Ch¬ng 1 phÐp
biÕn h×nh
CHƯƠNG I : PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
Vấn đề 1 : PHÉP DỜI HÌNH
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
′ ′
1 Phép biến hình .
ª ĐN : Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng xác đònh được một điểm duy nhất
M của mặt phẳng , điểm M gọi là ảnh của M qua phé
′ ′
′ ′ ′
→ →
f
p biến hình đó .
ª Kí hiệu : f là một phép biến hình nào đó và M là ảnh của M qua phép f thì ta viết : M = f(M) hay
f(M) = M hay f : M M hay M M . Điểm M gọi là tạoI I
⇔ ∀ ∈
o
1 2 2 1
ª
ảnh .
f là phép biến hình đồng nhất f(M) = M , M H .
Điểm M gọi là điểm bất động , kép , bất biến .
f ,f là các phép biến hình thì f f là phép biến hình .
Nếu H l
′ ′
∈
′
à một hình nào đó thì tập hợp các điểm M = f(M), với M H, tạo thành một hình H được gọi là
ảnh của H qua phép biến hình f và ta viết : H = f(H) .
′ ′

′

−
′
→

′

− −
′
′
x = 2x 1
1 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = .
y = y + 3
Tìm ảnh của các điểm sau : a) A(1;2) b) B( 1;2) c) C(2; 4)
Giải :
a) A = f(A) = (1;5)
b) B =
I
−
′
−
′

− +
′
→

′
−

′
→
1 1 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
Giải : Lấy hai điểm bất kì M(x ;y ),N(x ;y )
Khi đó f : M(x ;y ) M = f(M) = (3x ; y ) .
f : N(x ;y ) N = f(N) = (3x ; y )
I
I
′ ′
− + − − + −
′ ′
≠ ≠
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
1 2
Ta có : MN = (x x ) (y y ) , M N = 9(x x ) (y y )
Nếu x x thì M N MN . Vậy : f không phải là phép dời hình .
(Vì có 1 số điểm f không bảo toàn khoảng cách) .
{
{
{
{
′ ′
′ ′
′ ′
→ − →
y x
x y

Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ
I
′

−
′

− 
=
′
→ ⇔
 
′
= +


′
= −

′
−
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
∈ ∆ ⇔ − − − = ⇔ + − = ⇔ ∈ ∆ + − =
∈ ∆ ≠
g
x
x = 2x
x
Ta có f : M(x;y) M = f(M) =
2

Qua M ( 4;1)
x+ 4 y 1
( ) (M N ): PTCtắc ( ) : PTTQ ( ) : x 6y 2 0
6 1
VTCP : M N (6; 1)
′
→ + +
′
− →
2 2
7 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3;y 1) .
a) CMR f là phép dời hình .
b) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 1) + (y 2) = 4 . (C ) : (x
I
I − −
2 2
2) + (y 3) = 4
- 2 -
Ch¬ng 1 phÐp
biÕn h×nh
′
→ − +
∆ −
8 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3;y 1) .
a) CMR f là phép dời hình .
b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x + 2y 5 = 0 .
c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x
I
−
′

′ ′
= + = −
 
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
∈ ∆ ⇔ + + − − = ⇔ + − = ⇔ ∈
b) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ
x = x 3 x x 3
Ta có f : M(x;y) M = f(M) =
y y 1 y y 1
Vì M(x;y) ( ) (x 3) 2(y 1) 5 0 x 2y 4 0 M (x ;y ) (
I
′
∆ + − =) : x 2y 4 0
∈ ∆ ≠
′
∈ ∆ → = =
′
∈ ∆ → = =
g
g
Cách 2 : Lấy 2 điểm bất kì M,N ( ) : M N .
M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1)
N ( ) : N(3 ; 1) N f(N) (0;2)
I
I
′

