LỜI NÓI ĐẦU
Thực hiến kế hoạch kế hoạch bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên theo
Thông tư số 26/2012/TT-BGDĐT ngày 10/7/2012 của Bộ Giáo dục và Đào tạo
và nhằm giúp cán bộ, giáo viên giảng dạy môn Toán (THCS) củng cố kiến thức,
phương pháp giảng dạy bộ môn Toán. Chúng tôi biên soạn tài liệu nhằm phục
vụ, bổ trợ kiến thức cho giáo viên. Nội dung tài liệu, gồm 4 chuyên đề (thời
lượng 30 tiết), cụ thể như sau:
+ Xây dựng hệ thống câu hỏi gợi mở cho học sinh thông qua dạy học
giải bài tập.
+ Dạy học phương trình ở trường trung học cơ sở.
+ Dạy học hình học ở trường trung học cơ sở.
+ Lựa chọn hệ thống bài tập cho tiết luyện tập.
Trong quá trình biên soạn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, rất
mong sự đóng góp, bổ sung của các thầy, cô giáo và đồng nghiệp. Xin chân
thành cảm ơn!
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH

1
XÂY DỰNG HỆ THỐNG CÂU HỎI GỢI MỞ CHO HỌC SINH
THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP
Hồ Quyết Thắng – THCS Phan Huy Chú - Thạch Hà
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Dạy toán là dạy các hoạt động toán học cho học sinh (HS) trong đó giải
toán là hình thức chủ yếu. Thông qua hoạt động giải bài tập, HS mới cớ cơ hội
để thể hiện năng lực tiếp thu bài học của mình, có cơ hội để phát triển tư duy và
hình thành những kỉ năng cần thiết. Tuy vậy trên thực tế không phải HS nào
củng có thể hiểu bài sau mỗi tiết dạy của giáo viên (GV). Các em có hiểu được
bài hay không phần lớn chính do sự hướng dẫn của mỗi GV, trong từng hoạt
động dạy học, chúng ta cần dẫn dắt HS bằng những hệ thống câu hỏi được xây
dựng một cách có hệ thống và phù hợp với đối tượng HS mình đang dạy. Mỗi
GV khi đặt ra một câu hỏi cho HS trước hết phải nắm vững năng lực của từng

D K E 180+ + =
hay

µ
D
+ 60
0
+ 40
0
= 180
0

µ
D
= 180
0
- (60
0
+ 40
0
) = 80
0
.
Từ đó y = 180
0
- 80
0
= 100
0



· ·
0 0 0
y DEK EKD 60 40 100= + = + =
GV: Em nào có thể tính được số đo x ?
HS: vì
0 0 0
x 40 180 x 140+ = =Þ
Bây giờ ta hãy nêu hệ thống câu hỏi để hướng dẫn HS lớp 8 giải bài toán sau:
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD, gọi E và F lần lượt là trung điểm của AD
và BC. Chứng minh rằng: a) BE = DF
b) Các đường thẳng AC, BD và EF đồng quy.
(SGK Toán 8 tập1)

