Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
1

HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN
  
I. Lưu ý
Quy tắc cộng thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai tập hợp không giao nhau:
Nếu tập hợp hữu hạn A, B bất kỳ và
AB  
.Khi đó thì số phần tử của A

B bằng số phần tử của A cộng với
số phần tử của B, tức là:
| A

B| = |A| + |B|.
Tuy nhiên trong nhiều bài toán , chúng ta phải tính số phần tử của hai tập hợp A và B có giao khác rỗng. Nếu
trong trƣờng hợp này ta vẫn lầy số phần tử của tập A cộng với số phần tử của tập B thì khi đó số phần tử của A

B
sẽ đƣợc tính hai lần. Cho nên, đối với trƣờng hợp này ở kết quả chúng ta phải trừ đi số phần tử của A

B. Vậy:
Nếu cho tập hợp hữu hạn bất kỳ A và B giao nhau khác rỗng.Khi đó thì số phần tử của A

B bằng số phần tử của
A cộng với số phần tử của B rồi trừ đi số phần tử của A

B, tức là:
| A

có n
k
cách khác nhau.
Bước 3: Khi đó, ta có n
1
+ n
2
+ … + n
k
cách
II.1.2 Sử dụng qui tắc nhân để giải bài toán đếm.
Để sử dụng qui tắc nhân trong bài toán đếm, ta thực hiện theo các bƣớc:
Bước 1: Phân tách một công việc thành k công việc nhỏ liên tiếp:
A
1,
A
2,
… ,A
k
.
Bước 2: Nếu:
A
1
có n
1
cách khác nhau.
Ứng với mỗi cách thực hiện A
1,
A
2
Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
2
II.2. Bài tập vận dụng
II.2.1. Các bài toán sử dụng qui tắc cộng (qui tắc cộng mở rộng).
Bài 1
Giả sử bạn muốn mua một cái áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40 có 4 màu khác
nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu và cỡ áo)?
Giải
Ngƣời mua sẽ có hai phƣơng án chọn. Phƣơng án thứ nhất là chọn áo cỡ 39, do áo cỡ 39 có 5 màu nên phƣơng án
này có 5 cách chọn. Phƣơng án thứ hai là chọn áo cỡ 40, do áo cỡ 40 có 4 màu nên phƣơng án này có 4 cách chọn.
Vậy ngƣời mua áo có: 5 + 4 = 9 cách chọn mua áo.
Bài 2
Trong một trƣờng THPT, khối 12 có : 160 em học sinh tham gia câu lạc bộ Toán, 140 tham gia câu lạc bộ Tin, 50
em tham gia cả hai câu lạc bộ.
Hỏi khối 12 có bao nhiêu học sinh?
Giải
Gọi tập hợp học sinh tham gia câu lạc bộ Toán và Tin lần lƣợt là A và B.
Vậy tập hợp các em HS của lớp là A

B và tập hợp các em tham gia cả hai câu lạc bộ là A

B => |A

B| = 50.
Theo đề bài ta có |A| = 160, |B| = 140
Theo quy tắc cộng mở rộng ta có:
| A

B| = |A| + |B| - |A

B|
=> |A

B| = |A| + |B| - | A

B|
=> |A

B| = 30 + 25 - 40
=> |A

B| = 15
Vậy số HS đăng ký cả hai môn thể thao là 15 em.

Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
3
II.2.2 Các bài toán sử dụng qui tắc nhân
Bài 1
Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và bốn kiểu dây (kim loại, da, vải, nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách
chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?
Giải

abcd
, với a,b,c,d

A
a) Có 4 chữ số (không nhất thiết khác nhau)
a đƣợc chọn từ tập A mà tập A có 4 phần tử nên có 4 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a thì b đƣợc chọn từ tập A nên có 4 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a,b thì c đƣợc chọn từ tập A nên có 4 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a,b,c thì d đƣợc chọn từ tập A nên có 4 cách chọn.
Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 4.4.4.4 = 256 số
b) Có 4 chữ số khác nhau
a đƣợc chọn từ tập A mà tập A có 4 phần tử nên có 4 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a thì b đƣợc chọn từ tập A\
 
a
nên có 3 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a,b thì c đƣợc chọn từ tập A\
 
ba,
nên có 2 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a,b,c thì d đƣợc chọn từ tập A\
 
cba ,,
nên có 1 cách chọn.
Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
4
Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 4.3.2.1 = 24 số
Bài 5
Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau?