− −
′ ′ ′ ′ ′
∆ ≡ → ∆ = → ∆ + − =

− = +
′
→ ⇔
 
′ ′
= + = −
 
′ ′
∈ − ⇔ + + − = ⇔
′ ′ ′
⇔
2 2 2 2

x = x 3 x x 3
Ta có f : M(x;y) M = f(M) =
y y 1 y y 1
Vì M(x;y) (C) : (x + 1) + (y 2) = 2 (x 4) (y 3) 2
M (x ;y
I
′
∈ + + − =
′
 
− − = −
′ ′
→ → + + − =
 
′
+ +
 

Ch¬ng 1 phÐp
biÕn h×nh
′
→ + −
∆ − +
9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) .
a) CMR f là phép dời hình .
b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 2y 3
I
−
− − + −
2 2
2
2 2 2
= 0.
c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 .
d) Tìm ảnh của parabol (P) : y = 4x .
ĐS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2) + (y 1) = 2 d) (y + 2) = 4(x 1)
′
→ −10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ;y) . Khẳng đònh nào sau đây
sai ?
I
∈
A. f là 1 phép dời hình B. Nếu A(0 ; a) thì f(A) = A
C. M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành D. f [M(2;3)] đường thẳng 2x + y + 1 = 0
→ ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứng nhau qua trục tung C sai .
′ ′
→ − → − −
−
1 1 2 2

′ ′
=
uuuuur
r r
1 ĐN : Phép tònh tiến theo vectơ u là một phép dời hình biến điểm M thành điểm M sao cho MM u.
′ ′
= ⇔ =
uuuuur
r
r r
g
Kí hiệu : T hay T .Khi đó : T (M) M MM u
u u
Phép tònh tiến hoàn toàn được xác đònh khi biết vectơ tònh tiến của nó .
Nếu T (M) M , M thì T là phép đồng nhất .
o o
2 Biểu thức tọa độ : Cho u = (a;b) và phép tònh tiến T
u
= ∀
r r
g
r
r

′

′ ′ ′
→ =

′

→ =

′

r
x = x + a
M(x;y) M =T (M) (x ;y ) thì
u
y = y + b
I
 PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH (H) .
′ ′
∈ → ∈
′
≡ → ≡
g
g
Cách 1 : Dùng tính chất (cùng phương của đthẳng , bán kính đường tròn : không đổi )
1. Lấy M (H) M (H )
2. (H) đường thẳng (H ) đường thẳng cùng phương

I
′
 
+ +
′ ′ ′
≡ → ≡
 
′
 

Theo đònh nghóa ta có : M = T (M) MM u (x 3;y 2) (2;1)
u
y 2 1 y 1

′
⇒ −
−
r
r
M (5; 1)
2 Tìm ảnh các điểm chỉ ra qua phép tònh tiến theo vectơ u :
a) A( 1;1) , u = (3;1)
′
⇒
−
r
A (2;3)
b) B(2;1) , u = ( 3;2)
′
⇒ −
′
− − ⇒
r
B ( 1;3)
c) C(3; 2) , u = ( 1;3) C (2;1)
′ ′
′ ′
′ ′
= =
r

u .
2
Nếu : M T (M) MM v v MM MM M M u + u .Vậy : v u + u
2 v 2 2 1 1 2 1 2 1 2
′
∆ − ∆
∆ −
r
5 Đường thẳng cắt Ox tại A( 1;0) , cắt Oy tại B(0;2) . Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh
của qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2; 1) .
- 5 -
Ch¬ng 1 phÐp
biÕn h×nh
′ ′
= = − = =
′

−

= +
′ ′ ′ ′ ′ ′
∆ = ∆ ⇒ ∆ ∆ ⇒ ∆
 
= − +
′ ′


r r
g
r

∆ = ∆ ⇒ ∆ ∆ ⇒ ∆
 
= − +
′ ′
−


∆ − −
r
g
r
uuuuur
g
r
B T (B) ( 1;1) .
u
qua A (0; 2)
x t
Mặt khác : T ( ) đi qua A ,B . Do đó : ptts :
u
y 2 3t
VTCP : A B = ( 1;3)
7 Tương tự : a) : x 2y 4 = 0 , u = (0 ; 3)
′
⇒ ∆ − + =
′
∆ + − − − ⇒ ∆ + + =
r
: x 2y 2 0
b) : 3x y 3 = 0 , u = ( 1 ; 2) : 3x y 2 0

