Chuyên đề phép
biến hình nâng cao
Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
- 1 -
CHƯƠNG I : PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
Vấn đề 1 : PHÉP DỜI HÌNH
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Phép biến hình .
ª ĐN : Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng xác đònh được một điểm duy nhất
M của mặt phẳng , điểm M gọi là ảnh của M qua phé
f
p biến hình đó .
ª Kí hiệu : f là một phép biến hình nào đó và M là ảnh của M qua phép f thì ta viết : M = f(M) hay
f(M) = M hay f : M M hay M M . Điểm M gọi là tạoII
1 2 2 1
ª
ảnh .
f là phép biến hình đồng nhất f(M) = M , M H .
5. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . ( Tâm biến thành tâm : I I , R = R )
6. Góc thành góc
II
I
bằng nó .
B . BÀI TẬP
x = 2x 1
1 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = .
y = y + 3
Tìm ảnh của các điểm sau : a) A(1;2) b) B( 1;2) c) C(2; 4)
Giải :
a) A = f(A) = (1;5)
b) B =
I
I
không ?Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
- 2 -
1 1 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
Giải : Lấy hai điểm bất kì M(x ;y ),N(x ;y )
Khi đó f : M(x ;y ) M = f(M) = (3x ; y ) .
f : N(x ;y ) N = f(N) = (3x ; y )
I
I
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
12
Ta có : MN = (x x ) (y y ) , M N = 9(x x ) (y y )
Nếu x x thì M N MN . Vậy : f không phải là phép dời hình .
(Vì có 1 số điểm f không bảo toàn khoảng cách) .
I
12
vì y y thì M N MN )
6 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( 2x ;y 1) . Tìm ảnh của đường
thẳng ( ) : x 3y 2 = 0 qua phép biến hình f .
Giải :
Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ
I
Qua M ( 4;1)
x+ 4 y 1
( ) (M N ): PTCtắc ( ) : PTTQ ( ): x 6y 2 0
61
VTCP : M N (6; 1)
22
7 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3;y 1) .
a) CMR f là phép dời hình .
b) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 1) + (y 2) = 4 . (C ) : (x
I
I
22
2) + (y 3) = 4
2 2 2 2
22
2 1 2 1
(x ; y ) N = f(N) = (x 3; y 1)
Ta có : M N = (x x ) (y y ) = MN
Vậy : f là phép dời hình .
I
b) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ
x = x 3 x x 3
Ta có f : M(x;y) M = f(M) =
y y 1 y y 1
Vì M(x;y) ( ) (x 3) 2(y 1) 5 0 x 2y 4 0 M (x ;y ) (
I
) : x 2y 4 0
21
VTCP : M N ( 2;1)
Cách 3: Vì f là phép dời hình nên f biến đường thẳng ( ) thành đường thẳng
( ) // ( ) .
Lấy M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1)
Vì ( ) // ( ) ( ): x + 2y m = 0 (m 5) . Do : ( ) M (2;1) m = 4 ( ) : x 2y 4 0
c) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ
I
2 2 2 2
d) Dùng biểu thức toạ độ
x = x 3 x x 3
Ta có f : M(x;y) M = f(M) =
y y 1 y y 1
I
2 2 2 2 2 2
x y (x + 3) (y 1) (x + 3) (y 1)
Vì M(x;y) (E) : + = 1 + = 1 M (x ;y ) (E ) : + = 1
3 2 3 2 3 2Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
- 4 -
9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) .
a) CMR f là phép dời hình .
b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 2y 3
I
21
ff
m f [f (A)] .
ĐS : A(4; 1) A (6; 5) A ( 6 ; 5 ) .II
x
11 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( ; 3y) . Khẳng đònh nào sau đây sai ?
2
A. f (O) = O (O là điểm bất biến) B. Ảnh của A Ox thì
I
ảnh A = f(A) Ox .
C. Ảnh của B Oy thì ảnh B = f(B) Oy . D. M = f [M(2 ; 3)] = (1; 9)
ĐS : Chọn D . Vì M = f[M(2 ; 3)] = (1; 9)
Vấn đề 2 : PHÉP TỊNH TIẾN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 ĐN : Phép tònh tiến theo vectơ u là một phép dời hình biến điểm M thành điểm M sao cho MM u.
I
3 Tính chất :
ĐL : Phép tònh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì .
HQ :
1. Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng .
2. Biến một tia thành tia .
3. Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng .
5. Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .
6. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho .
Biến 7. tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm )II
8. Đường tròn thành đường tròn bằng nó .
(Tâm biến thành tâm : I I , R = R )I PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM
Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
- 5 -
Cách 2 : Dùng biểu thức tọa độ .
Tìm x theo x , tìm y theo y rồi thay vào biểu thức tọa độ .
