Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
MỤC LỤC

1/ Lý do chọn đề tài
Trong chương trình toán cấp THPT hiện nay, các bài toán liên quan đến tham số
cóthể xếp vào nhóm kỷ năng bậc cao trong tư duy và thực hành của học sinh. Do đó
không ít học sinh e ngại khi đúng tới các vấn đề liên quan đến tham số. Để giải các bài
toán dạng : Điều kiện có nghiệm; số nghiệm, nghiệm đúng với mọi x thuộc K của
phương trình; bất phương trình; hệ phương trình, hệ bất phương trình đòi hỏi học sinh
phải có kiến thức tổng hợp , khả năng suy xét phán đoán và tính chặt chẽ khi giải loại
toán này.
1
Trang
Phần mở đầu 2
1. Lý do chọn đề tài 2
2.Mục đích , nghiệm vụ và phạm vi nghiên cứu 2
3. Nội dung nghiên cứu 2
Phần A: Cở sở lý thuyết 3
Phần B : Nội dung đề tài 4
I/ Dùng đạo hàm để xét nghiệm của phương trình có chứa tham số 4
1. Phương trình đa thức 4
2. Phương trình vô tỉ 5
3. Phương trình mũ và logarít 9
4. Phương trình lượng giác 10
II/ Dùng đạo hàm để xét nghiệm của bất phương trình có chứa tham số 13
1. Bất phương trình vô tỉ 12
2. Bất phương trình mũ và logarít 13
III/ Dùng đạo hàm để xét nghiệm của hệ phương trình và hệ bất phương
trình có chứa tham số
16
1. Hệ phương trình 16

3/ Nội dung
Tài liệu này được trình bày thông qua việc phân loại theo nhóm dạng bài toán:
* Phần A: Cơ sở lý thuyết
* Phần B: Nội dung :
I/ Sử dụng đạo hàm để xét số nghiệm phương trình có chứa tham số
II/ Sử dụng đạo hàm để xét số nghiệm của bất phương trình có chứa tham số
III/Dùng đạo hàm để xét nghiệm của hệ phương trình và hệ bất phương trình có
chứa tham số
NỘI DUNG ĐỀ TÀI
PHẦN A : CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Mệnh đề 1: Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên miền D và đạt được giá trò lớn nhất, giá
trò nhỏ nhất trên D.
2
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
Khi đó hệ phương trình
( )f x
x D
α
=


∈

có nghiệm khi và chỉ khi
min ( ) max ( )
x D
x D
f x f x
α
∈

f x
α
∈
≥
Mệnh đề 4: Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên miền D và đạt được giá trò lớn nhất, giá
trò nhỏ nhất trên D.
1)Bất phương trình :
( ) ,f x
β
≤
có nghiệm trên D khi và chỉ khi
min ( )
x D
f x
β
∈
≤
2) Bất phương trình :
( ) ,f x
β
≤
nghiệm đúng với mọi x thuộc D khi và chỉ khi
max ( )
x D
f x
β
∈
≤
Mệnh đề 5: Cho phương trình f(x) = g(x) với ∀x∈D.
Giả sử trên miền x∈D hàm f(x) luôn luôn đồng biến còn hàm g(x) luôn nghòch biến .

3
( )
2
f x
x x
=
+
trên đoạn
[ ]
1; 2
, f(x) xác đònh và liên tục trên đoạn
[ ]
1; 2
3
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
Ta có
( )
[ ]
2
2
6( 1)
'( ) 0, 1; 2
2
x
f x x
x x
− +
= < ∀ ∈
+
⇒ f(x) giảm trên đoạn

∈
≤ ≤

3
1
8
m⇔ ≤ ≤
.
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2 2 2
( 2 ) 4 ( 2 ) 3 1 0x x m x x m+ − + + + =
(1)
Giải :
* Đặt
2 2
2 ( 1) 1 1t x x x t= + = + − ⇒ ≥ −

Ta có phương trình theo t:
t
2
- 4mt + 3m +1 = 0 ⇔ t
2
+1 = m(4t-3) (2)
*
3
4
t =
không là nghiệm phương trình, do đó
2

 
Đạo hàm
2
2
2(2 3 2) 1
'( ) ; '( ) 0 2
(4 3) 2
t t
f t f t t t
t
− −
= = ⇒ = − ∨ =
−
Bảng biến thiên t -1
1
2
−

