Bài 8. Các Bài toán thường gặp về đồ thị

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 154

BÀI 8. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ
CHỦ ĐỀ 1 : Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình


, 0
f x m


BÀI TOÁN 1: Đồ thị hàm số là hàm không chứa giá trị tuyệt đối
Dạng 1:
( , ) 0 ( )
F x m f x m
  
(1)
Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ
giao điểm của hai đường:

( ): ( ); :
C y f x d y m
 

 d là đường thẳng cùng phương với trục hoành.
 Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm
của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1)
Dạng 2:
( , ) 0 ( ) ( )
F x m f x g m


b)
3 2 3 2
1 1
3 0 3 3 3
3 3
x x x m x x x m
          

y
c.
x

m

c.
A

c.
(C)
c.
(d) : y = m
c.
y
CĐ

y
CT

x

9
3
m
 
: phương trình có 3 nghiệm
Bài 2. Cho hàm số
4 2
2 1
y x x
 
có đồ thị (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2. Dựa vào đồ thị (C ), biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
4 2
2 0 (*)
x x m  

Bài 2. Cho hàm số
3 2
3
y x x
  

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2. Dùng (C) tìm k để phương trình :
3 2 3 2
3 3 0
x x k k
    
có 3 nghiệm phân

y
x



(C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm tất cả các giá trị của
m
để hệ phương trình sau có 4 nghiệm nguyên


2 2 2
2 1 0
2 4 5 0
y x y
x x y y m

   


     



(Đề thi thử lần 1, khối A, A
1
, B 2013- Trường THPT Hà Trung- Thanh Hóa)
Bài 8. Các Bài toán thường gặp về đồ thị


f x neáu f x C




 



 


Suy ra: Đồ thị


C

gồm 2 phần:








1
C là phần đồ thị của (C) ứng với
0



Hướng dẫn:
a) Bảng biến thiên và đồ thị:

Bài 8. Các Bài toán thường gặp về đồ thị

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 157

b) Ta có:
 
3 2 3 2
3 2
3 2 3 2
3 4 neáu 3 4 0
3 4
3 4 neáu 3 4 0
x x x x
y x x
x x x x

    

   

     



Đồ thị hàm số bao gồm:
 Giữ lại đồ thị hàm số




Hướng dẫn:
a) Bảng biến thiên và đồ thị:

b) Ta có:
Bài 8. Các Bài toán thường gặp về đồ thị

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 158

2 1 2 1
neáu 0
2 1
2 2
2
2 1 2 1
neáu 0
2 2
x x
x
x x
y
x
x x
x x

 



1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2. Với các giá trị nào của m, phương trình
2 2
2
x x m
 
có 6 nghiệm phân biệt
Hướng dẫn:
2 2 2 2 4 2
2 2 2 2 2 4 2
x x m x x m x x m
       

4
3
2
1
1
2
3
4
8 6 4 2 2 4 6 8Bài 8. Các Bài toán thường gặp về đồ thị

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 159

DẠNG 2: Cho hàm số































2









2
C là phần đồ thị lấy đối xứng phần
a
x

của đồ thị (C) qua trục Ox.
Hàm số


a
x
xU
y

 tương tự.
BÀI TẬP MẪU
Bài 1.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2 1
2
x
y


Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 160

b) T
a

c
ó
:
2 1
2
2 1
2
2 2 1
2
2
x
khi x
x
x
y
x x
khi x
x


 

x
y
x
x
khi x x
x







 




   




Đồ thị hàm số bao gồm:
Giữ lại phần đồ thị y=f(x) ứng với hoành độ
1
2
x




hàm số


y f x

là hàm số chẵn
Ta có:
 
( ) neáu 0 (1)
( ') :
(- ) neáu 0
f x y x
C y f x
f x x

 
 




Do đó đồ thị


'
C
gồm 2 phần:
Phần 1: là phần đồ thị của (C):y=f(x) nằm phía bên phải Oy (
0

0

x
) (do 1)
 Phần 2: là phần đồ thị lấy đối xứng phần 1 qua trục Oy vì hàm số chẵn
Bài 8. Các Bài toán thường gặp về đồ thị

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 162Bài 2. Cho hàm số
3 2
3 2
y x x
  

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
3
x x m
 

Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số
2 2
3 2
y x x
  





0 0 0 0
; ( ) ; ( ') nên ( ') nhận trục Ox làm tru
ïc đối xứng
Nếu M x y C M x y C C    Ta có:
 


 
0
f x
y f x
y f x



 

 



Suy ra: Đồ thị


C

gồm 2 phần:


1
C qua trục Ox.
BÀI TẬP MẪU
Bài 1.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm sau:
1
1
x
y
x




b) Vẽ đồ thị hàm số :
1
1
x
y
x




Hướng dẫn:
a) Đồ thị hàm số
1
1
xLUYỆN TẬP
Bài 1. Cho hàm số
2
1
x
y
x



có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
1 2
m x x
  

Hướng dẫn:
a) Bảng biến thiên và đồ thị:

b)
Bài 8. Các Bài toán thường gặp về đồ thị


log

Theo đồ thị câu 1 bài toán yêu cầu tương đương


1
a
3
log < 3
Bài 8. Các Bài toán thường gặp về đồ thị

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 166


1log
3
a 1log1
3
 a


1
3
3
a
 

Bài 3. Cho hàm số
4 2
5 4,

6 log 0
x x m
  
có 4 nghiệm phân biệt trong đó 3
nghiệm lớn hơn – 1.
Hướng dẫn :
Pt  x
4
– 6x
2
+ 5 = 5 + log
2
m
Nhìn vào đồ thị ta thấy yêu cầu bài toán 
2
1
0 5 log 5 1
32
m m
     

Bài 5 . Cho hàm số
3
3 1 ( )
y x x C
  
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

3

x x k
  
có 6 nghiệm phân biệt
.
.
.
.
.
x
o
y
4
5
1-1
.
.
.
.
.
x
o
y
4
5
1-1
Bài 8. Các Bài toán thường gặp về đồ thị

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 167

Bài 7.

để phương trình
4 2 2
4 3 7
x x m m
    
có nghiệm thuộc
đoạn
2; 5
 

 

(Đề thi thử lần 1, khối A, A
1
2013- Trường THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh)
Bài 8. Các Bài toán thường gặp về đồ thị

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 168

CHỦ ĐỀ 2: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
DẠNG 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM M(x
0;
y
0
)
Phương pháp: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x) tại điểm


0 0 0
;

- Điểm


0 0 0
;
M x y
được gọi là tiếp điểm
-
0
x
là hoành độ tiếp điểm và
0
y
là tung độ tiếp điểm
- Điểm
M Ox

thì tọa độ của M là


;0
M x
; điểm
M Oy

thì tọa độ của M là


0;
M y

3 7 1
y x x x
   
tại A(0; 1) b) (C):
4 2
2 1
y x x
  
tại B(1; 0)
c) (C):
3 4
2 3
x
y
x



tại C(1; –7) d)(C):
2
1
2 1
y x
x
  

tại D(0; 3)
Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:
Bi 8. Cỏc Bi toỏn thng gp v th


y


c) (C):
1
2
x
y
x



ti cỏc giao im ca (C) vi trc honh, trc tung.
d) (C):
3
3 1
y x x

ti im un ca (C).
e) (C):
4 2
1 9
2
4 4
y x x

ti cỏc giao im ca (C) vi trc honh.
Bi 3. Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti cỏc giao im ca (C) vi ng c ch ra:
a) (C):
3 2

Bi 4. Cho hm s
3 2
2 3 12 1
y x x x

cú th (C). Tỡm im M thuc th (C) bit
tip tuyn ti M i qua gc ta .
Hng dn:

0 0
2 3 2
0 0 0 0 0 0
0 0
M ; ( ), Phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn taùi M:
y= 6 6 12 2 3 12 1
Tieỏp tuyeỏn ủi qua O(0;0) neõn 1 12
x y C
x x x x x x x
x y




BTTT: Tỡm m tip tuyn ca th hm s




A
x

v S =
1
2
.
b) (C):
3
2
x m
y
x



ti im B cú
1
B
x

v S =
9
2
.
c) (C):
3
1 ( 1)
y x m x



: 2 2 4
y m x m
      
.
 
Δ Δ
22
8 3 1 1
3 8;0 ; 0; .Ta coù:S .
9
2 2 2
3
OAB
mm
Ox A m Oy B OA OB
m
m

 
 

       
 


 
 



Hướng dẫn:
Ta có:
0
0 0
0
2 3
; , 2
2
x
M x x
x
 


 

 
,
 
0
2
0
1
'( )
2
y x
x




0
0
2 2
2; ; 2 2;2
2
x
A B x
x
 


 

 

Ta thấy
0
0
2 2 2
2 2
A B
M
xx x
x x
 
  
,
0
0
2 3

 
  

 
       
 
 


 
 
 
 

Dấu “=” xảy ra khi
02
0
2
0
0
1
1
( 2)
( 2)
3
x
x
x
x


0
3
;2 ( )
1
M x C
x
 
 
 

 
thì tiếp tuyến tại M có phương trình
0
2
0
0
3 3
2 ( )
1 ( 1)
y x x
x x
   
 
hay
2
0 0 0
3( ) ( 1) ( 2) 3( 1) 0
x x x y x
      


 

.
Theo bất đẳng thức Côsi
2
0
2
0
9
( 1) 2 9 6
( 1)
x
x
   

, vây
6
d  .
Khoảng cách d lớn nhất bằng
6
khi
 
2
2
0 0 0
2
0
9
( 1) 1 3 1 3
( 1)