Cách 3
II
: Lấy hai điểm phân biệt : M, N (H) M , N (H )I
B, BÀI TẬP
1 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M của điểm M(3; 2) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2;1) .
Giải
x 3 2 x 5
Theo đònh nghóa ta có : M = T (M) MM u (x 3; y 2) (2;1)
u
y 2 1 y 1
Tính độ dài AB , A B .
Giải
Ta có : A = T (A) (5;4) , B = T (B)
uu
12
12
(4;2) , AB = |AB | 5 , A B = |A B | 5 .
4 Cho 2 vectơ u ;u . Gỉa sử M T (M),M T (M ). Tìm v để M T (M) .
1 2 1 u 2 u 1 2 v
Giải
Theo đề : M T (M) MM u , M T (M ) M M
1 u 1 1 2 u 1 1 2
u .
2
Nếu : M T (M) MM v v MM MM M M u + u .Vậy : v u + u
Giải Vì : A T (A) (1; 1) , B T (B) (2;1) .
uu
qua A (1; 1)
x 1 t
Mặt khác : T ( ) đi qua A ,B . Do đó : ptts :
u
y 1 2t
VTCP : A B = (1;2)
6 Đường thẳng cắt Ox tại A(1;0) , cắt Oy tại B(0;3) . Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh
của qua phép tònh tiến theo vectơ u = ( 1; 2) .
Giải
Vì : A T (A) (0; 2) ,
u
22
ủa đường tròn (C) : (x + 1) (y 2) 4 qua phép tònh tiến theo vectơ u = (1; 3) .
Giải
x = x + 1 x = x 1
Biểu thức toạ độ của phép tònh tiến T là :
u
y = y 3 y = y + 3
Vì : M(x;y) (
2 2 2 2 2 2
C) : (x + 1) (y 2) 4 x (y 1) 4 M (x ;y ) (C ) : x (y 1)4
22
Vậy : Ảnh của (C) là (C ) : x (y 1) 4
22
9 Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x 3) (y 2) 1 qua phép tònh tiến theo vectơ u = ( 2;4) .
x = x 2 x = x + 2
Giải : Biểu thức toạ độ của phép tònh tiến T là :
u
y = y 4 y = y 4
2 2 2 2 2 2
Vì : M(x;y) (C) : (x 3) (y 2) 1 (x 1) (y 2) 1 M (x ;y ) (C ) : (x 1) (y 2) 1
22
Vậy : Ảnh của (C) là (C ) : (x 1) (y 2) 1Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
- 7 -
x 1 3 x 4
C = T (I) IC AI C(4; 4)
AI
y 2 2 y 4
Vì I là trung điểm của AC nên :
D =
x 1 2 x 3
DD
T (I) ID BI D(3; 4)
BI
y 2 2 y 4
DD
Bài tập tương tự : A( 1;0),B(0;4),I(1;1) C(3;2),D(2; 2) .
11 Cho 2 đường thẳng song song nhau d và d . Hãy chỉ ra một
thành (I ,R ) .
Giải : Lấy điểm M tuỳ ý trên (I,R) . Gỉa sử : M = T (M) MM II
II
IM I M I M IM R M (I ,R ) (I ,R ) = T [(I,R)]
II
13 Cho hình bình hành ABCD , hai đỉnh A,B cố đònh , tâm I thay đổi di động
trên đường tròn (C) .Tìm quỹ tích trung điểm M của cạnh BC.
Giải
Gọi J là trung điểm cạnh AB . Khi đó d
ễ thấy J cố đònh và IM JB .
Vậy M là ảnh của I qua phép tònh tiến T . Suy ra : Quỹ tích của M là
JB
ảnh của đường tròn (C) trong phép tònh tiến theo vectơ JB
Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
- 8 -
T
u+v
2
14 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = ax . Gọi T là phép tònh tiến theo vectơ u = (m,n)
và (P ) là ảnh của (P) qua phép tònh tiến đó . Hãy viết phương trình của
22
a(x m) n M (x ;y ) (P ) : y = a(x m) n
2 2 2
Vậy : Ảnh của (P) qua phép tònh tiến T là (P ) : y = a(x m) n y = ax 2amx am n .
u
15 Cho đt : 6x + 2y 1= 0 . Tìm vectơ u 0 để = T ( ) .
u
Gi
ải : VTCP của là a = (2; 6) . Để : = T ( ) u cùng phương a . Khi đó : a = (2; 6) 2(1; 3)
u
chọn u = (1; 3) .
16 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 2 điểm A( 5;2) , C( 1;0) . Bi
ết : B = T (A) , C = T (B) . Tìm u và v
uv
TT
HD : Gỉa sử : A(x;y) BII
C(x ;y ) . Ta có : AB u,BC v AC AB BC u v (1;5)
x 1 1 x 2
Do đó : K =T (K) KK (1;5) K (2;7) .
uv
y 2 5 y 7
Tương tự : M (4;4) , N (3;2) .