3
4
2 +
∞
f’(t) + 0 - - 0 +

1
4
−
+
∞
+

2
1 1x m x+ = +
Giải :
* Phương trình xác đònh với mọi số thực x
Chia hai vế phương trình cho
2
1x +
, ta được:

2
1
1
x
m
x
+
=
+
4
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
* Xét hàm số
2
1
( )
1
x
f x
x
+
=

1
1
1
x x
x
x
x
x
→+∞ →−∞
+
+
= =
+
+
Ta có
2 2
1
'( )
( 1) 1
x
f x
x x
−
=
+ +
; f’(x) =0 ⇒ x = 1
Bảng biến thiên
x -
∞
1 +

1 1x + +
ta được :
2 2
( 1 1)x x mx+ + =
(1)
* Dễ thấy x = 0 là một nghiệm của phương trình (1)
* x≠ 0 , chia hai vế x
2
, đưa phương trình về dạng :

2
1 1x
m
x
+ +
=

* Xét hàm số
2
1 1
( )
x
f x
x
+ +
=
, trên
{ }
\ 0R
. Hàm số liên tục trên từng khoảng

( ) ( )
;0 ; 0;−∞ +∞

5
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
Bảng biến thiên
x -
∞
0 +
∞
f’(x) - -
-1 +
∞

f(x)
-
∞
1
Dựa vào bảng biến thiên, số nghiệm phương trình 1 tuỳ theo giá trò m như sau:
m< -1 hoặc m > 1 Phưong trình có 1 nghiệm
-1 ≤ m ≤ 1 Phương trình vô nghiệm
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi giá trò dương của tham số m phương trình sau
luôn có hai nghiệm thực phân biệt
2
2 8 ( 2)x x m x+ − = −
( Đề ĐH khối B -2007)
Gi ả i
* Giả thiết m>0 , do đó điều kiện
2x
≥

+ 2x
2
+ 8x - 32 trên ( 2; +∞ ), là hàm số liên tục
Ta có
2
2
2 20
'( ) 3 4 8 3 0,
3 3
f x x x x x
 
= + + = + + > ∀
 ÷
 
⇒ hàm số luôn đồng biến
f(2) = 0,
lim ( )
x
f x
→+∞
= +∞
.
Bảng biến thiên :
x 0 2 +∞
f’(x) +
+∞
f(x) 0
-32

Dựa vào bảng biến thiên, dễ thấy với m > 0 đồ thò hàm số y= m cắt đồ thò y = f(x)

x x
t x
x x
− − +
=
+ −
; trên đoạn
[ ]
3; 6−
,
3
'( ) 0 3
2
t x x≥ ⇔ − ≤ ≤
Bảng biến thiên :
x -3
3 2
6
t’(x) + 0 -

3 2
t(x)
3 3
Dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện t
3 3 2t≤ ≤

2
1 9
3 6 ( 3)(6 )
2 2

3;3 2
6 2 9
max ( ) (3) 3; min ( ) (3 2)
2
f t f f t f
 
 
 
 
−
= = = =
Phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm trên đoạn
3;3 2
 
 
Điều đó có khi
3;3 2
3;3 2
6 2 9
min ( ) max ( ) 3
2
f t m f t m
 
 
 
 
−
≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:


m
t
− + +
⇔ =
+
(2)
* Xét
2
2
( )
2
t t
f t
t
− + +
=
+
, trên đoạn
0; 2
 
 
. Hàm số liên tục

( )
2
2
4
'( )
2
t t

 
 
 
≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤
Ví dụ 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:
2
4
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
(1)
Giải :
* Điều kiện x ≥ 1

2
4
3 1 1 2 1x m x x− + + = −

4
1 1
3 2
1 1
x x
m
x x
− −
⇔ = − +
+ +

* Đặt
2
4

1
3
f(t)
0 -1
(1) có nghiệm khi phương trình (2) có nghiệm trên nửa khoảng
[
)
0;1
. Dựa vào bảng
biến thiên, điều đó có khi
1
1
3
m− < ≤
8
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
3/ Dạng phương trình mũ và logarít
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trò của tham số m để phương trình

2
1 1
2 2
( 1) log ( 2) ( 5)log ( 2) 1 0m x m x m− − − − − + − =
(1)
có hai nghiệm thoả mãn điều kiện
1 2
2 4x x< ≤ <
Giải :
* Điều kiện x > 2
* Đặt