→ + −
∆ − +
9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) .
a) CMR f là phép dời hình .
b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 2y 3
I
−
− − + −
2 2
2
2 2 2
= 0.
c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 .
d) Tìm ảnh của parabol (P) : y = 4x .
ĐS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2) + (y 1) = 2 d) (y + 2) = 4(x
′
→ −
1)
10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ;y) . Khẳng đònh nào sau đây
sai ?
A. f là 1 phép dời hình B.
I
∈
Nếu A(0 ; a) thì f(A) = A
C. M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành D. f[M(2;3)] đường thẳng 2x + y + 1 = 0
ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứng nhau qua t
→
rục tung C sai .
− + + = −
′ ′

r
r
2 2 2 2
BT Tương tự : a) (C) : (x 2) (y 3) 1, u = (3;1) (C ) : (x 1) (y 2) 1
2 2
b) (C) : x y 2x 4y 4 0, u = ( 2;3) (C )
+ + − − =
− −
g
2 2
: x y 2x 2y 7 0
10 Trong hệ trục toạ độ Oxy , xác đònh toạ độ các đỉnh C và D của hình bình hành ABCD biết đỉnh
A( 2;0), đỉnh B( 1;0) và giao điểm các đường chéo là I(1;2) .
Giải
= − − = = −
 
− = =
⇔ = ⇔ ⇔ ⇒
 
− = =
 
uur uur uur
g
uur uur
uur
g
Gọi C(x;y) .Ta có : IC (x 1;y 2),AI (3;2),BI (2; 1)
Vì I là trung điểm của AC nên :
x 1 3 x 4
C = T (I) IC AI C(4;4)

uuur
phép tònh tiến
biến d thành d . Hỏi có bao nhiêu phép tònh tiến như thế ?
Giải : Chọn 2 điểm cố đònh A d , A d
Lấy điểm tuỳ ý M d . Gỉa sử : M = T (M) MM AB
AB

′ ′ ′ ′ ′
⇒ = ⇒ ⇒ ∈ ⇒
′
′ ′
uuuur uuuur
uuur
MA M B M B/ /MA M d d = T (d)
AB
Nhận xét : Có vô số phép tònh tiến biến d thành d .
12 Cho 2 đường tròn (I,R) và (I ,R ) .Hãy chỉ ra một phép tònh tiến biến (I,R)
′ ′
′ ′ ′
⇔ =
′
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
⇒ = ⇒ = = ⇒ ∈ ⇒
′
uuuuur uur
uur
uuur uuuur
uur
thành (I ,R ) .
Giải : Lấy điểm M tuỳ ý trên (I,R) . Gỉa sử : M = T (M) MM II

 
′ ′ ′
∈ = ⇔ − − ⇔
r
uuuuur uuuuur
r
g
uuuuur
r
u
(P ) .
Giải :
T
M(x;y) M (x ;y ) , ta có : MM = u , với MM = (x x ; y y)
x x = m x = x m
Vì MM = u
y y = n y = y n
2 2
Mà : M(x;y) (P): y ax y n = a(x m) y =
I
′ ′ ′ ′ ′
− + ⇔ ∈ − +
′
− + ⇔ − + +
∆ − ≠ ∆ ∆
r
r
r
r
2 2

r r
u v
T T
A( 5;2) B C( 1;0)I I
.
Ta có : AB u,BC v AC AB BC u v (4; 2)= = ⇒ = + = + = −
uuur uuur uuur uuur uuur
r r r r

− − −
→  →
r r
r r
r r
u v
17 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 3 điểm K(1;2) , M(3; 1),N(2; 3) và 2 vectơ u = (2;3) ,v = ( 1;2) .
Tìm ảnh của K,M,N qua phép tònh tiến T rồi T .
u v
T T
HD : Gỉa sử : A(x;y) BI I
′ ′
 = = ⇒ = + = + =
′ ′
 