Một số có 2 chữ số hình thành từ tập A có dạng ab với a,b

A
a) a đƣợc chọn từ tập A\
 
0
có 9 phần tử nên có 9 cách chọn.
b phải là số chẵn nên b có 5 cách chọn.
Theo quy tắc nhân ta có: 9.5=45 số
b) Số chẵn và có hai chữ số khác nhau chính là các số chẵn ở câu a) trừ đi các số chẳn 2,4,6,8. Vậy ta có: 45-4 = 41
số.
c) a đƣợc chọn từ tập A\
 
0
có 9 phần tử nên có 9 cách chọn.
b phải là số lẻ nên b có 5 cách chọn.
Theo quy tắc nhân ta có: 9.5=45 số
d) Số lẻ và có hai chữ số khác nhau chính là các số lẻ ở câu c) trừ đi các số lẻ 1,3,5,7,9 Vậy ta có: 45-5 = 40 số.
II.2.3 Các bài toán sử dụng kết hợp qui tắc cộng và qui tắc nhân
Bài 1
Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100?
Giải
Gọi A=
 
6,5,4,3,2,1

Các số tự nhiên bé hơn 100 gồm có một chữ số hoặc hai chữ số.
TH1) Có 6 số tự nhiên có một chữ số.
TH2) Giả sử số tự nhiên có hai chữ số có dạng

 
a
nên có 9 cách chọn.
Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 9.9 = 81 số
TH3) Giả sử số nguyên dƣơng có 3 chữ số hình thành từ tập A có dạng
abc
với a,b,c

A.
a đƣợc chọn từ tập A\
 
0
có 9 phần tử nên có 9 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a thì b đƣợc chọn từ tập A\
 
a
nên có 9 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a,b thì c đƣợc chọn từ tập A\
 
ba,
nên có 8 cách chọn
Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 9.9.8 = 648 số.
Theo qui tắc cộng ta có: 9+81+648 = 738 số.
Bài 3
Một tổ gồm 6 HS nam và 4 HS nữ. Giáo viên chọn 3 HS để đi trực thƣ viện. Có bao nhiêu cách chọn nếu
a) Chọn HS nào cũng đƣợc?
b) Trong 3 HS đƣợc chọn có đúng một HS nữ đƣợc chọn?
c) Trong 3 HS đƣợc chọn có ít nhất một HS nữ đƣợc chọn?
Giải
a) HS1 đƣợc chọn từ 10 HS nên có 10 cách chọn.

Giải
a) Ngƣời thứ nhất có 4 cách chọn toa.
Tƣơng tự, ngƣời thứ hai, ba, tƣ cũng có bốn cách chọn toa.
Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 4.4.4.4 = 256 cách chọn.
b) Ngƣời thứ nhất có 4 cách chọn toa.
Ngƣời thứ hai có 3 cách chọn toa.
Ngƣời thứ ba có 2 cách chọn toa.
Ngƣời thứ tƣ có 1 cách chọn toa.
Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 4.3.2.1 = 24 cách chọn.
Bài 5
Biển đăng ký xe ô tô có 6 chữ số và hai chữ cái đầu tiên trong 26 chữ cái (không dùng chữ I và O). Chữ số đầu tiên
khác 0. Hỏi số ô tô đăng ký nhiều nhất là bao nhiêu
Giải
Biển đăng ký xe có:
Hai chữ cái đầu tiên trong 24 chữ cái nên ta có: 24.24 = 576 cách chọn.
Chữ số đầu tiên khác 0 nên ta có: 9 cách chọn.
Năm chữ số còn lại không nhất thiết phải khác 0 và có thể trùng nhau nên ta có: 10.10.10.10.10 = 100000 cách
chọn.
Vậy theo quy tắc nhân ta có: 576.9.100000 = 518400000 cách chọn.

HOÁN VỊ - TỔ HỢP- CHỈNH HỢP

I. Sử dụng hoán vị thực hiện bài toán đếm:
Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng hoán vị của n phần tử, chúng ta thƣờng dựa trên dấu hiệu
đặc trƣng sau:
a. Tất cả n phần tử đều có mặt.
b. Mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần.
c. Có sự phân biệt thứ tự giữa các phần tử.
d. Gọi P
n

3) Mƣời ngƣời muốn chụp ảnh chung. Họ muốn chụp nhiều ảnh khác nhau bằng cách đổi chỗ đứng lẫn nhau.
Cho rằng mỗi lần đổi chỗ và chụp ảnh mất 1 phút, hỏi cần bao lâu để có thể chụp tất cả các ảnh khác nhau?

4) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng ba chữ số này bằng 8?

5) Một dãy 5 ghế dành cho 3 nam sinh và 2 nữ sinh. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
a) họ ngồi chỗ nào cũng đƣợc.
b) nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau.
c) chỉ có nữ sinh ngồi kề nhau.

6) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau biết rằng tổng ba chữ số này bằng 12?
Một phòng khách có 3 chỗ có thể đặt tranh, ảnh hoặc tƣợng. Chủ nhà muốn trang trí bằng cách xếp đặt 4
bức tranh khác nhau vào một chỗ, 3 tấm ảnh khác nhau vào chỗ thứ hai và 2 pho tƣợng khác nhau vào chỗ
còn lại. Hỏi có bao nhiêu cách trang trí phòng khách?