( )
1
t t
f t
t t
− +
=
− +
trên khoảng
( )
1;− +∞
.
f(t) là hàm số liên tục và xác đònh trên
( )
1;− +∞

2
2
5 1
1
lim ( ) lim 1
1 1
1
x x
t t
f t
t t
→+∞ →+∞
− +
= =

thoả
1 2
2 4x x< ≤ <
, khi (2) có hai nghiệm t
1,
t
2
thoả
-1< t
1
≤t
2
. Dựa bào bảng biến thiên ta được -3≤ m <1
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2 2
1 1 1 1
9 ( 2)3 2 1 0
x x
m m
+ − + −
− + + + =
(1)
Giải:
* Điều kiện :
1 1x
− ≤ ≤
* Đặt
2
1 1

t t
f t
t
− +
=
−
; trên
[ ]
3;9
. Ta có
2
2
4 3
'( )
( 2)
t t
f t
t
− +
=
−
; f’(t) =0 ⇒ t=1 hoặc t=3
9
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
Trên đoạn
[ ]
3;9
, Ta có bảng biến thiên
t 3 9
f’(t) 0 +

3 3 2 2
; 2 ; cos 2 ;
8 8 4 4 2 2
x x x
π π π π
 
   
∈ − − ⇒ ∈ − − ⇒ ∈ −
 
   
   
 
* Đặt t = cos2x
2 2
;
2 2
t
 
⇒ ∈ −
 
 
Ta có phương trình theo t: -2t
3
–t
2
+8t = m
* Xét hàm số f(t)= -2t
3
–t
2

2 2
 
−
 
 
* Bảng biến thiên:
t
2
2
−

2
2

f’(t) +

7 2 1
2
−

f(t)
10
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán

7 2 1
2
− −

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình theo t có đúng một
2 2

 
− −
 
 
.
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

6 6
2 2
cos sin
2 tan 2
cos sin
x x
m x
x x
+
=
−
Giải:
* Điều kiện
2 2
cos sin cos 2 0x x x− = ≠
* Biến đổi lượng giác ta được

6 6 2 2 2
3
cos sin 1 3sin cos 1 sin 2
4
x x x x x+ = − = −


* Xét hàm số
2
3 4
( )
8
t
f t
t
− +
=
trên
( )
1;0 (0;1)− ∪
Đạo hàm
2
3 1
'( ) ( ) 0, ( 1;0) (0;1)
8 2
f t t
t
= − + < ∀ ∈ − ∪
* Ta có bảng biếng thiên:
t -1 0 1
f’(t) - -

1
8
−
+∞


n n n
n x n x a
+ + +
+ − + + =
Vô nghiệm
4/ Tìm các giá trò m để phương trình sau có đung hai nghiệm thực phân biệt:

4 4
2 2 2 6 2 6x x x x m+ + − + − =
( ĐH Khối A 2008)
5/ Tìm m để phương trình sau sau có nghiệm
2
1 1x m x x+ = − +
6/ Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
4 4
4
4 4 6x x m x x m+ + + + + =
7/ Tìm m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
3
1;3
 
 

2 2
3 3
log log 1 2 1 0x x m+ + − − =
8/ Tìm m để phương trình :
2 2 2
2 1 4
2

( Đề dự bò ĐH Khối A 2007 )
Gi ả i
* Vì x
2
-2x +2 =(x-1)
2
+1 ≥1 , nên bất phương trình xác đònh với mọi x
Bất phương trình được viết lại dạng
2 2
( 2 2 1) ( 2 2) 2m x x x x− + + ≤ − + −
* Đặt
2
2 2t x x= − +
, (t≥1);
[ ]
0;1 3 1; 2x t
 
∈ + ⇔ ∈
 
Ta có bất phương trình theo t:
2
2
2
( 1) 2
1
t
m t t m
t
−
+ ≤ − ⇔ ≤

[ ]
1; 2
Phương trình (1) có nghiệm trên
0;1 3
 
+
 
⇔ (2) có nghiệm trên đoạn
[ ]
1; 2
12
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
Điều đó có khi
[ ]
1;2
2
max ( ) (2)
3
m f t f≤ = =
Ví dụ 2 : Tìm m để bất phương trình
3 2 3
3 1 ( 1)x x m x x+ + ≤ − −
có nghiệm
Giải :
* Điều kiện x ≥ 1
*
3 2 3
3 1 ( 1)x x m x x+ + ≤ − −
⇔
3 2 3