− = =
′ ′ ′
⇔ = ⇔ ⇔ ⇒
 
+
′ ′

′ ′
 
+ = − = −
′ ′
= − = = ⇔ ⇔ ⇒ −
 
′ ′
− = =
 
′
− + + = + − + + =
uuur uuuur
r r
)
x 1 4 x 5
Vì AG ( 4;3) u . Theo đề : GG u G ( 5;6).
y 3 3 y 6
2 2 2 2
19 Trong mặt phẳng Oxy , cho 2 đường tròn (C) : (x 1) (y 3) 2,(C ): x y 10x 4y 25 0.
Có hay không phe
′
′ ′ ′
− −
′
r
r
ùp tònh tiến vectơ u biến (C) thành (C ) .
HD : (C) có tâm I(1; 3), bán kính R = 2 ; (C ) có tâm I (5; 2), bán kính R = 2 .
Ta thấy : R = R = 2 nên có phép tònh tiến theo vectơ u
′

u
AO (2; 1) C T (B) với u = (2; 1)
u
T
x x 2 x x 2
B(x;y) C(x ;y ) . Do : BC u
y y 1 y y 1
B(x;y) 2x y 5 = 0 2x y 10 = 0 C(x ;y ) :2x y 10 = 0
21 Cho ABC . Gọi A ,B ,C
1 1 1
I
lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CA,AB. Gọi O ,O ,O và I ,I ,I
1 2 3 1 2 3
tương ứng là các tâm đường tròn ngoại tiếp và các tâm đường tròn nội tiếp của ba tam giác AB C ,
1 1
BC A
1
∆ = ∆
→ → →
⇒ ∆ →∆ → →
⇒
uuur uuur uuur
uuur
1 1 1
AB AB AB
2 2 2
, và CA B . Chứng minh rằng : O O O I I I .
1 1 1 1 2 3 1 2 3
HD :
Xét phép tònh tiến : T biến A C,C B,B A .

µ
µ
·
= = = =
→ ⇔ = =
uuur
o o o
uuuur uuur
BC
22 Trong tứ giác ABCD có AB = 6 3cm ,CD 12cm , A 60 ,B 150 và D 90 .
Tính độ dài các cạnh BC và DA .
HD :
T
Xét : A M AM BC.Ta có : ABCM là hình bình hành và BCM 3Iw
µ
=
o o
0 (vì B 150 )
·
·
= − + + = ⇒ =
∆
= + − = + − =
⇒
⇒ ∆
o o o o o
o
o
Lại có : BCD 360 (90 60 150 ) 60 MCD 30 .
Đònh lý hàm cos trong MCD :

′ ′
ng thẳng a gọi là trục đối xứng.
ĐN2 : Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M đối xứng
với M qua đường thẳng a .
Kí hiệ
′
a o o o
u : Đ (M) M M M M M , với M là hình chiếu của M trên đường thẳng a .
′ ′
= ⇔ = −
uuuuuur uuuuuur
Khi đó :

∈ =g
a
Nếu M a thì Đ (M) M : xem M là đối xứng với chính nó qua a . ( M còn gọi là điểm bất động )

′ ′
∉ = ⇔
g
a
M a thì Đ (M) M a là đường trung trực của MM

a a
Đ (M) M thì Đ (M ) M
′ ′
= =g

a a
Đ (H) H thì Đ (H ) H , H là ảnh của hình H .


1.Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của các
điểm tương ứ
HQ :

→
ng .
2. Đường thẳng thành đường thẳng .
3. Tia thành tia .
4. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .
5. Tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm trực tâm , trọn

I
→
′ ′
→
g tâm trọng tâm )
6. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . (Tâm biến thành tâm : I I , R = R )
7. Góc thành góc bằng nó .
I
I
a
PP : Tìm ảnh M = Đ (M)
1. (d) M , d a
2. H = d a
3. H là trung điểm của MM M ?
′
•
∋ ⊥
∩