7) Ta muốn mời 6 ngƣời ngồi vào một dãy 6 ghế . Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
a) Có 3 ngƣời trong bọn họ muốn ngồi kề nhau?
b) Có 2 ngƣời trong bọn họ không muốn ngồi kề nhau?
c) Có 3 ngƣời trong bọn họ không muốn ngồi kề nhau đôi một?

8) Một bàn dài có 12 ghế, mỗi bên 6 ghế. Ngƣời ta muốn xếp chỗ ngồi cho 12 ngƣời khách gồm 6 nam và 6
nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
a) họ ngồi chỗ nào cũng đƣợc ?
b) nam ngồi một bên, nữ ngồi một bên ?
c) nam nữ ngồi đối diện nhau ?
d) nam nữ ngồi xen kẽ và đối diện nhau ?

Chỉnh hợp:
9) Cho các số 0,1,2,3,4,5,6. Có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau đƣợc lấy từ các số đã cho,
sao cho:

15) Cho các số: 0,1,2,3,4,5. Có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho các số chẵn không đứng liền
nhau.

16) Một nhóm ngƣời thành lập một công ty. Họ muốn chọn một ban điều hành gồm một giám đốc,một phó
giám đốc và một thủ qũy. Có 10 ngƣời hội đủ điều kiện để đƣợc chọn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban
điều hành?

17) Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lƣu 11m. Có bao nhiêu cách chọn nếu:
a) Cả 11 cầu thủ có khả năng nhƣ nhau? ( Kể cả thủ môn)
b) Có 3 cầu thủ bị chấn thƣơng và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B đá quả số 4?

18) Một ngƣời muốn xếp đặt một số pho tƣợng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí. Có bao nhiêu
cách sắp xếp nếu:
a) Ngƣời đó có 6 pho tƣợng khác nhau?
b) Ngƣời đó có 4 pho tƣợng khác nhau?
c) Ngƣời đó có 8 pho tƣợng khác nhau?

19) Với năm số 1,2,3,4,5 có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số trong đó số 1 có mặt hai lần các số còn lại
mỗi số có mặt đúng một lần?

20) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau biết rằng:
a) các số này chia hết cho 5?
b) trong các số này phải có mặt ba chữ số 0,1,2 ?

32) Với sáu số 2,3,5,6,7,8, ta muốn thành lập những số gồm bốn chữ số khác nhau.
a) Có bao nhiêu số nhỏ hơn 5000 ?
b) Có bao nhiêu số chẵn nhỏ hơn 7000 ?

III – Tổ hợp:


28) Giáo viên hƣớng dẫn lao động muốn chia 9 học sinh ra làm 3 nhóm gồm 4, 3, và 2 học sinh. Có bao nhiêu
cách chia?
29) Cho một đa giác lồi có n đỉnh (
4n 
).
a) Tính số đƣờng chéo của đa giác này;
b) Biết rằng ba đƣờng chéo không cùng đi qua một đỉnh thì không đồng quy, hãy tính số các giao điểm (
không phải là đỉnh ) của các đƣờng chéo ấy.

30) Một tổ trực gồm 8 nam sinh và 6 nữ sinh. Giáo viên trực muốn chọn một nhóm 5 học sinh. Có bao nhiêu
cách chọn nếu nhóm này phải có ít nhất một nữ sinh?

31) Giám đốc một công ty muốn chọn một nhóm 5 ngƣời vào hội đồng tƣ vấn. Trong công ty có 12 ngƣời hội
đủ điều kiện để đƣợc chọn, trong đó có hai cặp vợ chồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:
a) Hội đồng này có đúng một cặp vợ chồng?
b) Hội đồng này không thể gồm cả vợ lẫn chồng ( nếu có )?

32) Tính số đƣờng chéo của một đa giác lồi có n cạnh. Tìm đa giác có số cạnh bằng số đƣờng chéo.

33) (ĐH-B-2002) Cho đa giác đều
1 2 2
( 2, )
n
A A A n n Z
nội tiếp đƣờng tròn (O). Biết rằng số tam giác
có các đỉnh là 3 trong 2n điểm
1 2 2
, , ,
n
A A A

b) Có sự phân biệt thứ tự giữa k phần tử đƣợc chọn
c) Gọi A
n
k
là số phần tử chập k của n phần tử, ta có
( 1) ( 1)
k
n
A n n n k   
.
3 Sử dụng tổ hợp để giải bài toán đếm:
Để nhận dạng 1 bài toán đếm có sử dụng tổ hợp,chúng ta thƣờng dựa trên dấu hiệu đặc trƣng sau:
A. Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trƣớc
B. Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử đƣợc chọn

Bài tập: (Ba bài toán chọn cơ bản)
A/ Bài toán đếm số phƣơng án liên quan đến kiến thức thực tế
B/ Bài toán đếm số phƣơng án có liên quan đến hình học.
C/ Bài toán đếm số phƣơng án có liên quan đến số tự nhiên.
Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
10

