Ch¬ng 1

phÐp

biÕn h×nh
CHƯƠNG I : PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
Vấn đề 1 : PHÉP DỜI HÌNH
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Phép biến hình .
ª ĐN : Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng xác đònh được một điểm duy nhất
M′ của mặt phẳng , điểm M′ gọi là ảnh của M qua phép biến hình đó .
ª Kí hiệu : f là một phép biến hình nào đó và M′ là ảnh của M qua phé p f thì ta viết : M′= f(M) hay
f
f(M) = M′ hay f : M I
→ M′ hay M I
→ M ′ . Điểm M gọi là tạo ảnh .
f là phép biến hình đồng nhất ⇔ f(M) = M , ∀ M ∈ H .
Điểm M gọi là điểm bất động , kép , bất biến .
f1 ,f2 là các phép biến hình thì f2 o f1 là phép biến hình .
ª Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp các điểm M′= f(M), với M ∈ H, tạo thành một hình H′ được gọi là
ảnh của H qua phép biến hình f và ta viết : H′= f(H) .

2 Phép dời hình .
ĐN : Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì , tức là với
hai điểm bất kì M,N và ảnh M′, N′ củ a chúng , ta luôn có M′N′= MN . ( Bảo toàn khoảng cách ) .
3 Tính chất : ( của phép dời hình ) .
gĐL : Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng , ba điểm không thẳng hàng
thành ba điểm không thẳng hàng .
gHQ : Phép dời hình biến :
1. Đường thẳng thành đường thẳng .

- 1 -


phÐp

Ch¬ng 1
biÕn h×nh
Giải : Lấy hai điểm bất kì M(x1; y1),N(x2 ; y2 )
Khi đó f : M(x1; y1 ) I
→ M′ = f(M) = (3x1; y1) .
f : N(x 2 ; y 2 ) I
→ N′ = f(N) = (3x 2 ; y 2 )
Ta có : MN = (x 2 − x1)2 + (y 2 − y1)2 , M′N ′ = 9(x 2 − x1)2 + (y2 − y1 )2
Nếu x1 ≠ x 2 thì M′N′ ≠ MN . Vậy : f không phải là phép dời hình .
(Vì có 1 số điểm f không bảo toàn khoảng cách) .
4 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình :
a) f : M(x;y) I
→ M′ = f(M) = ( y{ ; x{
−2)
x′

y′

b) g : M(x;y) I
→ M′ = g(M) = ( 2x
{ ; y+1)
{ .
x′

y′

Vì M(x;y) ∈ (∆) ⇔ (
) − 3(y′ − 1) − 2 = 0 ⇔ x′ + 6y′ − 2 = 0 ⇔ M′(x′;y′) ∈ (∆′) : x + 6y − 2 = 0
2
Cách 2 : Lấy 2 điểm bất kì M,N ∈ (∆) : M ≠ N .
gM ∈ (∆) : M(2;0) I
→ M′ = f(M) = (−4;1)
gN ∈ (∆) : N( − 1; − 1) I
→ N′ = f(N) = (2; 0)
gQua M′(−4;1)
x+ 4 y − 1
uuuuur
(∆′) ≡ (M′N′) : 
→ PTCtắc (∆′) :
=
→ PTTQ (∆′) : x + 6y − 2 = 0
6
−1
gVTCP : M′N′ = (6; −1)
7 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I
→ M′ = f(M) = (x + 3 ; y + 1) .
a) CMR f là phép dời hình .
b) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y − 2)2 = 4 .

I
→ (C′) : (x − 2)2 + (y − 3)2 = 4

- 2 -


Ch¬ng 1

 y′ = y + 1
 y = y′ − 1
Vì M(x;y) ∈ (∆) ⇔ (x′ + 3) + 2(y′ − 1) − 5 = 0 ⇔ x′ + 2y′ − 4 = 0 ⇔ M′(x′;y′) ∈ (∆′) : x + 2y − 4 = 0
Cách 2 : Lấy 2 điểm bất kì M,N ∈ (∆) : M ≠ N .
gM ∈ (∆) : M(5 ;0) I
→ M′ = f(M) = (2;1)
gN ∈ (∆) : N(3 ; 1) I
→ N′ = f(N) = (0;2)
gQua M′(2;1)
x − 2 y −1
uuuuur
(∆ ′) ≡ (M′N′) : 
→ PTCtắc (∆′) :
=
→ PTTQ (∆′) : x + 2y − 4 = 0
−2
1
gVTCP : M′N′ = (−2;1)
Cách 3 : Vì f là phép dời hình nên f biến đường thẳng (∆) thành đường thẳng (∆′) // (∆ ) .
gLấy M ∈ (∆ ) : M(5 ;0) I
→ M′ = f(M) = (2;1)
′
′
gVì (∆ ) // (∆ ) ⇒ (∆ ) : x + 2y + m = 0 (m ≠ −5) . Do : (∆′) ∋ M′(2;1) ⇒ m = − 4 ⇒ (∆ ′) : x + 2y − 4 = 0
c) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ
 x′ = x − 3  x = x′ + 3
Ta có f : M(x;y) I
→ M′ = f(M) = 
⇔
 y′ = y + 1

′
′
′
Vì M(x;y) ∈ (E) :
+
=1 ⇔
+
= 1 ⇔ M (x ;y ) ∈ (E ) :
+
=1
3
2
3
2
3
2

- 3 -


Ch¬ng 1

phÐp

biÕn h×nh
9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I
→ M′ = f(M) = (x + 1; y − 2) .
a) CMR f là phép dời hình .
b) Tìm ảnh của đường thẳng (∆) : x − 2y + 3 = 0.
c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 3)2 + (y − 1)2 = 2 .