PP :
∈ ∆
min
Tìm M ( ) : (MA + MB) .
∈ ∆
∆
′
∆
′ ′
∀ ∈ ∆ = ≥
′ ′
⇔ ∩ ∆
min
min
Tìm M ( ) : (MA+ MB)
Loại 1 : A, B nằm cùng phía đối với ( ) :
1) gọi A là đối xứng của A qua ( )
2) M ( ), thì MA + MB MA + MB A B
Do đó: (MA+MB) = A B M = (A B) ( )
w
∆
∀ ∈ ∆ ≥
⇔ ∩ ∆
min
Loại 2 : A, B nằm khác phía đối với ( ) :
M ( ), thì MA + MB AB
Ta có: (MA+MB) = AB M = (AB) ( )
w
B . BÀI TẬP
- 10 -

I I
I I
I I −
−
′′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′
→ →
′

= −
′
→

′
=

Đ Đ
a b
Đ Đ
a b
tđ(m;y) tđ(
M (5; 4) [ vẽ hình ] .
4 Cho 2 đường thẳng (a) : x m = 0 (m > 0) , (b) : y + n = 0 (n > 0).
Tìm M : M(x;y) M (x ;y ) M (x ;y ).
x 2m x
HD : M(x;y) M
y y
I I
− −
′′


Vì
1
⇒ ∆ → = ∆ ∩ → −
−
′ ′
− ∈∆ → ∋ ⊥ → + − = → → = =
′ ′
∆ ≡ −
g
g
a
cắt a K a K( 2;1)
1
M( 1;5) d M, a d : x y 4 0 H(1/ 2;7/ 2) : tđiểm của MM M Đ (M) (2;2)
KM : x 4y + 6 = 0
∩ −
′
≡ ∈ − −
′
≡ +
g
g
g
a
a
a
8 Tìm b = Đ (Ox) với đường thẳng (a) : x + 3y + 3 = 0 .
HD : a Ox = K( 3;0) .
3 9
M O(0;0) Ox : M = Đ (M) = ( ; ) .

g
g
Ox
Ox
0 Tìm b = Đ (a) với đường thẳng (a) : x + 3y 3 = 0 .
Giải :
Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ (rất hay)
Cách 2 : K= a Ox K(3;0)
P(0;1) a Q = Đ (P) = (0; 1)

≡ − −
g b KQ : x 3y 3 = 0 .
′
∆ − − − ∆ ∆
∆
′ ′ ′ ′ ′ ′
∈∆ → ∈∆ ⇒ ∆ ≡
′ ′ ′ ′ ′
∈∆ → ∈∆ ⇒ ∆ ∆ ∆ ∋
a
11 Cho 2 đường thẳng ( ) : x 2y + 2 = 0 , (a) : x 2y 3 = 0 . Tìm ảnh = Đ ( ) .
PP : / /a
Cách 1 : Tìm A,B A ,B A B
Cách 2 : Tìm A A / / , A
- 11 -
Ch¬ng 1 phÐp
biÕn h×nh
′
∈∆ → = = −
′ ′ ′ ′

Tìm ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng trục (a) : x 2y + 2 = 0 .
Giải : Gọi M ,
′ ′
∆ ∆

−
′

⊥

⊥ → + ∋ − ⇒ ⇒ +
g
g
( ) và (C ) là ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng trục a .
Qua M( 3;2)
a) Tìm ảnh M : Gọi đường thẳng (d) :
a
+ (d) (a) (d) : 2x y + m = 0 . Vì (d) M( 3;2) m = 4 (d): 2x y
+
4 = 0
′
′
′
′
′
′

= +

′

x (x x )
2
+ H = (d) (a) H( 2;0) H là trung điểm của M,M H
1
y (y y )
2
1
2 ( 3 x )
x 1
2
M ( 1; 2)
1 y 2
0 (2 y )
2
b) Tìm ảnh ( ) :
1 3
Vì ( ) cắt (a
1 2
⇒ ∆ ∩