BÀI TOÁN ĐẾM LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TẾ

1. < 1 > Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hoa xem nhƣ đôi
một khác nhau ), ta chọn ra một bó gồm 7 bông.
a. Có bao nhiêu cách chọn ra bó hoa trong đó có đúng một bông hồng đỏ ?
b. Có bao nhiêu cách chọn ra bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và 3 bông hồng đỏ ?
2. < 2 > ( HVKTQS –2000 ): Một lớp có 20 em h/s trong đó có 14 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu

nhiêu cách xếp 10 h/s trên thành một hàng dọc sao cho 7 h/s nam phải đứng liền nhau ?
a. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau ?
b. Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có h/s cùng giới đứng cạnh nhau ?
11. < 11 > > (ĐHHHHCM– 99- 2000): Có bao nhiêu cách xếp 5 h/s A, B, C, D, E vào một cái ghế dài
sao cho:
a. Bạn C ngồi chính giữa ?
b. Hai bạn A, E ngồi ở 2 đầu ghế ?
12. < 12 > (ĐHHuế – 2000): Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Ngƣời ta
chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không đủ cả 3 mầu ?

Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
11
13. < 13 > (HVQY – 99- 2000): Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi xanh giống nhau vào một
dãy 7 ô trống.
a.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau?
b.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau sao cho 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 bi xanh xếp
cạnh nhau?
14. < 14 > (ĐHCần Thơ D - 99 - 00): Một nhóm h/s gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn trong mõi trƣờng hợp sau:
a. Có 3 h/s trong nhóm ?
b. Có 3 h/s trong nhóm trong đó có 2 nam và 1 nữ ?
15. < 15 > (ĐHCần Thơ A - 99 - 00): Trong một phòng có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Ngƣời ta
muốn xếp chỗ ngồi cho 10 h/s gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp nếu:
a. Các h/s ngồi tuỳ ý ?
b. Các h/s nam ngồi 1 bàn và các h/s nữ ngồi 1 bàn ?
16. < 16 > (ĐHluật HN - 99 - 00): Một đoàn tầu có 3 toa chở khách: toa I, toa II, toa III. Trên sân ga
có 4 hành khách chuẩn bị đi tầu. Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi:
a. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 hành khách lên 3 toa tầuđó ?
b.Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 hành khách lên tầu để có 1 toa có 3 trong 4 hành khách trên

Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
12
25. < 25 > Có bao nhiêu cách chọn bốn cầu thủ khác nhau trong mƣời cầu thủ của đội bóng quần vợt
để chơi bốn trận đấu đơn, các trận đấu là có thứ tự ?
26. < 26 > (ĐHQG TPHCM – KA - 2000) Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó
có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và
đem tặng 6 em học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.
a. Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các em học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể loại văn
học và âm nhạc. Hỏi tất cả có bao nhiêu cách chọn sách để tặng?
b.Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong 3 loại văn học, âm nhạc, hội
hoạ đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi tất cả có bao nhiêu cách chọn?
27. < 27 > Một lớp học có 40 h/s gồm 25 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách lập ban cán sự lớp gồm:
a. 3 học sinh
b. 3 học sinh gồm 1 nam và 2 nữ
c. 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam.
28. < 28 > (ĐH, CĐ 2005): Một đội thanh niên tình nguyện có 15 ngƣời, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi
tỉnh có 4 nam và 1 nữ ?
29. < 29 > (Đề thi CĐ 2005 – Khối D)
Một bó hồng gồm 10 bông hồng bạch và 10 bông hồng nhung. Bạn Hoa muốn chọn ra 5 bông để
cắm bình, trong đó phải có ít nhất 2 bông hồng bạch và 2 bông hồng nhung. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn?
30. < 30 > (ĐH 2004 – KB) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi
khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập đƣợc bao nhiêu đề kiểm tra,
mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó,
trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2 ?
Lời giải
1. < 20 > Ta thấy có 33 cách lập trƣờng thi và ứng với mỗi cách chọn trƣờng đó, có 4
cách chọn khối để thi.
Do đó, có tất cả: 33. 4 =132 cách lập hồ sơ.


