆SOC có
a
SO
OC .OS a a
OK OK
a
OK OC OS OC OS
OC
2 2 2
2
2 2 2 2 2
14
1 1 1 7 7

BAD
0
60=
BAD
∆
⇒
đều
BD a⇒ =
• BC ⊥ OK, BC ⊥ SO ⇒ BC ⊥ (SOK).
b) Tính góc của SK và mp(ABCD)
• SO ⊥ (ABCD)
·
( )
·
SK ABCD SKO,( )⇒ =
•
BOC
∆
có
a a
OB OC
3
,
2 2
= =

a
OK
OK OB OC
2 2 2

H
0
60
• AD // BC ⇒ AD // (SBC) ⇒
d AD SB d A SBC( , ) ( ,( ))=
• Vẽ OF ⊥ SK ⇒ OF ⊥ (SBC)
• Vẽ AH // OF, H ∈ CF ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒
d AD SB d A SBC AH( , ) ( ,( ))= =
.
• ∆CAH có OF là đường trung bình nên AH = 2.OF
• ∆SOK có OK =
a 3
4
, OS = a ⇒
a
OF
OF OS OK
2 2 2
1 1 1 57
19
= + ⇒ =

⇒
a
AH OF
2 57
2
19
= =
Câu 9): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA

của đường tròn đường kính
AC nằm trong mp(ABC).
b) Tính SK và AH theo a và
ϕ

• ∆AHC vuông tại H nên AH =
·
AC ACM a.sin sin
ϕ
=
•
SH SA AH a a SH a
2 2 2 2 2 2 2
sin 1 sin
ϕ ϕ
= + = + ⇒ = +
•
SAH
∆
vuông tại A có
SA a
SA SK SH SK SK
SH
2
2
2
.
1 sin
ϕ
= ⇔ = ⇔ =

5 2
,
2 2
= =
⇒
a
SO SB OB
2
2 2 2
3
4
= − =

∆SOI có
OH SO OI
2 2 2
1 1 1
= +
⇒
a
OH
2
2
3
16
=
⇒
a
OH
3

1) CMR: BC ⊥ (ADH) và DH = a.
∆ABC đều, H là trung điểm BC nên AH ⊥ BC, AD ⊥ BC
⇒ BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DH ⇒ DH = d(D, BC) = a
2) CMR: DI ⊥ (ABC).
• AD = a, DH = a
⇒
∆DAH cân tại D, mặt khác I là trung điểm
AH nên DI ⊥ AH
• BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DI
⇒ DI ⊥ (ABC)
3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
• Trong ∆ADH vẽ đường cao HK tức là HK ⊥ AD (1)
Mặt khác BC ⊥ (ADH) nên BC ⊥ HK (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra
d AD BC HK( , ) =
• Xét ∆DIA vuông tại I ta có:
a a a
DI AD AI a
2
2
2 2 2
3
2 4 2
 
= − = − = =
 ÷
 ÷
 
• Xét ∆DAH ta có: S =
AH DI

• Vì AB//CD ⇒ AB // (SCD), (P) ⊃ AB nên (P) ∩ (SCD) = HI
⇒ HI // CD ⇒ thiết diện là hình thang AHIB.
Hơn nữa AB ⊥ (SAD)
AB HA⇒ ⊥

Vậy thiết diện là hình thang vuông AHIB.
•
SD SA AD a a a
2 2 2 2
3 2= + = + =
• ∆SAD có
SA a a
SA SH SD SH SH
SD a
2 2
2
3 3
.
2 2
= ⇒ = = ⇒ =
a
HI SH a
HI CD
CD SD a
3
3 3 3
2
2 4 4 4
⇒ = = = ⇒ = =
(3)

.
a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông.
6
I
H
A
B
C
D
K
I
O
A
B
D
C
S
H
b) Chứng minh OA vuông góc BC.
c) Gọi I, J là trung điểm OA và BC. Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung OA và BC.
Giải:
a) CMR: ∆ABC vuông.
• OA = OB = OC = a,
·
·
AOB AOC
0
60= =
nên ∆AOB và ∆AOC
đều cạnh a (1)

Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và ABCD là hình thang vuông tại A, B . AB = BC =
a,
·
ADC SA a
0
45 , 2= =
.
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD).
c) Tính khoảng cách giữa AD và SC.
Giải:
a) CM các mặt bên là các tam giác vuông.
( )
SA AB
SA ABCD
SA AD

⊥
• ⊥ ⇒

⊥

⇒ ∆SAB và ∆SAD vuông tại A.
•BC ⊥ AB, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥(SAB) ⇒ BC ⊥ SB
⇒ ∆SBC vuông tại B
•
SB SA AB a a a
SC SB BC a a a
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2

= ⇒ = =
c) Tính khoảng cách giữa AD và SC
• Ta có
SC SBC BC AD d AD SC d A SBC( ), ( , ) ( ,( ))⊂ ⇒ =
P

• Hạ AH
AB SA a a a
SB AH AH
AH AB SA AB SA a
2 2 4 2
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 . 2 6 6
9 3
3
⊥ ⇒ = + ⇔ = = = ⇔ =
+
.
• Vậy
( )
a
d AD SC
6
,
3
=
Câu 15: Cho hình hộp ABCD.EFGH có
AB a AD b AE c, ,= = =
uuur r uuur r uuur r

Tứ diện ABCD đều, nên ta chỉ tính khoảng cách giữa hai
cạnh đối diện AB và CD.

·
( )
a a
NA NB AM AMN
a a a
MN AN AM
a
d AB CD
0
2 2 2
2 2 2
3
, 90
2 2
3 2
4 4 4
2
, .
2
= = = ⇒ =
⇒ = − = − =
⇒ =

Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
⊥ ( )SA ABCD
và
= 6SA a

a a
AH AH
2
2
6 78
13 13
⇒ = ⇒ =
c) Tính góc giữa SC và (ABCD)
• Dế thấy do SA
⊥
(ABCD) nên hình chiếu của SC
trên (ABCD) là AC ⇒ góc giữa SC và (ABCD) là
·
SCA
. Vậy ta có:
· ·
SA a
SCA SCA
AC
a
0
6
tan 3 60
2
= = = ⇒ =
8
O
A
B
D

⇒
GM là đoạn vuông góc chung của BD’ và B’C.
•Tính độ dài GM =
a
AC a
1 3 1 3 6
2.
3 2 3 2 6
= =
Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a, SA vuông góc với
(ABCD). Gọi I, K là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD.
a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông.
b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK).
c) Tính góc giữa SC và (SAB).
d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD).
Giải:
a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông.
• SA⊥ (ABCD) nên SA⊥ BC, AB ⊥ BC (gt)
⇒ BC ⊥ (SAB)
⇒
BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông tại B.
• SA ⊥ (ABCD)
⇒
SA ⊥ CD, CD ⊥ AD (gt)
⇒
CD ⊥ (SAD)
⇒
CD ⊥ SD
⇒
∆SCD vuông tại D

BC
SB a CSB
SB
2 tan 2⇒ = ⇒ = =
9
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
O
G
M
O
I
K
A
B
D