Chun đề : Phép dời hình và phép đồng dạng
I. Phương pháp :
1. Phép tònh tiến
v
T
r
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
'
'
x x a
y y b

= +

= +

2. Phép đối xứng trục
Đ
Ox
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
'
'
x x
y y

=



Đặc biệt: Đ
O
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
'
'
x x
y y

= −

= −

4. Phép quay
Q
(O,90
0
)
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
'
'
x y
y x

= −



= + −

Chú ý: Nếu phép dời hình (phép đồng dạng) biến
∆
ABC thành
∆
A
′
B
′
C
′
thì nó cũng biến
trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của
∆
ABC tương ứng thành
trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của
∆
A
′
B
′
C
′
.
II. Bài tập :
Bài 1 : Trong mặt phẳng Oxy cho M(2; 1). Tìm ảnh M’ của M qua phép :
a. Tịnh tiến theo véc tơ
= −

Bài 3 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng
+ − + − =
2 2
(C):x y 2x 4y 4 0
. Tìm ảnh (C’) của
(C) qua phép :
a. Tịnh tiến theo véc tơ
= −
ur
v (3; 2)
b. Đối xứng trục Ox, Oy
c. Đối xứng tâm A(-4; 2)
d. Quay tâm O 1 góc 90
0
, -90
0
.
e. Vị tự tâm B(2;-3) tỉ số k = 3
Bài 4 : Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2; -2), đường thẳng d : x – 3y +5 = 0 và đường tròn (C)
: ( x – 2 )
2
+ ( y + 3) = 4. Tìm ảnh M’ của M, d’ của d, (C’) của (C) qua phép đồng dạng được
thực hiện liên tiếp qua phép vị tự tâm B(-1; 3) tỉ số k = -3 và phép :
a. Tịnh tiến theo véc tơ
= − −
ur
v ( 1; 2)
b. Đối xứng trục Ox
c. Đối xứng tâm A(4; 2)
d. Quay tâm O 1 góc 90

2
+ (y – 1)
2
= 4 và (C’) : x
2
+ y
2
– 4x – 2y – 4 = 0. Tìm tâm vị
tự và tỉ số vị tự
Bài 1 : Cho hình vng ABCD tâm O .
a. Dựng ảnh của ABCD qua phép tịnh tiến theo véc tơ AO .
b. Dựng ảnh của
∆AOB
qua phép đối xứng trục CD
c. Dựng ảnh của
∆AOB
qua phép đối xứng A
Bài 2 : Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng trục AG, G là trọng tâm tam giác ABC.
Bài 3 : Dựng ảnh của
Ngũ giác đều ABCDE qua phép đối xứng tâm I là trung điểm cạnh AB.
Bài 4 : Dựng ảnh của Tam giác AMN qua phép quay tâm O, góc quay 90
0
, biết hình vng
ABCD tâm O có M là trung
đ
iểm AB, N là trung điểm OA.
Bài 5 : Dựng ảnh của Hình lục giác đều ABCDEF qua phép vị tự tâm I là trung điểm BC, tỉ số
1
k
2

) ảnh của (O) qua phép Đ
BC
.
c. Gọi I là trung điểm của BC. Đ
I
(H
′
) = H
⇒
Q tích điểm H là đường tròn (O
′
) ảnh của
(O) qua phép Đ
I
.
Bài 2 : Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố đònh và đường kính CD thay đổi. Tiếp tuyến
với đường tròn (O) tại B cắt AC tại E, AD tại F. Tìm tập hợp trực tâm các tam giác CEF
và DEF.
HD : Gọi H là trực tâm
∆
CEF, K là trực tâm
∆
DEF. Xét phép tònh tiến theo vectơ
v BA=
uuur
r
. Tập
hợp các điểm H vàK là đường tròn (O
′
) ảnh của (O) qua phép tònh tiến đó (trừ hai điểm

c) HN có độ dài không đổi khi M chạy như trên.
d) HN cắt A′B′ tại I. Tìm tập hợp các điểm I khi M chạy như trên.
HD: a)
·
' 'A BB
= 1v b) AM //A
′
N, BM // AN c) HN = B
′
A
′
= 2R
d) Gọi J là trung điểm AB. Đ
J
(M) = N, Đ
J
(O) = O
′
.
·
'OIO
= 1v
⇒
Tập hợp các điểm I là
đường tròn đường kính OO′.
Bài 5 : Cho ∆ABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các tam giác BAE và CAF vuông cân tại
A. Gọi I, M, J theo thứ tự là trung điểm của EB, BC, CF. Chứng minh ∆IMJ vuông cân.
HD: Xét phép quay Q
(A,90
0

2
) = V
(O,2)
.
Trang 39
Giáo viên : Đường Hồng Phúc (0985.516.507)
ÔN TẬP CHƯƠNG I
1. Cho hình bình hành ABCD có CD cố đònh, đường chéo AC = a không đổi. Chứng minh
rằng khi A di động thì điểm B di động trên một đường tròn xác đònh.
2. Cho 2 điểm A, B cố đònh thuộc đường tròn (C) cho trước. M là một điểm di động trên
(C) nhưng không trùng với A và B. Dựng hình bình hành AMBN. Chứng minh rằng tập
hợp các điểm N là một đường tròn.
3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C chạy trên nửa đường tròn đó.
Dựng về phía ngoài tam giác ABC hình vuông CBEF. Chứng minh điểm E chạy trên một
nửa đường tròn cố đònh.
4. Cho hình vuông ABCD có tâm I. Trên tia BC lấy điểm E sao cho BE = AI.
a) Xác đònh một phép dời hình biến A thành B, I thành E.
b) Dựng ảnh của hình vuông ABCD qua phép dời hình ấy.
5. Cho hai đường tròn (O; R) và (O′; R′). Xác đònh các tâm vò tự của hai đường tròn nếu
R′ = 2R và OO′ =
3
2
R.
6. Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. Một đường thẳng d vuông góc với AB tại một
điểm C ở ngoài đường tròn. Một điểm M chạy trên đường tròn. AM cắt d tại D, CM cắt
(O) tại N, BD cắt (O) tại E.
a) Chứng minh AM.AD không phụ thuộc vào vò trí của điểm M.
b) Tứ giác CDNE là hình gì?
c) Tìm tập hợp trọng tâm G của ∆MAC.
HD: a) AM.AD = AB.AC (không đổi) b) NE // CD

: 2x – 3y – 5 = 0.
a) Viết phương trình đường thẳng d′ =
v
T
r
(d).
b) Tìm toạ độ vectơ
u
r
vuông góc với phương của d sao cho d
1
=
u
T
r
(d).
9. Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 2x + 4y – 4 = 0. Tìm (C′) =
v
T
r
(C) với
v
r
= (–2; 5).
10. Cho M(3; –5), đường thẳng d: 3x + 2y – 6 = 0 và đường tròn (C): x
2

15. Cho đường thẳng d: y =
2 2
. Viết phương trình đường thẳng d′ là ảnh của d qua phép
đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vò tự tâm O tỉ số k =
1
2
và phép
quay tâm O góc 45
0
.
16. Cho đường tròn (C): (x – 2)
2
+ (y – 1)
2
= 4. Viết phương trình đường tròn (C′) là ảnh
của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vò tự tâm O tỉ số
k = – 2 và phép đối xứng qua trục Oy.
Xét phép biến hình F biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M′(–2x + 3; 2y – 1). Chứng minh F
là một phép đồng dạng.
Trang 41