18 Trong hệ trụ
Có hay không phe
ùp tònh tiến vectơ u biến (C) thành (C ) .
HD : (C) có tâm I(1; 3), bán kính R = 2 ; (C ) có tâm I (5; 2), bán kính R = 2 .
Ta thấy : R = R = 2 nên có phép tònh tiến theo vectơ u
= (4;1) biến (C) thành (C ) .
20 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho hình bình hành OABC với A( 2;1) và B :2x y 5 = 0 . Tìm tập
hợp đỉnh C ?
Giải
Vì OABC là hình bình hành nên : BC
1 1 1
AB AB AB
2 2 2
, và CA B . Chứng minh rằng : O O O I I I .
1 1 1 1 2 3 1 2 3
HD :
Xét phép tònh tiến : T biến A C,C B, B A .
1 1 1 1
AB
2
T T T
AB C C BA ;O O ;I I .
1 1 1 1 1 2 1 2
I I I
I I I
O O I I O O I I .
1 2 1 2 1 2 1 2
Lý luận tương tự : Xét các phép tònh tiến T ,T suy ra :
11
- 10 -
o
Lại có : BCD 360 (90 60 150 ) 60 MCD 30 .
Đònh lý hàm cos trong MCD :
3
2 2 2 2 2
MD MC DC 2MC.DC.cos30 (6 3) (12) 2.6 3.12. 36
2
MD = 6cm .
1
Ta có : MD = CD và MC = MD 3 MDC là tam giác
2
Khi đó :
a
Nếu M a thì Đ (M) M : xem M là đối xứng với chính nó qua a . ( M còn gọi là điểm bất động )
a
M a thì Đ (M) M a là đường trung trực của MMaa
Đ (M) M thì Đ (M ) M
aa
Đ (H) H thì Đ (H ) H , H là ảnh của hình H .
d
ĐN : d là trục đối xứng của hình H Đ (H) H .
Phép đối xứng trục hoàn toàn xác đònh khi biết trục đối xứng của nó .
4. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .
5. Tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm trực tâm , trọn
I
g tâm trọng tâm )
6. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . (Tâm biến thành tâm : I I , R = R )
7. Góc thành góc bằng nó .
I
IChương I: PHÉP BIẾN HÌNH
- 11 - a
PP : Tìm ảnh M = Đ (M)
1. (d) M , d a
2. H = d a
3. H là trung điểm của MM M ?
PP :
min
Tìm M ( ) : (MA + MB) .
min
min
Tìm M ( ) : (MA+ MB)
Loại 1 : A, B nằm cùng phía đối với ( ) :
1) gọi A là đối xứng của A qua ( )
2) M ( ), thì MA + MB MA + MB A B
Do đó: (MA+MB) = A B M = (A B) ( )
min
Loại 2 : A, B nằm khác phía đối với ( ) :
M ( ), thì MA + MB AB
Ta có: (MA+MB) = AB M = (AB) ( )
II
II
ĐĐ
ab
ĐĐ
ab
tđ(m;y) tđ(
M (5; 4) [ vẽ hình ] .
4 Cho 2 đường thẳng (a) : x m = 0 (m > 0) , (b) : y + n = 0 (n > 0).
Tìm M : M(x;y) M (x ;y ) M (x ;y ).
x 2m x
HD : M(x;y) M
yy
II
1
a
cắt a K a K( 2;1)
1
M( 1;5) d M, a d : x y 4 0 H(1/ 2;7 / 2) : tđiểm của MM M Đ (M) (2;2)
KM : x 4y + 6 = 0Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
- 12 -
a
E = a E( ; ) là trung điểm OQ Q( ; ) .
10 10 5 5
b KQ : 3x + 4y 9 = 0 .
1
Ox
Ox
0 Tìm b = Đ (a) với đường thẳng (a) : x + 3y 3 = 0 .
Giải :
Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ (rất hay)
Cách 2 : K= a Ox K(3;0)
P(0;1) a Q = Đ (P) = (0; 1)
b KQ : x 3y 3 = 0 .
a
11 Cho 2 đường thẳng ( ) : x 2y + 2 = 0 , (a) : x 2y 3 = 0 . Tìm ảnh = Đ ( ) .
PP : / /a
Cách 1 : Tìm A,B A ,B A B
Cách 2 : Tìm A A / / , A
22
14 Trong mpOxy cho điểm M( 3;2), đường thẳng ( ) : x + 3y 8 = 0, đường tròn (C) : (x+3) (y 2) 4.
Tìm ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng trục (a) : x 2y + 2 = 0 .
Giải : Gọi M ,
( ) và (C ) là ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng trục a .