→ M′ = f(M) = ( ; −3y) . Khẳng đònh nào sau đây sai ?
2
A. f (O) = O (O là điểm bất biến)
B. Ảnh của A ∈ Ox thì ảnh A′= f(A) ∈ Ox .
C. Ảnh của B ∈ Oy thì ảnh B′= f(B) ∈ Oy .
D. M′= f [ M(2 ; − 3)] = (1; − 9)
ĐS : Chọn D . Vì M′= f [ M(2 ; − 3)] = (1; 9)
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

Vấn đề 2 : PHÉP TỊNH TIẾN

uuuuur r
r
1 ĐN : Phép tònh tiến theo vectơ u là một phép dời hình biến điểm M thành điểm M′ sao cho MM′ = u.
uuuuur r
Kí hiệu : T hay Tur .Khi đó : Tur(M) = M ′ ⇔ MM′ = u
gPhép tònh tiến hoàn toàn được xác đònh khi biết vectơ tònh tiến của nó .
gNếu Tor(M) = M , ∀M thì Tor là phép đồng nhất .
r
2 Biểu thức tọa độ : Cho u = (a;b) và phép tònh tiến Tur
 x′= x + a
M(x;y) I
→ M′=Tur (M) = (x′; y′ ) thì 
 y′= y + b

3 Tính chất :
gĐL : Phép tònh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì .
gHQ :
1. Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng .
2. Biến một tia thành tia .

g(H) ≡ (C) 
I
→ (H′) ≡ (C′) 
(cần tìm I′) .
+ bk : R
+ bk : R′= R
Cách 2 : Dùng biểu thức tọa độ .
Tìm x theo x′ , tìm y theo y′ rồi thay vào biểu thức tọa độ .
Cách 3 : Lấy hai điểm phân biệt : M, N ∈ (H) I
→ M′, N′ ∈ (H′)
B, BÀI TẬP

r
1 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M′ của điểm M(3; − 2) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2;1) .
Giải
uuuuur r
 x′ − 3 = 2
 x′ = 5
Theo đònh nghóa ta có : M′ = Tur(M) ⇔ MM′ = u ⇔ (x′ − 3; y′ + 2) = (2;1) ⇔ 
⇔
 y′ + 2 = 1
 y ′ = −1
⇒ M′(5; −1)
r
2 Tìm ảnh các điểm chỉ ra qua phép tònh tiến theo vectơ u :
r
a) A( − 1;1) , u = (3;1)
⇒ A′(2;3)
r
b) B(2;1) , u = ( − 3;2)


- 5 -


Ch¬ng 1
biÕn h×nh
Giải Vì : A′ = Tur (A) = (1; −1) , B′ = Tur(B) = (2;1) .
gqua A′(1;uuuuu
− 1)r
Mặt khác : ∆′ = Tur (∆) ⇒ ∆′ đi qua A′,B′ . Do đó : ∆′ 
gVTCP : A′B′= (1;2)

phÐp

x = 1 + t
⇒ ptts ∆′ : 
y = −1 + 2t

6 Đường thẳng ∆ cắt Ox tại A(1;0) , cắt Oy tại B(0;3) . Hãy viết phương trình đường thẳng ∆′ là ảnh
r
của ∆ qua phép tònh tiến theo vectơ u = ( − 1; − 2) .
Giải
r (A) = (0; −2) , B′ = Tr (B) = ( −1;1) .
Vì : A′ = Tu
u
gqua A′(0; − 2)
x = −t
r (∆) ⇒ ∆′ đi qua A ′,B′ . Do đó : ∆′ 
uuuuur
Mặt khác : ∆′ = Tu

ĐS : b) x − 2y − 2 = 0

c) (x + 2)2 + (y + 1)2 = 2

d) (y + 2)2 = 4(x − 1)

10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I
→ M′ = f(M) = (−x ; y) . Khẳng đònh nào sau đây
sai ?
A. f là 1 phép dời hình
B. Nếu A(0 ; a) thì f(A) = A
C. M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành
D. f [ M(2;3)] ∈ đường thẳng 2x + y + 1 = 0
ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứn g nhau qua trục tung → C sai .
r
9 Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x − 3)2 + (y + 2)2 = 1 qua phép tònh tiến theo vectơ u = ( − 2;4) .
x′= x − 2
x = x′+ 2
Giải : Biểu thức toạ độ của phép tònh tiến Tur là : 
⇔
y′= y + 4
 y = y′ − 4

Vì : M(x;y) ∈(C) : (x − 3)2 + (y + 2)2 = 1 ⇔ (x ′ −1)2 + (y ′ − 2)2 = 1 ⇔ M ′(x ′;y′) ∈ (C′) : (x′ − 1)2 + (y′ − 2)2 = 1
Vậy : Ảnh của (C) là (C′) : (x −1)2 + (y − 2)2 = 1

- 6 -


Ch¬ng 1

D = Tuur(I) ⇔ ID = BI ⇔  D
⇔ D
⇒ D(3;4)
BI
y D − 2 = 2
 y D = 4
Bài tập tương tự : A( − 1;0),B(0;4),I(1;1)

⇒ C(3;2),D(2; − 2) .