Ta sẽ tính
6 7 8
,,P P P
:
- Tính
6
P
:
Số xâu dài 6 ký tự là chữ in hoa hoặc chữ số là:
6
36
. Vì mỗi vị trí có 36 cách chọn.
Số xâu dài 6 ký tự là chữ in hoa và không chứa chữ số nào là:
6
26
.Vậy:

66
6
36 26P

- Tƣơng tự:

77
7
36 26P

12
665280A 

+ Số cách chọn sao cho không còn sách văn:
51
67
. 5040AA

+ Số cách chọn sao cho không còn sách nhạc:
42
68
. 20160AA

+ Số cách chọn sao cho không còn sách hội hoạ:
33
69
. 60480AA

+ Số cách chọn cần tìm là: 665280 – 85680 = 579600
8. < 27 > Ban cán sự lớp gồm 3 ngƣời trong lớp không có sự sắp xếp
a. Mỗi một ban cán sự 3 ngƣời là một tập con 3 phần tử của tập hợp 40 học sinh của lớp. Vậy
có:

3
40
9880C
cách lập ban cán sự lớp 3 ngƣời.
b. Có
1
25

Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
14
nguyện về tỉnh thứ 2. Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ 1 và tỉnh thứ
2 thì có
14
14
.CC
cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ 3.
Số cách phân công các thanh niên tình nguyện về 3 tỉnh thoả mãn yêu cầu bài toán là:

1 4 1 4 1 4
3 12 2 8 1 4
. . . . . 207900C C C C C C

10. < 29 > Bạn Hoa có 2 cách chọn bông cắm bình nhƣ sau:
Cách 1: Chọn 2 bông hồng bạch và 3 bông hồng nhung
+ Số cách chọn 2 bông hồng bạch trong 10 bông:
2
10
C

+ Với mỗi cách chọn 2 bông hồng bạch lại có
3
10
C
cách chọn 3 bông hồng nhung trong 10 bông.
Vậy cách 1 có
2
10

. . 10500C C C 

- Đề có 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó, thì số cách chọn là:
3 1 1
15 10 5
. . 22750C C C 

Vì các cách chọn trên đôi một khác nhau, nên số đề kiểm tra có thể lập đƣợc là:
23625 + 10500 + 22750 = 56875

B/ Bài toán đếm số phương án có liên quan đến hình học.

1. < 1 > Cho 7 điểm trên mặt phẳng sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng
a. Có bao nhiêu đƣờng thẳng mà mỗi đƣờng thẳng đi qua 2 trong 7 điểm nói trên?
b. Có bao nhiêu tam giác với các đỉnh là 3 trong 7 điểm nói trên ?
2. < 2 > Tìm số giao điểm tối đa của :
a. 10 đƣờng thẳng phân biệt?
b. 6 đƣờng tròn phân biệt?
c. 10 đƣờng thẳng và 6 đƣờng tròn trên?
3. < 3 > a. Có bao nhiêu đƣờng chéo trong một đa giác lồi n cạnh?
b. Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác n cạnh? Trong đó có bao nhiêu tam
giác có cạnh không phải là cạnh của đa giác n cạnh ?
4. < 4 > (ĐH, CĐ Khối B – 2003)
Cho đa giác đều

1 2 2
( 2, )
n
A A A n n Z
nội tiếp đƣờng tròn (O). Biết rằng số tam giác có đỉnh

3 đỉnh của nó lấy từ các đỉnh của (H).
1. Có tất cả bao nhiêu tam giác nhƣ vậy ? Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của
(H) ?
2. Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của (H) ?
3. Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của (H) ?
9. < 9 > Cho 2 đƣờng thẳng song song.Trên đƣờng thứ nhất có 10 điểm. Trên đƣờng thứ hai có 20
điểm. Có bao nhiêu tam giác tạo bởi các điểm đã cho ?
10. < 10 > (ĐHCĐ - B - 2002):Cho đa giác đều
1 2 2

n
A A A
(
2n 
, n nguyên ) nội tiếp đƣờng tròn
( 0). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm
1 2 2
, , ,
n
A A A
nhiều gấp 20 lần số
hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm
1 2 2
, , ,
n
A A A
, tìm n.
11.
Lời giải:
1. < 1 > a. Mỗi cặp điểm không kể thứ tự, trong 7 điểm đã cho xác định một đƣờng thẳng và ngƣợc

6
2. 2.15 30C
điểm.
c. Một đƣờng thẳng cắt một đƣờng tròn tối đa tại 2 điểm. Do đó số giao điểm tối đa của 10 đƣờng
thẳng phân biệt với 6 đƣờng tròn phân biệt bằng:
10.6.2
=120 điểm
Khi đó, số các giao điểm bằng: 45 + 30 +120 = 195 điểm
3. < 3 > a. Ta có: * Mỗi đa giác lồi n cạnh thì có n đỉnh.
*Mỗi đoạn thẳng nối 2 đỉnh bất kỳ, không kể thứ tự, thì hoặc là 1 cạnh, hoặc là một
đƣờng chéo của đa giác đó.
Vậy số đƣờng chéo của đa giác n cạnh bằng:

2
n
Cn

b. Số tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác n cạnh là số tổ hợp n chập 3:
 



3
! ( 1)( 2)
3! 3 ! 6
n
n n n n
C
n



Vậy, số tam giác có cạnh không phải là đa giác là:


       
     
2
3 1 1
3
( 2)( 1) ( 2)( 1) 6 ( 3) ( 9 20)
. ( 3)
6 6 6
n n n
n n n n n n n n n n n
C C C n n

4. < 4 > Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉểm
1 2 2
, , ,
n
A A A
là
3
2n
C

Gọi đƣờng chéo của đa giác đều

1 2 2
( 2, )

(2 )! ! 2 (2 1)(2 2) ( 1)
20 20 20
3! 2 3 ! 2! 2 ! 6 2
nn
n n n n n n n
CC
nn
  
     
    2 1 15 8nn
.