*Hệ thống câu hỏi gợi mở cho câu a)
3
O
C
A
B
D
E
F
y
x
60
°
40
°
E

GV: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Hãy chứng minh O củng thuộc EF.
HS: Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD.
Lại có BEDF là hình bình hành nên EF củng đi qua trung điểm của BD suy ra
AC, BD, EF đồng quy tại O
* Lời giải: a) Vì ABCD là hình bình hành nên ta có AD = BC và AD//BC hay
BF//DE. Lại có E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC nên DE = BF.
Vậy tứ giác BEDF là hình bình hành
⇒
BE = DF
4
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, do ABCD là hình bình hành suy ra O là
trung điểm của BD và AC. Lại có tứ giác BEDF là hình bình hành nên đường
chéo EF cũng phải cắt BD tại trung điểm O của BD. Suy ra AC, BD và EF đồng
quy tại O
* Nhận xét: Trong bài toán trên để chứng tỏ BE = DF ta hướng dẫn HS theo
hai cách, thông thường là sử dụng tam giác bằng nhau, mục đích là thông qua
việc chứng minh tam giác ABE và CDF bằng nhau HS được vận dụng các tính
chất của hình bình hành, việc chứng tỏ tứ giác BEDF là hình bình hành để suy
ra BE = DF nhằm cung cấp thêm cho các em có thêm một công cụ mới đơn giản
để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
Đối với HS đại trà thì việc tìm ra lời giải cho câu b) không phải là dễ, nếu
như các em chưa có thói quen nhận biết, phát hiện các đoạn thẳng AC, BD và
EF chính là các đường chéo của hình bình hành ABCD và BEDF. Đó chính là
một trong những thói quen và kỉ năng hết sức quan trọng mà GV cần hình thành
cho HS thông qua giải mỗi bài tập.
Sau khi giải xong bài toán này thì GV có thể đưa ra nhận xét: “ Hai bình
hành khác nhau có chung một đường chéo thì các đường chéo của hai hình
bình hành đó đồng quy ”
Ví dụ 3: Cho ∆ ABC (A > 90
0

2
1
AC.
GV: Từ các mối quan hệ vừa nêu ở trên ta có gì ?
HS: MN // BC; HN = MP =
2
1
AC. Nên MNPH là hình thang cân
*Lời giải: Ta có MN là đường trung bình của ∆ABC nên MN // BC
Þ
MNPH
là hình thang
Vì MP là đường trung bình của ∆ABC nên MP =
2
1
AC.
HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC của tam giác vuông AHC.
nên HN =
2
1
AC. Vậy HN = MP
⇒
hình thang MNPH là hình thang cân.
*Nhận xét: Thông qua việc nhận biết vai trò của các đoạn thẳng MN, MP, NH
trong bài toán. Một lần nữa HS được nhắc lại các kiến thức cơ bản, khái niệm
về đường trung bình trong tam giác và tính chất về đường trung bình trong tam
giác, tính chất về đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của một tam giác
vuông. Nếu quá trình đó được lặp lại sau mỗi bài toán thì HS vừa rèn luyện
được tư duy vừa có cơ hội ôn tập lại các kiến thức đã được học.
Ví dụ 4: Hãy nêu hệ thống câu hỏi để hướng dẫn HS lớp 8 giải bài toán sau:

HS: Ta có AD + DB = BC; AE + EB = CE + EB > BC
GV: Từ đó hãy so sánh AD + DB với AE + EB
HS: Suy ra AD + DB > AE + EB
*Lời giải: Vì A đối xứng với C qua d, D thuộc d nên AD đối xứng với CD qua
d
Þ
AD = CD, tương tự ta có AE = CE
Nên AD + DB = BD + CD = BC (1); AE + EB = CE + EB
Vì B, E, C không thẳng hàng nên CE + BE > BC. Suy ra AE + BE > BC (2)
Từ (1) và (2) ta có AD + DB < AE + BE
*Nhận xét: Đối với mỗi bài tập sẽ có nhiều lời giải khác nhau, việc chọn lời
giải phù hợp với đối tượng HS đang dạy và nhằm khắc sâu kiến thức cơ bản là
hết sức quan trọng. Qua ví dụ trên ta thấy, để có AD = CD; AE = CE ta đã sử
dụng tính chất “ nếu hai đoạn thẳng đối xứng với nhau qua đường thẳng d thì
chúng bằng nhau” sử dụng tính chất này sẽ phù hợp với đối tượng HS lớp 8 và
khắc sâu kiến thức trọng tâm về đối xứng trục, GV không nên hướng dẫn HS sử
dụng tính chất về đường trung trực của đoạn thẳng để trình bày lời giải.
Bây giờ ta sẽ hướng dẫn HS giải bài tập nâng cao hơn một tí qua ví dụ sau:
Ví dụ 5: Cho ∆ ABC nhọn. Các đường cao AA
1
, BB
1
, CC
1
cắt nhau tại H.
Chứng minh:
1 1 1
1 1 1
HA HB HC
1

tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số diện tích của hai tam giác đó".
GV: Tỉ số
1
1
HA
AA
bằng tỉ số diện tích của hai tam giác nào ?
7
HS:
1 HBC
1 ABC
HA S
AA S
=
. Tương tự ta có
1 HAC
1 ABC
HB S
BB S
=
,
1 HAB
1 ABC
HC S
CC S
=
*Lời giải: Vì
1
1
HA