[
)
2
1 1
'( ) 3( 1) 0, 1;
2 2 1
g x x x x
x x
 
= + − + > ∀ ∈ +∞
 ÷
−
 
⇒ g(x) đồng viến trên
[
)
1; +∞
Do đó hàm số f(x)= h(x).g(x) đồng biến trên
[
)
1; +∞
Bất phương trình (1) có nghiệm ⇔
[
)
1;
min ( ) (1) 5m f x f
+∞
≥ = =
2/ Bất phương trình mũ và logarit
Ví dụ 1 : Tìm tất cả các giá trò tham số m để bất phương trình

, trên khoảng
( )
0;+∞

Dễ thấy
lim ( ) 0
x
f t
→+∞
=
Ta có
2
2 2
-4t -2t
'( ) 0, (0; )
(t + 4t +1)
f t t= < ∀ ∈ +∞
⇒ f(t) giảm trên
( )
0;+∞
* Bảng biến thiên :
t 0 +
∞
f’(t) -
1
f(t)
0
Dựa vào bảng biến thiên
Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x ⇔ (2) nghiệm đúng ∀t > 0
Điều đó có khi m >1

2 2
x x x x
m m m
− −
 
   
 
− + + ≤
 ÷  ÷
   
 
 
* Xét hàm số g(x) = 2x
2
–x , g’(x) = 4x-1; g’(x) = 0 ⇔ x=1/4

Trên
1 1
; ;
2 2
   
−∞ − ∪ +∞
 ÷
 
   
, ta có bảng biến thiên
x -
∞

1

x x
t
−
 
=
 ÷
 
, vì
1
2
x ≥
nên t≥1
* Ta có bất phương trình mt
2
– (2m+1)t +m ≤ 0 ⇔ (t-1)
2
m ≤ 2t
t=1 là một nghiệm của bất phương trình
t> 1, (t-1)
2
>0. Chia hai vế bất phương trình cho (t-1)
2
ta được

( )
2
2
1
t
m

− −

( )
3
2( 1)
'( ) 0, 1
1
t
f t t
t
− +
= < ∀ >
−
⇒ Hàm số nghòch biến trên (1; +∞)
14
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
* Bảng biến thiên
t 1 +
∞

f’(t) -
+
∞
f(t)
0

Dựa bào bảng biến thiên
Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x thoả
1
2

2 2 2 0x mx x m− + − + >
4/ Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x thoả
1x ≤

III/DÙNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ
1/ Hệ phương trình
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng với m≠0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

2
2
2
2
2
2
m
x y
y
m
y x
x

= +




= +



x y y m
y x x m

= +

⇔

= +



Lấy (1) Trừ (2) theo vế

2 2 2 2
2 2 ( )(2 ) 0x y y x y x x y xy x y− = − ⇔ − + + =
(3)
Vì x>0, y>0 nên 2xy+x+y>0, do đó (3) ⇔ x-y=0 hay y=x
Thế vào (1) ta được : 2x
3
= x
2
+m
2
⇔ 2x
3
–x
2
= m
2
(4)

5
1 1
15 10
x y
x y
x y m
x y

+ + + =




+ + + = −


( Đề ĐH khối D 2007)
Gi ả i:
* Điều kiện x.y≠ 0

3
3
3 3
3 3
1 1
1 1
5
5
1 1
1 1 1 1



* Đặt
1
; 2
1
; 2
u x u
x
v y v
y
= + ≥
= + ≥
* Ta có hệ
3 3
5
3( ) 15 10
u v
u v u v m
+ =


+ − + = −


3
5
( ) 3 ( ) 3( ) 15 10
u v
u v uv u v u v m

)
; 2 2;−∞ − ∪ +∞
Ta có f’(t) = 2t-5; f’(t) = 0 ⇒ t=5/2
Bảng biến thiên
t -∞ -2 2
5
2
+∞
f’(t) - - 0 +
+∞ 2 +∞
f(t)
22
7
4
Theo điều kiện của u và v . Hệ có nghiệm khi phương trình (1) có hai nghiệm t
1
;
t
2
thoả
2 1
2t t≥ ≥
. Dựa vào bảng biến thiên ta có
7
2 22
4
m m< ≤ ∨ ≥