CÁC BÀI TOÁN ĐẾM LIÊN QUAN ĐẾN SỐ TỰ NHIÊN

Khi giải bài toán đếm liên quan đến số tự nhiên ta cần lƣu ý:
 Nắm vững qui tắc cộng nhân.
 Ta thƣờng gọi số tự nhiên cần tìm là
1 2 3

n
n a a a a
sau đó căn cứ vào đầu bài đi chọn
từng chữ số một.Số nào yêu cầu cao thì chọn trƣớc.
 Khi chọn các chữ số cần phân tích câu văn đầu bài cặn kẽ, nắm chắc bản chất của từng đối
tƣợng từ đó tìm tập xác định và các khả năng có thể.
 Cẩn thận khi có số 0.
 Phải luôn luôn nghĩ tới phần bù, nếu phần bù đơn giản hơn ta tìm phần bù trƣớc.

9. <9> (ĐHQGHCM - Đ3 – 00 – 01)
1. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ?
2. Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số
chẵn.
10. <10>( ĐHSPHN2 - Đ8):
Có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ ctrong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần các chữ
số khác có mặt một lần.
11. <11> Với các số 0, 1, 2, 3, 4, ,5 ta có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó số 1 có mặt
3 lần mỗi số khác có mặt 1 lần
12. <12> ( ĐHHuế – 00 – 01 - Đ26) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 từ các chữ số đã cho lập đợc:
1. Bao nhiêu chữ số chẵn có 4 chữ số và 4 chữ số đó khác nhau đôi một?
2. Bao nhiêu chữ số chia hết cho 5, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau đôi một.
3. Bao nhiêu chữ số chia hết cho 9, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau đôi một.
.
13. <13> Ngời ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 nh sau: Trong mỗi số đợc viết có
một chữ số xuất hiện 2 lần còn các chữ số còn lại xuất hiện 1 lần. Hỏi có bao nhiêu số nh vậy.
14. <14> Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số đợc viết bởi duy nhất 3 chữ số 1, 2, 3, trong đó chữ số
2 xuất hiện 2 lần.
15. < 15 > Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số ?
16. < 16 > Cho A = {1,3,5,6,8}.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số lấy từ các chữ số trong tập A ?
17. < 17 > Cho A = {0,1,2,3,5,7,9}.
Từ tập A có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi 1 khác nhau.
18. < 18 > Với tập E = {1,2,3,4,5,6,7} có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 5 số phân biệt và:
a. Trong đó có chữ số 7.
b. Trong đó có chữ số 7 và chữ số hàng ngàn luôn là chữ số 1.
19. <19 > Với 5 chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi 1 khác nhau:
a. Không bắt đầu từ chữ số 1
b. Không bắt đầu từ 123.
Chuyen đề tổ hợp- xác suất.

b. Có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số lẻ.
c. Có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi 1 khác nhau.
d. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi 1 khác nhau và chia hết cho 5
e. Có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi 1 khác nhau sao cho chữ số đứng cuối
chia hết cho 4.
30. < 31 > Với 4 chữ số 1,2,3,4 có thể lập đƣợc bao nhiêu số có các chữ số phân biệt.
31. < 32 > Với 5 chữ số 1,2,3,4 ,5 có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và là
a. Số lẻ.
b. Số chẵn.
32. < 33 > Từ 7 chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đƣợc bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau.
(ĐHAN - 97 )
33. < 34 >Từ 6 chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau trong đó có
bao nhiêu số chia hết cho 5.
34. < 35 > Từ 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,7,8 có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và
không chia hết cho 5.
35. < 36 > Từ 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và số đó
không chia hết cho 10.

Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
19
Lời giải
<1> Cách 1: Đặt E = {1,2,5,7,8 }.
Gọi số tự nhiên gồm 3 chữ số là
n
321
aaa
(
0
1

,a
3
}

a
2
có 3 cách chọn
Vậy: có 2.3.4 = 24 cách chọn hay có 24 số.
Cách 2: a. Do
n
chẵn nên a
3


{2,8}

a
3
có 2 cách chọn
a
1
, a
2
là 1 bộ phận biết thứ tự đƣợc chen từ E\{a
3
} do đó nó là một chỉnh hợp chập 2