BB
+
1
1
HC
CC
=
HBC HAC HAB ABC
ABC ABC
S S S S
1
A S
+ +
= =
*Nhận xét: Thông thường sau khi tiếp cận đề bài yêu cầu chứng minh
1 1 1
1 1 1
HA HB HC
1
AA BB CC
+ + =
thì HS có suy nghĩ là sẽ biến đổi
1
1
HA
AA
+
1
1
HB

AP QR^
b) AP cắt CR tại I. Chứng minh tam giác CPI là tam giác cân.
(SGK Toán 9 Tập 2)
*Hệ thống câu hỏi gợi mở cho câu a)
GV: Để chứng minh AP vuông góc với QR ta có thể
đưa về chứng minh góc nào vuông ?
HS: Cần chứng minh góc PKR vuông
GV: Góc PKR liên hệ đến đường tròn như thế nào ?
HS: Góc PKR là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn
và được tính theo công thức

·
»
»
»
»
»
sñAQ sñPR sñAQ sñRB sñBP
PKR
2 2
+ + +
= =
8
K
I
A
B
C
P
Q

·
»
»
sñBP sñBR
PCI
2
+
=
(2)
Theo giả thiết ta có:
»
¼
»
»
AR RB; CP BP;= =
(3)
Từ (1) (2) (3) suy ra:
·
PIC =
·
PCI
*Lời giải : a) Gọi K là giao điểm của AP và RQ. Góc PKR là góc có đỉnh ở
bên trong đường tròn nên:
·
»
»
»
»
»
sñAQ sñPR sñAQ sñRB sñBP

·
»
»
sñBP sñBR
PCI
2
+
=
(2)
Theo giả thiết ta có:
»
¼
»
»
AR RB; CP BP;= =
(3)
Từ (1) (2) (3) suy ra:
·
PIC =
·
PCI
hay tam giác PIC cân
Ví dụ 7: Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung AC, CD, DB sao cho
»
»
»
0
sñAC sñCD sñDB 60 .= = =
Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Hai
tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại T. Chứng minh rằng:

0
sñBAC sñBDC 240 120
BTC 60
2 2
− −
= = =
Suy ra
·
AEB =
·
BTC
* Hệ thống câu hỏi cho câu b)
GV: Thông thường để chứng tỏ CD là phân giác của góc BTC ta làm như thế
nào ?
HS: Ta chứng minh
·
TCD =
·
BCD
GV: Các góc TCD và BCD liên hệ với đường tròn như thế nào ? Hãy tính số đo
các góc ấy.( GV có thể chia câu hỏi ra cho 2 HS )
HS: Góc TCD là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên

·
»
0
1
TCD sñCD 30
2
= =

0
sñBAC sñBDC 240 120
BTC 60
2 2
− −
= = =
Suy ra
·
AEB =
·
BTC
10
E
T
A
C
D
B
b) Góc TCD là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên

·
»
0
1
TCD sñCD 30
2
= =
Góc TBD là góc nội tiếp nên
·
»

GV: Khi chia 195 nam và 117 nữ thành các tổ sao cho số nam và số nữ ở mỗi tổ
đều nhau thì số tổ được chia phải là ước của các số nào ?
HS: Số tổ được chia là ước của 195 và 117 nên là ước chung của 195 và 117.
GV: Vậy gọi a là số tổ có thể chia nhiều nhất thì a phải thỏa mãn những điều
kiện nào ? Từ đó tìm a.
HS:
195 aM
,
117 aM
và a lớn nhất. Do đó a là ƯCLN(195, 117)
Ta có 195 = 3.5.13 và 117 = 3
2
.13 ruy ra ƯCLN(195, 117) = 3.13 = 39
Vậy a = 39
11
* Hệ thống câu hỏi gợi mở cho câu b)
GV: Tổng số học sinh khối 6 là bao nhiêu ? Trong trường hợp chia ra thành 39
tổ thì mỗi tổ có bao nhiêu học sinh ?
HS: Tổng số HS khối 6 là: 195 + 117 = 312 (học sinh)
Số học sinh mỗi tổ là: 312 : 39 = 8 (học sinh)
GV: Khi đó mỗi tổ có bao nhiêu học sinh nam và bao nhiêu học sinh nữ ?
HS: Số học sinh nam ở mỗi tổ là: 195 : 39 = 5 (học sinh)
Số học sinh nữ ở mỗi tổ là: 117 : 39 = 3 (học sinh)
*Lời giải: a) Gọi a là số tổ có thể chia nhiều nhất thì