11 Cho 2 đường thẳng song song nhau d và d′ . Hãy chỉ ra một phép tònh tiến
biến d thành d′ . Hỏi có bao nhiê u phép tònh tiến như thế ?
Giải : Chọn 2 điểm cố đònh A ∈ d , A ′ ∈ d ′
uuuuur uuur
Lấy điểm tuỳ ý M ∈ d . Gỉa sử : M ′ = Tuuur(M) ⇔ MM′ = AB
AB
uuuur uuuur
⇒ MA = M′B ⇒ M′B / /MA ⇒ M′ ∈ d′ ⇒ d ′ = Tuuur(d)
AB
Nhận xét : Có vô số phép tònh tiến biến d thành d ′ .
12 Cho 2 đường tròn (I,R) và (I′,R′) .Hãy chỉ ra một phép tònh tiến biến (I,R) thành (I′,R′) .
uuuuur uur
Giải : Lấy điểm M tuỳ ý trên (I,R) . Gỉa sử : M′ = Tuur(M) ⇔ MM′ = II′
II′
uuur uuuur
⇒ IM = I′M′ ⇒ I′M′ = IM = R ⇒ M′ ∈ (I′,R′) ⇒ (I′,R′) = Tuur[(I,R)]
II′
13 Cho hình bình hành ABCD , hai đỉnh A,B cố đònh , tâm I thay đổi di động
trên đường tròn (C) .Tìm quỹ tích trung điểm M của cạnh BC.
Giải

Giải : VTCP của ∆ là a = (2; − 6) . Để : ∆ = Tur (∆ ) ⇔ u cùng phương a . Khi đó : a = (2; − 6) = 2(1; −3)
r
⇒ chọn u = (1; − 3) .
r
r
16 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 2 điểm A( − 5;2) , C( − 1;0) . Biết : B = Tur (A) , C = Tvr(B) . Tìm u và v
để có thể thực hiện phép biến đổi A thành C ?
Giải
- 7 -


Ch¬ng 1

phÐp

biÕn h×nh
uuur r uuur r uuur uuur uuur r r
Tur
Tvr
Ta
có
:
AB
= u, BC = v ⇒ AC = AB + BC = u + v = (4; −2)
.
A( − 5;2) I
→ B I
→ C(−1; 0)
Tur + vr
r

Vì AG = (−4;3) = u . Theo đề : GG′ = u ⇔ 
⇔
⇒ G′(−5;6).
 y′ − 3 = 3
 y′ = 6
19 Trong mặt phẳng Oxy , cho 2 đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y + 3)2 = 2,(C′) : x 2 + y 2 − 10x + 4y + 25 = 0.
r
Có hay không phép tònh tiến vectơ u biến (C) thành (C′) .
HD : (C) có tâm I(1; − 3), bán kính R = 2 ; (C′) có tâm I′(5; − 2), bán kính R ′= 2 .
r
Ta thấy : R = R′= 2 nên có phép tònh tiến theo vectơ u = (4;1) biến (C) thành (C′) .
20 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho hình bình hành OABC với A( − 2;1) và B ∈ ∆ :2x − y − 5 = 0 . Tìm tập
hợp đỉnh C ?
Giải
uuur uuur
r
gVì OABC là hình bình hành nên : BC = AO = (2; −1) ⇒ C = Tur (B) với u = (2; −1)
uuur r x′ − x = 2
Tur
 x = x′ − 2
gB(x;y) I
→ C(x′; y′) . Do : BC = u ⇔ 
⇔
 y ′ − y = −1  y = y ′ + 1
gB(x;y) ∈ ∆ ⇔ 2x − y − 5 = 0 ⇔ 2x′ − y′ − 10 = 0 ⇔ C(x′; y′) ∈ ∆′ : 2x − y − 10 = 0
21 Cho ∆ABC . Gọi A1,B1,C1 lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CA,AB. Gọi O1,O2 ,O3 và I1,I2 ,I3
tương ứng là các tâm đường tròn ngoại tiếp và các tâm đường tròn nội tiếp của ba tam giác AB1C1,
BC1A1, và CA1B1 . Chứng minh rằng : ∆O1O2O3 = ∆I1I 2I3 .
HD :
w Xét phép tònh tiến : T1 uuur biến A I

O2O3 = I2I3 và O3O1 = I3I1 ⇒ O2O3 = I2I3 ,O3O1 = I3I1 ⇒ ∆O1O2O3 = ∆I1I2I3 (c.c.c).

- 8 -


Ch¬ng 1

phÐp

biÕn h×nh
µ = 60o ,B
µ = 150o và D
µ = 90o.
22 Trong tứ giác ABCD có AB = 6 3cm ,CD = 12cm , A
Tính độ dài các cạnh BC và DA .
HD :
uuuur uuur
Tuuur
·
µ = 150o )
BC → M ⇔ AM = BC.Ta có : ABCM là hình bình hành và BCM
w Xét : A I
= 30o (vì B
·
·
Lại có : BCD
= 360o − (90o + 60o + 150o ) = 60o ⇒ MCD
= 30o.
Đònh lý hàm cos trong ∆MCD :
3

ngra . uuuuuur
uuuuuu
Kí hiệu : Đa (M) = M′ ⇔ M oM′ = − M oM , với M o là hình chiếu của M trên đường thẳng a .
Khi đó :
gNếu M ∈ a thì Đa (M) = M : xem M là đối xứ ng với chính nó qua a . ( M còn gọi là điểm bất động )

gM ∉ a thì Đa (M) = M′ ⇔ a là đường trung trực củ a MM′
gĐa (M) = M′ thì Đa (M′) = M
gĐa (H) = H′ thì Đa (H′) = H , H′ là ảnh của hình H .