2
4
A



E \ {a
1
,a
2
}

a
3
có 3 cách chọn


có 1.4.3 = 12 cách chọn .
Trƣờng hợp 2: nếu a
1
= 2 thì a
2


E\{2,8}

a
2
có 3 cách chọn
a
3


E \ {a

a
3


{2,8}

a
3
có 2 cách chọn
a
2


E \ {a
1
,a
3
}

a
2
có 3 cách chọn


có 1.2.3 = 6 cách chọn .
Trƣờng hợp 2: nếu a
1
= 2

a

là có 9 số thoả mãn ycbt.
< 15 > Các số tự nhiên là: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Gọi số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là :
321
aaa
(
0
1
a
)
Do a
1


{1,2,3,4,5,6,7,8,9} nên a
1
có 9 cách chọn.
Do a
2


{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} nên a
2
có 10 cách chọn.
Do a
3


{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} nên a
3

0
1
a
)
Do a
1
khác 0 nên a
1
có 6 cách chọn.
Sau khi chọn a
1
còn 6 số tự nhiên nên a
2
có 6 cách chọn.
Tƣơng tự, a
3
có 5 cách chọn.
a
4
có 4 cách chọn.
Vậy: có 6.6.5.4 = 720 cách chọn hay có 720 số thoả mãn ycbt.
<18> Gọi số cần tìm là
54321
aaaaa
(
0
1
a
)
Giả sử a

4
, a
5
.
Vậy có
4
6
5.A
= 1800 cách chọn hay có 1800 số thoả mãn ycbt.
b. Gọi số cần tìm là
54321
aaaaa
(
0
1
a
)
Do chữ số hàng nghìn bằng 1 nên a
2
= 1
Chọn 1 vị trí trong 4 vị trí còn lại là chữ số 7 nên có 4 cách chọn.
Ba vị trí còn lại là bộ phận phân biệt thứ tự đƣợc chọn từ E \ {1,7} nên có
3
5
A
cách chọn.
Vậy: số các số gồm 5 chữ số phân biệt hình thành từ tập E trong đó có chữ số 7 và chữ số hàng ngàn luôn
là chữ số 1 bằng 1.4.
3
5

cách chọn ( vì a

E \ {1})
b có 3 cách chọn ( vì b

E \ {1, a})
c có 2 cách chọn ( vì c

E \ {1, a, b})
d có 1 cách chọn ( vì d

E \ {1, a, b, c})
suy ra có: 4.3.2.1 số bắt đàu từ chữ số 1 .
Vậy:số các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, không bắt đầu bằng chữ số 1 là: 120 - 24 = 96 số.
b. Gọi số tự nhiên gồm 5 chữ số bắt đầu bằng chữ số 123 là:
xy123
gồm 5 chữ số khác nhau.
x có 2 cách chọn ( vì x

E \ {1,2,3})
y có 1 cách chọn ( vì y

E \ {1,2,3,x})


có 2.1 = 2 số.
Vậy: các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, không bắt đầu bằng chữ số123 gồm có 120 - 2 = 118 số.
< 20 >
Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014

x x x
ex
n
     

3) Giải phƣơng trình:
 
 
   
   
! 1 ! 3 ! 6 1 !
.
2 ! 2 ! 1 !
x x x x
x x x
    

   

4) Chứng minh rằng :
 
2
!.
n
nn

5) Với n là số lẻ, n

3, x


7) CMR:
 
1.1! 2.2! . ! 1 ! 1.nn n     

8) CMR:
1
. ( 1) ( , )
nm
nC m C m n Z
m n m n

  


9) CMR:
22
( 2, )
1
C C n n n Z
n
n

   


10) CMR:
-
. . ( , , , , )
-
r k k r k

23
1
1
2. 3
1 2 -1 -1
2
p
n
C C C C
nn
n n n n
C p n
n
pn
C C C
C
n n n
n

      

14) CMR:
, 2 n N n  
ta có
 
1
1 1 1

2 2 2
23

(0 )
-1 -1
k k k
C C C k n
n
nn
   

18) CMR:
2
. ( ) 0 )(1)
2
2 2 -
n n n
C C C k n
n
n k n k
  


19) CMR:
1

11
k k k
A A kA
n
nn




k
m
C
k
m
C
k
n
C
k
n
C
k
n
C
k
n
C

Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
22
22) CMR:
1 2 3
33
3
k k k k k
C C C C C
n n n n

2 (2 ,)
2
k k k k
C C C C k n
n n n
n

    


26) CMR:
. . . ( , ; , , )
r k k n k
a C C C C r n k r n r k Z
n r n
rk

   
 + + +
1
. ( )
1
1 2 1
. ( )
1 2 1
n
r

C C C C C C C C C
n n n n
n
r r r r
C C C C
n
n n r
k k k k k k
C C C C C C
n n n n n
n
k k k k k
C C C C C
n n n n
n
  
    

  
   
  
   
    

  
   
111

    


28) CMR:
1000
(0 k 2000)
2001 2001 2001 2001
1 1001k k
C C C C    

( ĐHQGHN – A –99- 00 )
29) CMR:
100 100
22
50
10 2 10 2
100
C

30)
 