195 aM
,
117 aM
và a lớn nhất. Do đó a là ƯCLN(195, 117)
Ta có 195 = 3.5.13 và 117 = 3

GV: Số bài loại trung bình và loại yếu chiếm bao nhiêu phần tổng số bài ?
HS: Số bài loại trung bình và loại yếu chiếm
9 1
1
10 10
− =
(tổng số bài)
GV:
1
10
của tổng số bài tương ứng với 12 bài. Vậy tất cả có bao nhiêu bài kiểm
tra ?
12
HS: Có tất cả 12 :
1
10
= 102 (bài kiểm tra)
*Lời giải: Số bài loại giỏi và số bài loại khá chiếm

1 2 9
2 5 10
+ =
( Tổng số bài )
Số bài trung bình và yếu chiếm

9 1
1
10 10
- =
( Tổng số bài )

HS: Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

x y z x y 2
12
1 1 1 1 1 1
2 3 4 2 3 6
−
= = = = =
−
13
Từ đó
x =
1
.12 6
2
=
;
1 1
y .12 4; z .12 3
3 4
= = = =
*Lời giải: Gọi số máy của đội I, đội II, đội III lần lượt là x, y, z.
Ta có x – y = 2.
Cùng một công việc thì số máy tỉ lệ nghịch với số ngày hoàn thành công việc
nên ta có:
4x = 6y = 8z suy ra 2x = 3y = 4z hay
x y z
1 1 1
2 3 4
= =

HS: Thể tích và khối lượng của hai thanh chì
GV: Với cùng một chất thì thể tích và khối lượng là hai đại lượng quan hệ với
nhau như thế nào ?
HS: Với cùng một chất thì thể tích và khối lượng là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
GV: Vậy nếu gọi m
1 ,
m
2
lần lượt là khối lượng của hai thanh chì, ta có các đẳng
thức nào ?
HS:
1 2
m m
12 17
=
và
1 2
m m 5 6,5- =
GV: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm m
1 ,
m
2

HS:
1 2 2 1
m m m m
56,5
11,3
12 17 17 12 5
-

-
Vậy m
1
= 12 . 11,3 = 135,6 và m
2
= 17.11,3 = 192,1
Kết luận: Trên đây là một số ví dụ về xây dựng hệ thống câu hỏi dẫn dắt
HS tìm tòi lời giải cho một số bài toán hình học và đại số. Thực tế dạy học
không phải diễn ra như một kịch bản được viết trước, do đó đòi hỏi mỗi GV cần
phải linh hoạt, chủ động trong việc xử lý các tình huống trả lời của từng em, đặt
câu hỏi như thế nào cho sát năng lực của từng học sinh, xử lí thế nào trước các
tình huống trả lời của HS, xử lí trước các câu trả lời sai hay trả lời ngoài suy ngĩ
của mình, đó còn là cả một nghệ thuật sư phạm không dễ bắt chước. Hy vọng
rằng qua những ví dụ cụ thể ở trên phần nào giúp được các đồng chí trong quá
trình dạy học đặc biệt là dạy đối tượng học sinh đại trà, học sinh yếu kém, góp
phần cụ thể hóa việc đổi mới dạy học tích cực hiện nay. Suy cho cùng, tất cả
các hoạt động dạy toán học đều phụ thuộc rất lớn vào hệ thống câu hỏi dẫn dắt
của mỗi GV, chúc các đồng chí thành công.
15