Qua M( 3;2)
a) Tìm ảnh M : Gọi đường thẳng (d) :
a
+ (d) (a) (d) : 2x y + m = 0 . Vì (d) M( 3;2) m = 4 (d) : 2x y 4 = 0Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
- 13 -
H M M
H M M
M
M
M
M
1
x (x x )
2
+ H = (d) (a) H( 2;0) H là trung điểm của M,M H
1
y (y y )
2
1
2 ( 3 x )
x1
2
M ( 1; 2)
1 y 2
0 (2 y )
2
b) Tìm ảnh ( ) :
13
Vì ( ) cắt (a
12
E P Q Q
E P Q Q
+ (b) (a) (b) : 2x y + m = 0 . Vì (b) P( 1;3) m = 1 (b) : 2x y 1 = 0
+ E = (b) (a) E(0;1) E là trung điểm của P,Q
11
x (x x ) 0 ( 1 x )
x
22
E
11
y (y y ) 1 (3 y )
22
c) + Tìm ảnh của tâm I( 3;2) như câu a) .
Tâm I Tâm I
+ Vì phép đối xứng trục là phép dời hình nên (C): (C ): .Tìm I I
R 2 R R 2
+ Tâm I( 3;2)
Vậy : (C)
BK :
II
Đ
a
a
22
22
+ Tâm I = Đ [I( 3; 2)] ( ; )
(C )
55
c) + I(1; 2)
Đ
22
a
9 8 9 8
I ( ; ) , R = R = 3 (C ) : (x + ) (y )9
5 5 5 5
I
22
Đ
Ox
16 Cho điểm M(2; 3), đường thẳng ( ) : 2x + y 4 = 0, đường tròn (C) : x y 2x 4y 2 0.
Tìm ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng qua Ox .
xx
HD : Ta có : M(x;y) M (
yy
2 2 2 2
M(x;y) ( ) 2x y 4 = 0 M (x ;y ) ( ) : 2x y 4 = 0 .
M(x;y) (C) : x y 2x 4y 2 0 x y 2x 4y 2 0
(x 1) (y 2) 3 M (x ;y ) (C ) : (x 1) (y 2) 3
Ox
Đ
Ox
17 Trong mpOxy cho đường thẳng (a) : 2x y+3 = 0 . Tìm ảnh của a qua Đ .
x x x x
Giải : Ta có : M(x;y) M
y y y y
Vì M(x;y) (a) : 2x y+3 = 0 2(x ) ( y )+3 = 0 2x y +3 = 0 M (
I
2
22
Đ
Oy
22
y 4y 5 = 0
M (x ;y ) (C ) : x y 4y 5 = 0
Vậy : (C) (C ) : x y 4y 5 = 0I
22
a
a
19 Trong mpOxy cho đthẳng (a) : 2x y 3 = 0 , ( ) : x 3y 11 = 0 , (C) : x y 10x 4y 27 = 0 .
a) Viết biểu thức giải tích của phép đối xứng trục Đ .
b) Tìm ảnh của điểm M(4; 1) qua Đ .
aa
( t ) . Gọi I là trung điểm của MM nên I( ; ) (a)
y y Bt y y Bt
22
x x y y x x At y y Bt
A( ) B( ) C 0 A( ) B( ) C 0
2 2 2 2
2(Ax + By + C)
(A B )t 2(Ax + By + C) t
A
)
5
c) : 3x y 17 0
d) (C) (C ) : (x 1) (y 4) 2
I
IChương I: PHÉP BIẾN HÌNH
- 15 -
20 Trong mpOxy cho đường thẳng ( ) : x 5y 7 = 0 và ( ) : 5x y 13 = 0 . Tìm phép đối xứng qua
trục biến ( ) thành ( ) .
Giải
15
Vì ( ) và ( ) cắt nhau . Do đó trục đối xứng (a) của phép đối xứng biến ( ) thành ( ) chính
51
là đường phân giác của góc tạo bởi ( ) và ( ) .
1
ối xứng qua trục a .
2. Đường tròn có tâm a .
22 Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x 1) (y 2) 4 qua phép đối xứng trục Oy.
PP : Dùng biểu thức toạ độ ĐS : (C ) : (x 1) (y 2
2
)4
23 Hai ABC và A B C cùng nằm trong mặt phẳng toạ độ và đối xứng nhau qua trục Oy .
Biết A( 1;5),B( 4;6),C (3;1) . Hãy tìm toạ độ các đỉnh A , B và C .
ĐS : A (1;5), B (4;6) và C( 3;1)
24 Xét các hình vuông , ngũ giác đều và lục giác đều . Cho biết số trục đối xứng tương ứng của mỗi
loại đa giác đều đó và chỉ ra cách vẽ các trục đối xứng đó .
Copyright: Tài liệu đại học ©