gĐN : d là trục đối xứng của hình H ⇔ Đd (H) = H .
gPhép đối xứng trục hoàn toàn xác đònh khi biết trục đối xứng của nó .
Chú ý : Một hình có thể không có trục đối xứng ,có thể có một hay nhiều trục đối xứng .
2 Biểu thức tọa độ : M(x;y) I
→ M′ = Đd (M) = (x′; y ′ )
 x′= x
 x′= − x
ª d ≡ Ox : 
ª d ≡ Oy : 
 y′ = − y
 y′ = y

- 9 -


Ch¬ng 1

phÐp

biÕn h×nh

Tìm M ∈ (∆ ) : (MA+ MB)min
w Loại 1 : A, B nằm cùng phía đối vớ i (∆ ) :
1) gọi A′ là đối xứng của A qua ( ∆ )
2) ∀M ∈ (∆ ), thì MA + MB = MA ′+ MB ≥ A ′B
Do đó: (MA+MB)min= A ′B ⇔ M = (A ′B) ∩ (∆)
w Loại 2 : A, B nằm khác phía đối với (∆ ) :
∀M ∈ (∆ ), thì MA + MB ≥ AB
Ta có: (MA+MB)min = AB ⇔ M = (AB) ∩ (∆)
B . BÀI TẬP

- 10 -


Ch¬ng 1

phÐp

biÕn h×nh
1 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M(2;1) đối xứng qua Ox , rồi đối xứng qua Oy .
Đ

Đ

Oy
Ox → M′(2; − 1) I
HD : M(2;1) I
→ M′′(−2; −1)

2 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M(a;b) đối xứng qua Oy , rồi đối xứng qua Ox .
Đ

→ M′(x′; y′) 
Đa
Đb
 x′ = 2m − x
 x′′ = 2m − x
HD : M(x;y) I
→ M′ 
I
→ M′′ 
tđ(m;y)
tđ(2m −x;− n)
 y′ = y
 y′′ = −2n − y

5 Cho điểm M( − 1;2) và đường thẳng (a) : x + 2y + 2 = 0 .
HD : (d) : 2x − y + 4 = 0 , H = d ∩ a → H( − 2;0) , H là trung điểm của MM′ → M′( − 3; − 2)
6 Cho điểm M( − 4;1) và đường thẳng (a) : x + y = 0 .
⇒ M′= Đa (M) = (−1; 4)
7 Cho 2 đường thẳng (∆) : 4x − y + 9 = 0 , (a) : x − y + 3 = 0 . Tìm ảnh ∆′= Đa (∆) .
HD :
4 −1
gVì ≠
⇒ ∆ cắt a → K = ∆ ∩ a → K(−2;1)
1 −1
gM( − 1;5) ∈ ∆ → d ∋ M, ⊥ a → d : x + y − 4 = 0 → H(1/ 2; 7 / 2) : tđiểm của MM′ → M′ = Đa (M) = (2;2)
g∆′ ≡ KM′: x − 4y + 6 = 0
8 Tìm b = Đa (Ox) với đường thẳng (a) : x + 3y + 3 = 0 .
HD : ga ∩ Ox = K( − 3;0) .
3 9
gM ≡ O(0;0) ∈ Ox : M′= Đa (M) = ( − ; − ) .

Giải : gA(0;1) ∈ ∆ → A ′ = Đa (A) = (2; −3)
g∆′ ∋ A′,∆′ / / ∆ ⇒ ∆′ : x − 2y − 8 = 0

phÐp

biÕn h×nh

12 Cho đường tròn (C) : (x+3)2 + (y − 2)2 = 1 , đường thẳng (a) : 3x − y + 1= 0 . Tìm (C′) = Đa [(C)]
HD : (C′) : (x − 3)2 + y2 = 1 .

13 Trong mpOxy cho ∆ABC : A( − 1;6),B(0;1) và C(1;6) . Khẳng đònh nào sau đây sai ?
A. ∆ABC cân ở B
B. ∆ABC có 1 trục đối xứng
C. ∆ABC = ĐOx (∆ABC)
D. Trọng tâm : G = ĐOy (G)
HD : Chọn D

14 Trong mpOxy cho điểm M( − 3;2), đường thẳng (∆ ) : x + 3y − 8 = 0, đường tròn (C) : (x+3)2 + (y + 2)2 = 4.
Tìm ảnh của M, (∆ ) và (C) qua phép đối xứng trục (a) : x − 2y + 2 = 0 .
Giải : Gọi M′, (∆ ′) và (C′) là ảnh của M, (∆ ) và (C) qua phép đối xứng trục a .
g Qua M( − 3;2)
a) Tìm ảnh M′ : Gọi đường thẳng (d) : 
g ⊥ a
+ (d) ⊥ (a) → (d) : 2x + y + m = 0 . Vì (d) ∋ M( − 3;2) ⇒ m = 4 ⇒ (d) : 2x + y + 4 = 0

1
x H = 2 (x M + x M′ )
+ H = (d) ∩(a) ⇒H( −2;0) ⇒H là trung điểm của M,M′ ⇔H 
y = 1 (y + y ′ )
M

x −2y + 2 = 0
gLấy P ≠ K ⇒ Q = Đa [P( − 1;3)] = (1; −1) . ( Làm tương tự như câu a) )
g Qua P( − 1;3)
Gọi đường thẳng (b) : 
g ⊥ a
+ (b) ⊥ (a) → (b) : 2x + y + m = 0 . Vì (b) ∋ P( − 1;3) ⇒ m = − 1 ⇒ (b) : 2x + y − 1 = 0
+ E = (b) ∩ (a) ⇒ E(0;1) ⇒ E là trung điểm của P,Q ⇔