−
⇒ ⇔

−

) K= ( ) (a)
x + 3y 8 = 0
Toạ độ của K là nghiệm của hệ : K(2;2)
x 2y + 2 = 0
≠ ⇒ − −

x (x x ) 0 ( 1 x )
x
2 2
E
1 1
y (y y ) 1 (3 y )
2 2

=

⇒ −

= −



− −
′ ′
∆ ≡ ⇒ ∆ = ⇔ − − =

= − − = −

g
uuur
g
Q
Q
1
Q(1; 1)
y 1



′
− − = −
′
→


′
+

′
→ + + − =
Đ
a
a
2 2
2 2
+ Tâm I = Đ [I( 3; 2)] ( ; )
(C )
5 5
R = 2
BK : R = R = 2
2 2
(C ) : (x ) (y ) 4
5 5
I
− ∆ − + − =
∆ −
−

I
− ∆ − + − + + =
∆
′

=
′
→

′
= −

2 2
Đ
Ox
16 Cho điểm M(2; 3), đường thẳng ( ) : 2x + y 4 = 0, đường tròn (C) : x y 2x 4y 2 0.
Tìm ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng qua Ox .
x x
HD : Ta có : M(x;y) M (
y y
′

=
⇒

′
= −

′
− →

′ ′ ′ ′ ′
∈ − ⇔ − − ⇔ + ⇔
Ox
Đ
Ox
17 Trong mpOxy cho đường thẳng (a) : 2x y+3 = 0 . Tìm ảnh của a qua Đ .
x x x x
Giải : Ta có : M(x;y) M
y y y y
Vì M(x;y) (a) : 2x y+3 = 0 2(x ) ( y )+3 = 0 2x y +3 = 0 M (
I
′ ′ ′
∈ +
′
→ +
Đ
Oy
x ;y ) (a ) : 2x y + 3 = 0
Vậy : (a) (a ) : 2x y + 3 = 0 I
+ − −
′ ′
 
= − = −
′
→ ⇒
 
′ ′
= =
 
′ ′ ′ ′ ′

2 2
a
a
19 Trong mpOxy cho đthẳng (a) : 2x y 3 = 0 , ( ) : x 3y 11 = 0 , (C) : x y 10x 4y 27 = 0 .
a) Viết biểu thức giải tích của phép đối xứng trục Đ .
b) Tìm ảnh của điểm M(4; 1) qua Đ .
′ ′
∆ ∆ =
+ ≠
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
→ = − − ⇒ =
′
⇒
uuuuur uuuuur
r r
a a
2 2
Đ
a
c) Tìm ảnh : ( ) = Đ ( ),(C ) Đ (C) .
Giải
a) Tổng quát (a) : Ax + By + C=0 , A B 0
Gọi M(x;y) M (x ;y ) , ta có : MM (x x;y y) cùng phương VTPT n = (A;B) MM tn
x

I
′ ′
′ + +
 
− = = +


 + +
 
− −
′ ′
= − = − + +
 
 
⇔
 
− −
 
′ ′
= + = + −
 
 
′
− → −
2 2
2 2 2 2
Đ
a
B
2A(Ax + By + C) 2B(Ax + By + C)
x x ;y y
A B A B
4(2x y 3) 3 4 12
x x x x y
5 5 5 5
Áp dụng kết quả trên ta có :

Vì ( ) và ( ) cắt nhau . Do đó trục đối xứng (a) của phép đối xứng biến ( ) thành ( ) chính
5 1
là đường phân giác của góc tạo bởi ( ) và ( ) .
−
′ ′
≠ ⇒ ∆ ∆ ∆ ∆
−
′
∆ ∆
1
2
1 2
x y 5 0 (a )
| x 5y 7 | | 5x y 13|
Từ đó suy ra (a) :
x y 1 0 (a )
1 25 25 + 1
Vậy có 2 phép đối xứng qua các trục ( ) : x y 5 0 , ( ): x y 1 0