2/ Hệ bất phương trình
Ví dụ 1: Xác đònh tất cả các giá trò của tham số m để hệ sau có hai nghiệm phân biệt :

log ( 2 5) log 2 5 (2)
x x
x x
x x m
− +
+ − − >



− + − =


Bất phương trình (1)
3 3
2log ( 1) 2log 2( 1) 1 2( 1) 0 1 3x x x x x⇔ + > − ⇔ + > − > ⇔ < <
Vậy hệ có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt thuộc
khoảng (1;3)
(2)
2
2
2
2
log ( 2 5) 5
log ( 2 5)
m
x x
x x
⇔ − + − =
− +


* Bảng biến thiên : t 2
2
5
3
f(‘t) - 0 +
17
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
-6 -6
f(t)

46
25
−
Dựa vào bảng biến thiên
(2) có hai nghiệm thuộc (1;3) ⇔ (3) có một nghiệm thuộc (2;3)
Điều đó có khi
46
25
m = −
Ví dụ 2 : Cho hệ bất phương trình :

( )
2
3
3 2 1 0 1
3 1 0 (2)
x x
x mx

+ − <

3
x
x
m
x
x
x
m
x
 − < <




− −

<






< <





− −

2 1 4
'( ) ; '( ) 0
3 2
x
f x f x x
x
− +
= = ⇒ = −
Ta có bảng biến thiên
x -1
3
4
2
−
0
1
3

f’(x) + 0 - -

3
2 4
3

+∞

f(x)
1
−∞


+ + + +

− + ≤


− + + + ≥


( Đề dự bò ĐH khối D 2005)
Gi ả i Kí hiệu bất phương trình

2 1 2 1
2
7 7 2005 2005 (1)
( 2) 2 3 0 (2)
x x x
x
x m x m
+ + + +

− + ≤


− + + + ≥


* Điều kiện : x≥ -1
* Ta có
1
(1) 7 (49 49) 2005(1 ) (3)

− +
=
−
trên [-1; 1). Hàm số liên tục
Và
2
2
4 1
'( )
( 2)
x x
f x
x
− +
=
−
;
'( ) 0 2 3 2 3f x x x= ⇒ = − ∨ = +
Trên [-1; 1) ta có bảng biến thiên x -1
2 3−
1
f’(x)
-2 -2
f(x)

2 2 3− Hệ có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm thuộc [-1; 1)
[



− + ≤


3/ Tìm m để hệ sau có nghiệm

2
3 2
3 0
2 2 20 0
x x
x x x m m

− ≤


− − − − ≥


19
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán

IV/ DÙNG ĐẠO HÀM TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU
TRÊN MỘT KHOẢNG CHO TRƯỚC
Bài: Cho hàm số
3 2
3 ( 1) 4y x x m x m= + + + +
.
Tìm m để hàm số nghòch biến trên khoảng (-1;1)

3; +∞
Bài tập tương tự:
1/ Cho hàm số
3 2
1
(2 1) 2
3
y x mx m x m= − + − − +
. Tìm m để hàm số nghòch biến trên
khoảng (-2;0)
2/ Cho hàm số
3 2
1
( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x= − + + + + −
. Tìm m để hàm số đồng biến trên
khoảng (0;3)
3/ Cho hàm số
2
2 2x mx m
y
x m
− + +
=
−
. Tìm m để hàm số nghòc biến trên từng khoảng xác
đònh của nó.
20
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
PHẦN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CÁC CẤP

TỔ TOÁN & BAN CHUYÊN MÔN TRƯỜNG
KẾT QUẢ XẾP LOẠI
BAN CHUYÊN MÔN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN
22
TIÊU
CHUẨN
TIÊU CHÍ ĐIỂM
ĐẠT
1
Có đối tượng nghiên cứu mới
1 ĐỔI MỚI 2
Có giải pháp mới và sáng tạo để nâng cao hiệu quả công vụ
3
Có đề xuất hướng nghiên cứu mới
2 LI ÍCH 4
Có chứng cớ cho thấy SKKN đã tạo hiệu quả cao, đáng tin,
đáng khen (phân biệt với SK chưa áp dụng với SK đã áp
dụng)
3
KHOA
HỌC
5
Có phương pháp nghiên cứu, cải tiến phù hợp với nghiệp vụ
và tổ chức hiện nay của đơn vò ( NĐ 20 CP / 08.2.1965)
6
Đạt lôgic, nội dung văn bản SKKN dễ hiểu