1
1
x = (x + xQ )
0 = (−1 + x Q )
 xQ = 1
 E 2 P

2
⇔ E
⇔
⇔
⇒ Q(1; −1)
 yQ = −1
 y = 1 (y + y )
1 = 1 (3 + y )
Q
Q
 E 2 P
 2
gQua K(2;2)
x−2 y−2

′
gR = 2
gR = R = 2

Đa
+ Tâm I′= Đa [ I( − 3; −2)] = (− 2 ; 2 )
+
Tâ
m
I(
−
3;2)
′
Vậy : (C)
I
→ (C ) 
5 5
+ BK : R = 2
 + BK : R′= R = 2
2
2
→ (C′) : (x + )2 + (y − )2 = 4
5
5

{

15 Trong mpOxy cho điểm M(3; − 5), đường thẳng (∆ ) : 3x + 2y − 6 = 0, đường tròn (C) : (x+1)2+ (y − 2)2 = 9.
Tìm ảnh của M, (∆ ) và (C) qua phép đối xứng trục (a) : 2x − y + 1 = 0 .
HD :

(2)
 y = − y′
 y′ = − y
Đ

Ox → M′(2;3)
gThay vào (2) : M(2; − 3) 
gM(x;y) ∈ (∆) ⇔ 2x′ − y′ − 4 = 0 ⇔ M′(x′;y′) ∈ (∆′) : 2x − y − 4 = 0 .

gM(x;y) ∈ (C) : x 2 + y 2 − 2x + 4y + 2 = 0 ⇔ x′2 + y′2 − 2x′ − 4y′ + 2 = 0

⇔ (x′ − 1)2 + (y′ − 2)2 = 3 ⇔ M′(x′;y′) ∈ (C′) : (x − 1)2 + (y − 2)2 = 3

17 Trong mpOxy cho đường thẳng (a) : 2x − y+3 = 0 . Tìm ảnh của a qua ĐOx .
ĐOx
 x′ = x
 x = x′
Giải : Ta có : M(x;y) I
→ M′ 
⇒
 y′ = − y  y = − y ′
Vì M(x;y) ∈ (a) : 2x − y+3 = 0 ⇔ 2(x′) − ( −y′)+3 = 0 ⇔ 2x′ + y′+3 = 0 ⇔ M′(x′; y′) ∈ (a′) : 2x + y + 3 = 0
Đ

Oy
Vậy : (a) I→ (a′) : 2x + y + 3 = 0

18 Trong mpOxy cho đường tròn (C) : x 2 + y2 − 4y − 5 = 0 . Tìm ảnh của a qua ĐOy .

ĐOy

uuuuur r
Đa
r
Gọi M(x;y) I
→ M′(x′;y′) , ta có : MM′ = (x ′ − x; y ′ − y) cùng phương VTPT n = (A;B) ⇒ MM′ = tn
x + x′ y + y ′
x′ − x = At x′ = x + At
⇒
⇒
(∀t ∈ ¡ ) . Gọi I là trung điểm của MM′ nê n I(
;
) ∈ (a)
2
2
y′ − y = Bt
y′ = y + Bt
x + x′
y + y′
x + x + At
y + y + Bt
⇔ A(
) + B(
) + C = 0 ⇔ A(
) + B(
)+C = 0
2
2
2
2
−2(Ax + By + C)

2(2x
−
y
−
3)
4
3
6
y′ = y +
 y′ = y + y −


5
5
5
5


Đa
4 7
b) M(4; − 1) I
→ M′(− ; )
5 5
Đ

a → ∆′ : 3x + y − 17 = 0
c) ∆ I
Đ

a → (C′) : (x − 1)2 + (y − 4)2 = 2


22 Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y − 2)2 = 4 qua phép đối xứng trục Oy.

PP : Dùng biểu thức toạ độ → ĐS : (C′) : (x + 1)2 + (y − 2)2 = 4
23 Hai ∆ABC và ∆A′B′C′ cùng nằm trong mặt phẳng toạ độ và đối xứng nhau qua trục Oy .
Biết A( − 1;5),B(−4;6),C′(3;1) . Hãy tìm toạ độ các đỉnh A′, B′ và C .
ĐS : A′(1;5), B′(4;6) và C( − 3;1)
- 14 -


Ch¬ng 1

phÐp

biÕn h×nh
24 Xét các hình vuông , ngũ giác đều và lục giác đều . Cho biết số trục đối xứng tương ứng của mỗi
loại đa giác đều đó và chỉ ra cách vẽ các trục đối xứng đó .
ĐS :
gHình vuông có 4 trục đối xứng , đó là các đường thẳng đi qua 2 đỉnh đối diện và các đường thẳng
đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện .
gNgũ giác đều có 5 trục đối xứng ,đó là các đường thẳng đi qua đỉnh đối diện và tâm của ngũ giác đều .
gLục giác đều có 6 trục đối xứng , đó là các đường thẳng đi qua 2 đỉnh đối diện và các đường thẳng đi
qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện .
25 Gọi d là phân giác trong tại A của ∆ABC , B′ là ảnh của B qua phép đối xứng trục Đd . Khẳng đònh
nào sau đây sai ?
A. Nếu AB < AC thì B′ ở trên cạnh AC .
B. B′ là trung điểm cạnh AC .
C. Nếu AB = AC thì B′ ≡ C .
D. Nếu B′ là trung điểm cạnh AC thì AC = 2AB .
ĐS : Nếu B′= Đd (B) thì B′ ∈ AC .