+ − =
− + − −
= ⇔

− − =
+

∆ + − = ∆ − − =
∈
a
21 Qua phép đối xứng trục Đ :

g
g
ĐS :
Hình vuông có 4 trục đối xứng , đó là các đường thẳng đi qua 2 đỉnh đối diện và các đường thẳng
đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện .
Ngũ giác đều co
g
ù 5 trục đối xứng ,đó là các đường thẳng đi qua đỉnh đối diện và tâm của ngũ giác đều .
Lục giác đều có 6 trục đối xứng , đó là các đường thẳng đi qua 2 đỉnh đối diện và các đường thẳng đi
qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện .
′
∆
′
d
25 Gọi d là phân giác trong tại A của ABC , B là ảnh của B qua phép đối xứng trục Đ . Khẳng đònh
nào sau đây sai ?
A. Nếu AB < AC thì B ở trên cạnh AC .
′
′
≡
′
′ ′
∈
d

B. B là trung điểm cạnh AC .
C. Nếu AB = AC thì B C .
D. Nếu B là trung điểm cạnh AC thì AC = 2AB .
ĐS : Nếu B = Đ (B) thì B AC .
′ ′ ′

⇒ ⇒ ⇒ ∈
g
g
1 2
HD : A. Không sai . Vì d là trung trực của AB OA = OB , d là trung trực
của BC OB = OC OA = OB = OC A,B,C đường tròn (O, R = OC) .
Các câu B,C,D có thể sai .
∆
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
27 Cho ABC có hai trục đối xứng . Khẳng đònh nào sau đây đúng ?
A. ABC là vuông B. ABC là vuông cân C. ABC là đều D. ABC là cân .

∆

⇒ ⇒ = = ⇒ ∆


HD : Gỉa sử ABC có 2trục đối xứng là AC và BC
AB = AC
AB AB BC ABC đều .
BC = BA
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ

ĐS : Chọn B. Vì : Hình vuông có 4 trục đối xứng .
- 15 -
Ch¬ng 1 phÐp
biÕn h×nh
30 Trong các hình sau , hình nào có ít trục đối xứng nhất ?
A. Hình chữ nhật B. Hình vuông C. Hình thoi D. Hình thang cân .
ĐS : Chọn D. Vì : Hình thang cân có 1 trục đối xứng .
∆ ∆
31 Trong các hình sau , hình nào có 3 trục đối xứng ?
A. Hình thoi B. Hình vuông C. đều D. vuông cân .

∆
ĐS : Chọn C. Vì : đều có 3 trục đối xứng .
32 Trong các hình sau , hình nào có nhiều hơn 4 trục đối xứng ?
A. Hình vuông B. Hình thoi C. Hình tròn D. Hình thang cân .
ĐS : Chọn C. Vì : Hình tròn có vô số trục đối xứng .
33 Trong các hình sau , hình nào không có trục đối xứng ?
A. Hình bình hà
∆ ∆
nh B. đều C. cân D. Hình thoi .
ĐS : Chọn A. Vì : Hình bình hành không có trục đối xứng .
34 Cho hai hình vuô
′ ′ ′
′ ′ ′
′ ′
∩
ng ABCD và AB C D có cạnh đều bằng a và có đỉnh A chung .
Chứng minh : Có thể thực hiện một phép đối xứng trục biến hình vuông ABCD thànhø AB C D .
HD : Gỉa sử : BC B C = E .
µ

′ ′
= = −
′ ′ ′ ′
⇒ → ⇒ →
o
Đ
AE
Đ Đ
A AE
EC = EC
Mặt khác : C C
AC = AC = a 2
BAB
Ngoài ra : AD = AD và D AE DAE 90
2
D D ABCD AB C D
I
I I35 Gọi H là trực tâm ABC . CMR : Bốn tam giác ABC , HBC , HAC , HAC có
đường tròn ngoại tiếp bằng nhau .
∆

¶
¶
»
¶
¶ ¶
¶

a
.
a
a
a
a
Giải
a) Vì a là trục của phép đối xứng Đ nên :
A a A Đ (A) .
B,C a nên Đ : B B ,C C sao cho a là trung trực của BB ,CC
b) Vì G a nên Đ : G G sao cho a là trung trực
∈ ⇒ =
′ ′ ′ ′
∉ → →
′
∉ →
g
g I I
I của GG .
′
- 16 -