KIẾN THỨC TỐN ƠN THI TN THPTQG- ĐẠI
HỌC ĐẦY ĐỦ
NHỚ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬT NHẤT
Ax = B
• A ≠ 0 : phương trình có nghiệm duy nhất
A
B
x =
• A = 0 và B ≠ 0 : phương trình vô nghiệm
• A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm
Ax > B
• A > 0 :
A
B
x >
• A < 0 :
A
B
x <
• A = 0 và B ≥ 0 : vô nghiệm
• A = 0 và B < 0 : vô số nghiệm
NHỚ 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT HAI ẨN SỐ
1/. Dạng :



=+
=+
///
cybxa




=
=
D
D
y
y
D
D
x
x
∗ D = 0 và D
x
≠ 0
Hệ vô nghiệm
D = 0 và D
y
≠ 0
∗ D = D
x
= D
y
= 0 : Hệ vô số nghiệm hay vô nghiệm tùy
thuộc a, b, c, a
/
, b
/
, c

∆−−
=
∆ = 0 Nghiệm kép
a
b
xx
2
21
−==
∆ < 0 Vô nghiệm
∗ ∆
/
= b
/ 2
– ac
∆
/
> 0
a
b
x
//
1
∆+−
=
,
a
b
x
//

−
NHỚ 4 : DẤU NHỊ THỨC
f(x) = ax + b ( a ≠ 0)
x
– ∞
a
b
−

+∞
f(x) Trái dấu a 0 cùng
dấu a
Trang 2
NHỚ 5 : DẤU TAM THỨC
f(x) = ax
2
+ bx + c ( a ≠ 0) ( Nhớ : TRONG TRÁI
NGOÀI CÙNG)
Nếu Thì



>
<∆
0
0
a




b
2
−
∆ > 0
x – ∞ x
1
x
2

+∞
f(x) cùng 0 trái 0
cùng
dấu a
NHỚ 6 : SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC
HAI VỚI
CÁC SỐ
Cho: f(x) = ax
2
+ bx + c ( a ≠ 0) và α, β là hai số thực
1/. Muốn có x
1
< α < x
2
ta phải có af(x) < 0
2/. Muốn có x
2
> x
1
> αta phải có


>
>∆
0
2
0)(
0
α
α
S
af
Trang 3
4/. Muốn có x
1
< α < β < x
2
ta phải có



<
<
0)(
0)(
β
α
af
af
5/. Muốn có x
1
< α < x

1
< x
2
<β ta phải có









<<
>
>
>∆
βα
β
α
2
0)(
0)(
0
S
af
af
 Chú ý:
1/. Muốn có x
1


<
>
>∆
0
0
0
S
P
NHỚ 7 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
1/.



=
≥
⇔=
K
K
BA
B
BA
2
2
0
2/.



≥≥











>
≥



≥
<
⇔>
K
K
BA
B
A
B
BA
2
2
0
0
0

⇔=
0
0
B
BA
B
BA
BA

2/.



−=
=
⇔=
BA
BA
BA
Chú ý:











2/.













≥
−<



≥
>
<
⇔>
0
0
0
B
BA
B
BA


<<
>>
⇔>
0,
0,
cbcac
cbcac
ba
e)
dbca
dc
ba
+>+⇒



>
>
f)
bdac
dc
ba
>⇒



>>
>>
0

n
n
aaaa
n
aaaa321
321
≥
++++
hay
n
n
n
n
aaaa
aaaa






++++
≤321
321

2
1
22
2
2
1
2
2211 nnnn
bbbaaabababa ++++++≤+++
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a
i
= k.b
i
, i = 1 , 2 , 3, , n
5/. BĐT BecnuLi :
Cho : a > –1, n ∈ N Ta có : (1 + a)
n
≥ 1 + na
Đẳng thức xảy ra



=
=
⇔
1
0
n
a
6/. BĐT tam giác :

xCot
2
2
1
1 =+
Điều kiện tồn tại :
• Tanx là x ≠ π/ 2 + kπ , k ∈ Z
• Cotx là x ≠ kπ , k ∈ Z
• Sinx là – 1 ≤ Sinx ≤ 1
• Cosx là – 1 ≤ Cosx ≤ 1
Chú ý :
• a
2
+ b
2
= ( a + b)
2
– 2ab
• a
3
+ b
3
= ( a + b)
3
– 3ab( a + b)
B. CÔNG THỨC CỘNG ( 8 công thức )
7/.
SinaSinbCosaCosbbaCos −=+ )(
8/.
SinaSinbCosaCosbbaCos +=− )(