 AB = AC
⇒
⇒ AB = AB = BC ⇒ ∆ABC đều .
 BC = BA
µ = 110o. Tính B
µ và C
µ để ∆ABC
28 Cho ∆ABC có A
có trục đối xứng .
µ = 50o và C
µ = 20 o
µ = 45o và C
µ = 25o
A. B
B. B

D. ∆ABC là ∆ cân .

µ = 40o và C
µ = 30o
C. B
HD : Chọn D . Vì : ∆ABC có trục đối xứng khi ∆ABC cân hoặc đều
µ = 110o > 90o ⇒ ∆ABC cân tại A , khi đó :
Vì A

o µ
o
o
µB = C
µ = 180 − A = 180 − 110 = 35o

ĐS : Chọn C. Vì : ∆ đều có 3 trục đối xứng .

C. ∆ đều

32 Trong các hình sau , hình nào có nhiều hơn 4 trục đối xứng ?
A. Hình vuông
B. Hình thoi
C. Hình tròn
ĐS : Chọn C. Vì : Hình tròn có vô số trục đối xứng .

D. Hình thang cân .

D. ∆ vuông cân .

D. Hình thang cân .

33 Trong các hình sau , hình nào khôn g có trục đối xứng ?
A. Hình bình hành
B. ∆ đều
C. ∆ cân
D. Hình thoi .
ĐS : Chọn A. Vì : Hình bình hành không có trục đối xứng .
34 Cho hai hình vuông ABCD và AB′C′D′ có cạnh đều bằng a và có đỉnh A chung .
Chứng minh : Có thể thực hiện một phép đối xứng trục biến hình vuôn g ABCD thànhø AB′C′D′ .
HD : Gỉa sử : BC ∩ B′C′ = E .
µ =B
µ ′ = 90o,AE chung .
Ta có : AB = AB′ , B
ĐAE
EB = EB′

1

2

¶ =C
¶ (góc có cạnh tương ứng ⊥ ) ⇒ C
¶ =C
¶
A
1
1
1
2
⇒ ∆CHK cân ⇒ K đối xứng với H qua BC .
Xét phép đối xứng trục BC .
Đ

Đ

Đ

BC H ; B I→
BC B ; C I→
BC C
Ta có : K I→
Đ

BC Đường tròn ngoại tiếp ∆HBC
Vậy : Đường tròn ngoại tiếp ∆KBC I→


Gọi N = ĐOx (M) và P = ĐOx (M) . Khi đó : AM=AN , BM=BP
Từ đó : CVi = MA+AB+MB = NA+AB+BP ≥ NP
( đường gấp khúc ≥ đường thẳng )
MinCVi = NP Khi A,B lần lượt là giao điểm của NP với Ox,Oy .
39 Cho ∆ABC cân tại A với đường cao AH . Biết A và H cố đònh . Tìm tập hợp
điểm C trong mỗi trường hợp sau :
a) B di động trên đường thẳng ∆ .
b) B di động trên đường tròn tâm I, bán kính R .
Giải
a) Vì : C = ĐAH (B) , mà B ∈ ∆ nên C ∈ ∆′ với ∆′ = ĐAH (∆)
Vậy : Tập hợp các điểm C là đường thẳng ∆′
b) Tương tự : Tập hợp các điểm C là đường tròn tâm J , bán kính R là ảnh của
đường tròn (I) qua ĐAH .
Vấn đề 4 : PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

A , KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 ĐN : Phép đối xứng tâm I là một phép dời hình biến mỗi điểm M thàn h điểm M′ đối xứng với M qua I.
Phép đối xứng qua một điểm còn gọi là phép đối tâm .
Điểm I gọi là tâm của của phép đối xứng hay đơn giản là tâm đối xứng .
uuur
uuur
Kí hiệu : ĐI (M) = M′ ⇔ IM′ = −IM .
gNếu M ≡ I thì M′ ≡ I
gNếu M ≠ I thì M′ = ĐI (M) ⇔ I là trung trực của MM′.
gĐN :Điểm I là tâm đối xứng của hình H ⇔ ĐI (H) = H.
Chú ý : Một hình có thể không có tâm đối xứng .
ĐI
2 Biểu thức tọa độ : Cho I(x o ; y o ) và phép đối xứng tâm I : M(x;y) I
→ M′ = ĐI (M) = (x ′; y′ ) thì
x′= 2xo − x

uur
uur
 x′ − 1 = 3
 x′ = 4
a) Gỉa sử : A′ = ĐI (A) ⇔ IA = −IA ⇔ (x′ − 1; y′ − 2) = −(−3;1) ⇔ 
⇔
⇒ A ′(4;1)
 y ′ − 2 = −1  y ′ = 1
Cách ≠ : Dùng biểu thức toạ độ
2 Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I :
1) (∆) : x + 2y + 5 = 0,I(2; −1)
⇒ (∆′) : x + 2y − 5 = 0
2) (∆) : x − 2y − 3 = 0,I(1; 0)
⇒ (∆′) : x − 2y + 1 = 0
3) (∆) : 3x + 2y − 1 = 0,I(2; −3)
⇒ (∆′) : 3x + 2y + 1 = 0
Giải
PP : Có 3 cách
Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ
Cách 2 : Xác đònh dạng ∆′ // ∆ , rồi dùng công thức tính khoảng cách d(∆;∆′) → ∆′.
Cách 3 : Lấy bất kỳ A,B ∈ ∆ , rồi tìm ảnh A′,B′ ∈ ∆′ ⇒ ∆′ ≡ A′B′
ĐI
 x′ = 4 − x
 x = 4 − x′
1) Cách 1: Ta có : M(x;y) I
→ M′ 
⇒
y′ = −2 − y y = −2 − y′
Vì M(x;y) ∈ ∆ ⇔ x + 2y + 5 = 0 ⇔ (4 − x′) + 2(−2 − y′) + 5 = 0 ⇔ x′ + 2y′ − 5 = 0
⇔ M′(x′;y′) ∈ ∆′ : x + 2y − 5 = 0

b) Tương tự .