12
2
2 2 .
k k k k
n n n n
C C C C k n


    

4
4. 6. 4. .
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
   

    GIẢI PHƢƠNG TRÌNH CÓ GIAI THỪA
33) Tìm số nguyên dƣơng n thỏa mãn các điều kiện:
a)
3
20
n
An
; b)
54
2
18
nn
AA


; c)
21
3.
nn
AA

nn
n
A A P



xCA
x
xx
14
23



xxCCC
xxx
14966
2321


33
86
5
x
xx
CA





x x y
x
AP
P





 
31
11
14 1 ;
x
xx
A C x


  

 
2
2 2 3 1
12
. 4 .
x x x
C A x A




A
P
C





c)
21
11
2000.
xx
xx
CC



d)
xAA
xx
215
23


e)
10
6
2
1

nn
n n n
C C A



i)

36) Giải bất phƣơng trình sau: ( ĐHBK – 2000- 2001 ):

2 2 3
2
16
10
2
x x x
A A C
x
  
ĐS:
3; 4xx

37) Giải hệ phƣơng trình:
2:5:6::
11
1



y

12
35
y
x
y
x
y
x
y
x
CC
CC

2 5 90
5 2 80
yy
xx
yy
xx
AC
AC







.
k k k m k m k
m n m n m n m n m n
C C C C C C C C C
  

    43) Chứng minh rằng:
   
0 1 2
1 1 0.
kn
kn
n n n n n
C C C C C        

44) a) Chứng minh:
1
0 1 2
22
. . .
1
n
n
n
n n n n
C C C C
n

b) Chứng minh:
     
2 2 2
01
2
.
nn
n n n n
C C C C   

46) Tìm x để trong khai triển:
6
1
12
lg 1x
xx





có số hạng thứ 4 bằng 200.
Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
24
47) Trong khai triển
17
3
4
3

x
P A A x A x A x    

Tính
7
A
=?.

50) Khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức
 
9
23
1 xx
. Ta đƣợc một đa thức:
22
0 1 2

x
P A A x A x   
. Tính
7
.A51) (ĐH-A-2004) Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển của biểu thức:
 
8

.Tìm số hạng chứa
2
x
của khai triển đó.
54) (ĐH-A-2003) Tìm hệ số của số hạng chứa
8
x
trong khai triển nhị thức Newton của:
5
3
1
n
x
x




, biết
rằng:
1
43
7( 3)
nn
nn
C C n


  
( n là số nguyên dƣơng, x > 0 ).

7
4
1
n
x
x




, biết
rằng:
1 2 3 20
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1.
n
n n n n
C C C C
   
     
( n là số nguyên dƣơng, x > 0 ).

57) Trong khai triển:
21
3
3
ab
ba



và các hệ số
0 1, ,
,
n
a a a
thỏa mãn hệ thức:
1
0
4096
22
n
n
a
a
a    
. Tìm số lớn nhất trong các số:
01
, , , .
n
a a a61) (ĐH-A-2002) Cho khai triển nhị thức:
1
1
1 1 1 1
0 1 1
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2

62) (ĐH-A-2005) Tìm số nguyên dƣơng n sao cho:
 
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2 3.2 4.2 2 1 .2 2005.
nn
n n n n n
C C C C n C

    
      63) (ĐH-B-2003) Cho n là số nguyên dƣơng. Tính tổng:
2 3 1
0 1 2
2 1 2 1 2 1
.
2 3 1
n
n
n n n n
C C C C
n

  
   

   
( n là số nguyên dƣơng ).

<1> CMR:
1919
20
17
20
5
20
3
20
1
20
2  CCCCC
( CĐSP bến tre –A- 02 – 03 )
Hd: khai triển: ( 1+ x)
20
cho x =1, x = -1
<2> CMR:
144332211
3 2.4.2.3.2.2.2


nn
nn
n
n
n
n

17
161
17
0
17
17
74 3.4.3.4.3  CCCC
Hd: Khai triển: ( 3x + 4)
17
,
cho x =1
<5> CMR:
0 1 2 2 3 3
6 6 6 6 7
n n n
n n n n n
C C C C C     
Hd: Khai triển: ( 1 + x)
n
, cho x =6
<6> CMR:
       
 
n
n
n
n
nnnn
CCCCC
2


22110

<8> CMR:
       
n
n
n
nnnn
CCCCC
2
22
2
2
1
2
0


<9> Tính I =
1
2
0
(1 ) ( )
n
x x dx n N


3. Bài tập tƣơng tự
< 1 > Cho n  Z

n n n n

       
( ĐHBK- A- 99-2000
)
< 3 > 1/ Tính I =
)(
1
0
19
)1( Nndxxx 



2/ Rút gọn
0 1 2 19
19 19 19 19
1 1 1 1

2 3 4 21
S C C C C    
( ĐHNN- I- 99 –
00)