M x y
là một điểm bất kỳ thuộc (C). Tiếp tuyến của
(C) tại M cắt hai đường tiệm cận tại A và B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận.
Chứng minh rằng
1. Chứng minh M là trung điểm của AB
2. Diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
3. Tích khoảng cách từ từ điểm M đến hai tiệm cận là không đổi
Hướng dẫn câu 2
Gọi
 
0
0 0 0 0
0
1
; ( ) ( 1)
1
x
M x y C y x
x

   

.
Bài 8. Các Bài tốn thường gặp về đồ thị

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 172

PTTT tại M có dạng:
0
0

 

 
; B = ()  TCN => B =


0
2 1;1
x 
IA =
0
4
1
x

; IB =
0
2 1
x

.
Do đó: S
IAB
=
1
2
.IA.IB = 4 (đvdt) khơng phụ thuộc vị trí M.
Bài 10. Cho hàm số
1
x

2
0
0
1
:
1
1
x
y x x
x
x
   



Chuyển

về dạng phương trình tổng qt. Dùng cơng thức tính khoảng cach từ 1 điểm đến
đường thẳng, giải phương trình ta được
0
0
0
2
x
x



 


x
x C
x
 


 

 
. Phương trình tiếp tuyến tại M cắt hai đường tiệm cận lần lượt
tại
 
0
0
0
2 1
1; ; 2 1;2
1
x
A B x
x
 


 

 
. Ta thấy tam giác tạo thành là tam giác ABI vuông tại I có
cạnh huyền là
0

đến tiếp tuyến tại A là lớn nhất.
Bài 13. Cho hàm số
3 2
3 2 ( )
y x x mx C
   

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm m để đồ thị hàm số có hai cực trị sao cho khoảng cách từ trung điểm của hai cực trị đến
tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ
1
x

bằng 16
(Đề thi thử lần 1, khối B 2013- Trường THPT Hậu Lộc 4- Thanh Hóa)
Bài 8. Các Bài toán thường gặp về đồ thị

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 174

DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC
Phương pháp:
Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x), biết  có hệ số góc k cho trước.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
 Gọi M(x
0
; y
0


+  tạo với chiều dương trục hoành góc  thì k = tan
+  song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a
+  vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a  0) thì k =
1
a


Bài 8. Các Bài toán thường gặp về đồ thị

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 175

+  tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc  thì
tan
1
k a
ka





BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Cho


2
3 1
( ): , 0
m

2
0
2
2
4
' , ' 1
3
1
3 1

1
3
5
3 1
x m
m
y y
x m
x m
m m
m
m
m
mm m
m
m


   





Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng
y x m
 
luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân
biệt A và B. Gọi
1 2
k k

lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m
để tổng
1 2
k k

đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng
:
d y x m
 

 
2
1 1
, 2 2 1 0
2 1 2
 
       

Bài 8. Các Bài toán thường gặp về đồ thị

Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 176

Ta có:
 
2 2
2
1 2 1 2
1 2
2
2 2
1 2
1 2 1 2
4( ) 4( ) 21 1
4( 1) 2
(2 1) (2 1)
4 2( ) 1
   
         
 
  
x x x x
k k m
x x
x x x x

1 2
k k




; k = –1
Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  song song với đường thẳng d cho
trước:
a) (C):
3
2
2 3 1
3
x
y x x
   
;
: 3 2
d y x
 
b) (C):
2 1
2
x
y
x



; d:
3
2
4

trước:
a) (C):
3
2
2 3 1
3
x
y x x
   
; d:
2
8
x
y
  
b) (C):
2 1
2
x
y
x



; d:
y x


c) (C):
2

, biết tiếp tuyến đó cắt trục
hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tam giác OAB cân tại O.
Hướng dẫn: Vì tam giác OAB cân tại O nên đường thẳng AB phải song song với một trong
hai đường thẳng có phương trình
y x

hoặc
y x
 

Ta có:
 
2
1
' 0, 1.
1
y x
x
    

Gọi


0 0 0
;
M x y
là tiếp điểm của đồ thị hàm số
Do đó:
Bài 8. Các Bài tốn thường gặp về đồ thị


      

Bài 8. Cho hàm số
 
3 2
1 1
2 4
3 3
y x x m x m
     
, m là tham số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=1
2. Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của hàm số đi qua


3; 1
A


Hướng dẫn:


2
2
0 0 0 0 0 0
0 0
'( ) 4 4 2 . '( ) đạt được khi 2
Với 2 3.
f x x x m x m m Min f x m x
x y m

0
) là tiếp điểm. Khi đó: y
0
= f(x
0
), y
0
= f (x
0
).
 Phương trình tiếp tuyến  tại M: y – y
0
= f (x
0
).(x – x
0
)
  đi qua
( ; )
A A
A x y
nên: y
A
– y
0
= f (x
0
).(x
A
– x

(*)
 Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến .
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Cho hàm số
 
x 2
y C .
x 2




Viết phương trình tiếp tuyến của


C
, biết tiếp tuyến đi qua điểm


A 6;5 .

Hướng dẫn:
Phương trình đường thẳng đi qua


A 6;5
 là