4 Cho hai điểm A và B .Cho biết phép biến đổi M thành M′ sao cho AMBM′ là một hình bình hành .

- 18 -


Ch¬ng 1
HD :

phÐp

biÕn h×nh

uuuur uuuur
 MA = BM′
Nếu AMBM′ là hình bình hành ⇔  uuur uuuur
MB = AM′
uuuuur uuuur uuuur uuuur uuur 
Vì : MM′ = MA + AM′ = MA + MB (1)
uur
uur
Gọi I là trung
điể
m
củ
a
AB
.
Ta

ĐA
M I
→ N ; I1 I
→ I2 ⇒ MI1 I
→ NI2 ⇔ MI1 = −NI2 (1)
• Do (I2 ; R) tiếp xúc với (I3; R) tại B , nên :
uuuur
uuur
ĐB
ĐB
ĐB
N I
→ P ; I2 I
→ I3 ⇒ NI2 I
→ PI3 ⇔ NI 2 = −PI3 (2)
• Do (I3; R) tiếp xúc với (I1; R) tại C , nên :
uuur
uuur
ĐC
ĐC
ĐC
P I
→ Q ; I3 I
→ I1 ⇒ PI3 I
→ QI1 ⇔ PI3 = −QI1 (3)
uuuur
uuur
Từ (1),(2),(3) suy ra : MI1 = −QI1 ⇔ M = ĐI (Q) .
1


A ; D l→
D ; F l→
F ; C l→
G;
ĐDF
B l→
E (Tính chất hình vuông ).
Vậy : Tập hợp 6 điểm { B,C,F,G,E,D} có trục đố i xứng chính là đường thẳng DAF .
·
·
b) Qua phép đối xứng trục DAF ta có : ∆ABC = ∆AEG nên BAC
= AEG.

·
·
Nhưng : BCA
= AGE
( 2 ∆ đối xứng = )
·AGE = A
¶ (do ∆KAG cân tại K) . Suy ra : A
¶ =A
¶ ⇒ K,A,H thẳng hàng ⇒ K ở trên AH .
2
1
2
c) Tứ giác AFPG là một hình chữ nhật nên : A,K,P thẳng hàng . (Hơn nữ a K là trung điểm của AP )
Vậy : P ở trên PH .
d) • Do ∆EDC = ∆DBP nên DC = BP .
 DC = BP


Biết : uuuuu
MMr′′ = MM
uuuur + Muuuuuu
r uuuur
′M′′ = 2M′B
Mà : uuuuur
MM′ = 2MA
và
M
uuuur uuuur uuuur uuuur uuur
Vậy : MM′′ = 2MA + 2M′B = 2MA + 2M′A + 2AB
uuuur uuuur
uuuur uuuur r
uuuuur uuur
Vì : MA = AM′ nên MA + M′A = 0 . Suy ra : MM′′ = 2AB ⇔ M′′ = T uuur (M), ∀M (2)
2AB

Từ (1) và (2) , suy ra : ĐB o ĐA = T uuur .
2AB

b) Chứng minh tương tự : ĐA o ĐB = T uuur .
2 BA

- 20 -


Ch¬ng 1

phÐp


·
·
8 Cho ∆ABC có AM và CN là các trung tuyến . CMR : Nếu BAM
= BCN
= 30o thì ∆ABC đều .
HD :
·
·
·
·
Tứ giác ACMN có NAM
= NCM
= 30o nên nội tiếp đtròn tâm O, bkính R=AC và MON
= 2NAM
= 60o.

ĐN
ĐN
Xét : A I
→ B ⇒ (O) I
→ (O1) thì B ∈ (O1) vì A ∈ (O) .
ĐM
ĐM
C I
→ B ⇒ (O) I
→ (O2 ) thì B ∈ (O2 ) vì C ∈ (O) .
OO = OO2 = 2R
Khi đó , ta có :  1
⇒ ∆OO1O2 là tam giác đề u .
·


Ch¬ng 1

phÐp

biÕn h×nh
Q
Q
5. Tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm I
→ trực tâm , trọng tâm I
→ trọng tâm )
Q(O ; ϕ )
6. Đường tròn thành đường tròn bằn g nó . ( Tâm biến thành tâm : I I
→ I ′ , R′ = R )
7. Góc thành góc bằng nó .
B. BÀI TẬP
1 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(x;y) . Tìm M / = Q(O ; ϕ) (M) .
HD :
 x = rcosα
Gọi M(x;y) . Đặt : OM = r , góc lượng giác (Ox;OM) = α thì M 
 y = rsinα
Q(O ; ϕ)
Vì : M I
→ M / . Gọi M / (x ′;y ′) thì độ dài OM / = r và (Ox;OM / ) = α + ϕ .
Ta có :
x ′ = rcos(α + ϕ) = rcos α.cosϕ − r sin α.sin ϕ = x cos ϕ − y sin ϕ .
y ′ = rsin(α + ϕ) = rsinα.cosϕ + r cos α.sin ϕ = x sin ϕ + y cos ϕ .
 x ′= x cos ϕ − y sin ϕ
Vậy : M / 
 y ′= x sin ϕ + y cos ϕ