1
)(
14/.
CotbCota
CotaCotb
baCot
−
+
=−
1
)(
Trang 7
C.CÔNG THỨC NHÂN
I. NHÂN ĐÔI : ( 3 công thức)
15/.
SinaCosaaSin 22
=
16/.
aSinaCosaSinaCosaCos
2222
21122 −=−=−=
17/.
aTan
Tana
aTan
2
1
2
2
−

=
⇒
aSinaCos
2
221 =−
22/.
2
21
2
aCos
aCos
+
=
⇒
aCosaCos
2
221 =+
23/.
4
33
3
aSinSina
aSin
−
=
24/.
4
33
3
aCosCosa

1
2
t
t
Tanx
−
=
D.TỔNG THÀNH TÍCH : ( 8 công thức)
28/.
22
2
ba
Cos
ba
CosCosbCosa
−+
=+
29/.
22
2
ba
Sin
ba
SinCosbCosa
−+
−=−
30/.
22
2
ba

CotbCota
)( +
=+
35/.
SinaSinb
baSin
CotbCota
)( −−
=−
E. TÍCH THÀNH TỔNG : ( 3 công thức)
36/.
( )
[ ]
)(
2
1
baCosbaCosCosaCosb ++−=
37/.
[ ]
)()(
2
1
baCosbaCosSinaSinb +−−=
38/.
[ ]
)()(
2
1
baSinbaSinSinaCosb ++−=
F. CUNG LIÊN KẾT :

α
; Cos(
π
/2 –
α
)
= Sin
α
Khác
π
Tan
Tan(
π
+
α
) = Tan
α
; Cot(
π
+
α
)
= Cot
α

Sai kém
π
/ 2
Sin(
π

π
2kvu
+±=⇔
Tanu = Tanv
π
kvu
+=⇔
Cotu = Cotv
π
kvu
+=⇔
Sinu = 0
π
ku
=⇔
Sinu = 1
ππ
22/ ku +=⇔
Sinu = –1
ππ
22/ ku +−=⇔
Cosu = 0
ππ
ku
+=⇔
2/
Cosu = 1
π
2ku =⇔
Cosu = – 1

)(
ba
c
xSin
+
=+
α
(*)
(*) Có nghiệm khi
1
22
≤
+ ba
c
222
cba ≥+⇔
(*) Vô nghiệm khi
222
cba <+⇔
Cách 2:
• Kiểm chứng x = (2k + 1)π có phải là nghiệm của
phương trình hay không?
• Xét x ≠ (2k + 1)π Đặt :
2
x
Tant =
Thế
2
2
2

(đặt
1, ≤= tCosxt
)
0
2
=++ cbTanxxaTan
( đặt
π
π
kxTanxt +≠=
2
,
)
0
2
=++ cbCotxxaCot
( đặt
π
kxCotxt ≠= ,
)
2/. Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx
Dạng:
0
22
=++ xcCosbSinxCosxxaSin
(1)
0
3223
=+++ xdCosxcSinxCosxCosxbSinxaSin
(2)

=+
−
+⇔ c
t
bat
t⇒
( nếu có)
x⇒
Chú ý: Dạng a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)
giải tương tự :
Đặt :
2),
4
(2 ≤−=−= txSinCosxSinxt
π
0
2
1
(*)
2
=+
−
+⇔ c
t
bat
⇒ t ? ( nếu có) ⇒ x ?
D.PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT :
1/. Tổng bình phương :
• A
2

3/.





+=+
≤
≤
klBA
kB
lA




=
=
⇔
kB
lA
4/.
1,1 ≤≤ BA




=
=
⇔=

=
Hàm số Sin
•
R
SinC
c
SinB
b
SinA
a
2===
•
R
a
SinARSinAa
2
,2 ==
Hàm số Tan
•
ba
ba
BA
Tan
BA
Tan
+
−
=
+
−

chbhahS
2
1
2
1
2
1
===
•
abSinCacSinBbcSinAS
2
1
2
1
2
1
===
•
prS =
•
R
abc
S
4
=
•
))()(( cpbpappS −−−=
Chú ý:
•
2

====
• a, b, c : cạnh tam giác
• A, B, C: góc tam giác
• h
a
: Đường cao tương ứng với cạnh a
• m
a
: Đường trung tuyến vẽ từ A
• R, r : Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam
giác.
•
2
cba
p
++
=
Nữa chu vi tam giác.
Hệ thức lượng tam giác vuông:
•
ACABBCAH
CHBHAH