Thì M / 
 y′ = rsin(α+45o ) = r sin α.cos 45o + r cos α.sin 45o = y.cos 45o + x.sin 45o

2
2
x−
y
 x′=
2
2
⇒ M/ 
 y′= 2 x + 2 y

2
2
Q
(O ; 45o )
a) A(2;2) I→ A / (0 ;2 2)
Q

/
gTâm I(1;0)
(O ; 45o )
b) Vì (C) : 
→ (C′) : gTâm I ?
gBk : R = 2
gBk : R′ = R = 2
Q
2
2


2
2
Giải

π
π
 x′= x cos 3 − y sin 3
Ta có f : M (x; y) I
→ M′(x′;y′) với 
⇒ f là phé p quay Q π
(O; )
 y′= x sin π + y cos π
3

3
3
4 Trong mpOxy cho đường thẳng (∆) : 2x − y+1= 0 . Tìm ảnh của đường thẳng qua :
a) Phép đối xứng tâm I(1; − 2).
b) Phép quay Q
.
(O;90o )
Giải
 x′ = 2 − x
 x = 2 − x′
a) Ta có : M′(x′;y′) = ĐI (M) thì biểu thức tọa độ M′ 
⇔
 y′ = −4 − y
 y = − 4 − y′
′

(O;90o )
Cách 2 : Lấy : • M(0;1) ∈ (∆) I
→ M′(−1; 0) ∈ (∆′)
Q
1
−1
(O;90o )
• N( − ;0) ∈ (∆) I
→ N′(0; ) ∈ (∆′)
2
2
Q
(O;90o )
• (∆) I
→ (∆′) ≡ M′N′ : x + 2y + 1 = 0
Q
1
(O;90o )
Cách 3 : • Vì (∆) I
→(∆′) ⇒ (∆) ⊥ (∆′) mà hệ số góc : k ∆ = 2 ⇒ k ∆′ = −
2
Q
(O;90o )
• M(0;1) ∈ (∆) I
→ M′(1;0) ∈ (∆′)
gQua M′(1; 0)

• (∆′) : 
1 ⇒ (∆′) : x + 2y + 1 = 0
ghsg ; k = − 2


(M) .

uuuur uuur
o ⇒ OM.ON = 0 ⇔ 4x+y = 0 ⇔ y= − 4x (1)
(M)
⇒
(OM;
ON)
=
90
(O ; 90o )
Do : OM = ON ⇒ x2 + y 2 = 16 + 1 = 17 (2) .

Vì N = Q

Giải (1) và (2) , ta có : N(1; − 4) hay N( − 1; 4) .
w Thử lại : Điều kiện (OM;ON) = 90o ta thấy N( − 1; 4) thoả mãn .
8 a)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A(0;3) . Tìm B = Q

(A) .
(O ;− 45o )
HD : Phép quay Q
biến điểm A ∈ Oy thà nh điểm B ∈ đt : y = x,ta có :
(O ;− 45o )
x B = y B > 0
3
3 3
. Mà OB = x 2B + y 2B = 3 ⇒ x B =
⇒ B( ;


(O ; 45o )

(O ; 45o )

(C) .

(I) = I′(1 − 2;1 + 2) ⇒ (C′) : (x − 1 + 2)2 + (y − 1 − 2)2 = 3 .

12 [CB-P19] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A(2;0) và đường thẳng (d) : x + y − 2 = 0.
Tìm ảnh của A và (d) qua phép quay Q
.
(O ; 90o )
HD :
w Ta có : A(2;0) ∈ Ox . Gọi B = Q
(A) thì B ∈ Oy và OA = OB .
(O ; 90o )
w Vì toạ độ A,B thoả mãn pt (d) : x + y − 2 = 0 nên A,B ∈ (d) .
Do B = Q
(A) và tương tự Q
(A) = C( − 2;0)
(O ; 90o )
(O ; 90o )
x
y
x y
nên Q
+
=1 ⇔
+ =1⇔ x −y +2 = 0


(O; 120o )

.

(O;120o )

Giải
·
·
·
a) Vì OA = OB = OC và AOC
= BOC
= COA
= 120o nên Q
b) Q

(O; 120o )

(O;120o )

: A I
→ B,B I
→ C,C I
→A

: ∆ABC 
→ ∆ABC

16 [CB-P19] Cho hình vuông ABCD tâm O .

(∆AMN) = ∆DM′N′
(O;90o )
(O;90o )
18 [ CB-1.15 ] Cho hình lục giác đều ABCDEF , O là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó . Tìm ảnh của
∆OAB qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O , góc 60o và phép
uuur .
tònh tiến TOE

HD :
uuur o Q
Gọi F = TOE
wQ

. Xét :
(O;60o )

(O) = O,Q
(A) = B,Q
(B) = C .
(O;60o )
(O;60o )
(O;60o )
uuur (O) = E,Tuuur(B) = O,Tuuur(C) = D
w TOE
OE
OE

w Vậy : F(O) = E , F(A) = O , F(B) = D ⇒ F(∆OAB) = ∆EOD

- 25 -