.
2
=
=
•
BCBHAB .
2

( tam giác
ABC không vuông)
4/.
2
.
2
.
2222
C
Cot
B
Cot
A
Cot
C
Cot
B
Cot
A
Cot =++
5/.
1
2
.
22
.
22
.
2
=++

22
C
Sin
BA
Cos =
+
;
22
C
Cot
BA
Tan =
+
9/.
8
33
≤SinCSinBSinA
Trang 13
222
111
ACABAH
+=
10/.
8
1
≤CosCCosBCosA
11/.
8
33
2

≥++ CCosBCosACos
14/.
9
4
222
≤++ CSinBSinASin
15/.
9
222
≥++ CTanBTanATan
16/.
1
2224
3
222
<++≤
C
Sin
B
Sin
A
Sin
17/.
4
9
222
2
222
≤++<
C

222 ≤++ CSinBSinASin

21/.
2
3
222 −≥++ CCosBCosACos
NHỚ 16 : HÀM SỐ LIÊN TỤC
Đònh nghóa 1: Hàm số
)(xfy =
gọi là liên tục tại điểm x = a
nếu :
1/.
)(xf
xác đònh tại điểm x = a
2/.
)()(lim afxf
ax
=
→
Đònh nghóa 2:
)(xf
liên tục tại điểm x = a
)()(lim)(lim afxfxf
axax
==⇔
−+
→→
Đònh lý : Nếu
)(xf
liên tục trên [a, b] và

xx
>⇔<
Chú ý :
)10(
21
21
≠<=⇔< axxaa
xx
3/. Đồ thò :
(a> 1) y ( 0 < a < 1)
y

1
1
0 x
0 x
NHỚ 18 : HÀM SỐ LOGARIT
1/. Đònh nghóa :
a) Cho
0,1,0 >≠> Naa

Logarit cơ số a của N là số mũ M sao cho : a
M

= N
Ký hiệu : log
a

a
a = 1
TC4 : log
a
(MN) = log
a
M + log
a
N
TC5 :
NM
N
M
aaa
logloglog −=
Trang 15
TC6 : Đổi cơ số
a
b
a
N
N
b
a
c
c
a
log
1
log;

→←
>
)()(
0)(
(*)
1
xgxf
xf
a




>
>
 →←
<<
)()(
0)(
(*)
10
xgxf
xg
a

NHỚ 19 : ĐẠO HÀM
I/. Đònh nghóa đạo hàm :
Cho hàm số y = f(x) , xác đònh trên ( a, b) , x
0


0
'
∗ Đạo hàm bên trái :
x
y
xf
x
∆
∆
=
−
→∆
−
0
0
'
lim)(
( tồn tại )
∗ Đạo hàm bên phải :
x
y
xf
x
∆
∆
=
+
→∆
+
0


''''
)( cbacbacbaabc ++=
3/.
2
''
'
b
abba
b
a −
=






( b
≠
0)

)(.)(
''
Rcuccu ∈=

2
'
'
1

α
xy
'1'
uuy
−
=
α
α
4
x
y
1
=
xy =
uy =
2
'
1
x
y −=
x
y
2
1
'
=
u
u
y
2

=
uCos
u
y
2
'
'
=
Trang 17
Tanuy =
8
Cotxy =
Cotuy =
xSin
y
2
'
1
−=
uSin
u
y
2
'
'
−=
9
arcSinxy =
2
'

1
1
x
y
+
−=
13
x
ay =
u
ay =
Lnaay
x
=
'
Lnaauy
u

''
=
14
u
ey =
u
ey =
x
ey =
'
u
euy

17
xy
a
log=
xLna
y
1
'
=
NHỚ 20 : ĐỊNH LÝ LAGRĂNG
Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên khoảng
(a, b) thì tồn tại ít nhất một điểm x = c , c
∈
(a, b)
f(b) – f(a) = f
‘
(c)(b – a)
NHỚ 21 : BẢNG TÍCH PHÂN
1/. Công thức NewTon _ Leibnitz :
Trang 18
[ ]
∫
−==
b
a
b
a
aFbFxFdxxf )()()()(
với F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a, b}
2/. Tích phân từng phần :


≤
t
≤

β

a =
ϕ
(
α
), b =
ϕ
(
β
), f[
ϕ
(t)] là hàm số liên tục trên [
α
,
β
]
4/. Tính chất :
a)
∫ ∫
−=
b
a
a
b

b
a
b
a
RKdxxfKdxxKf ,)()(
f) Nếu m ≤ f(x) ≤ M thì
)()()( abMdxxfabm
b
a
−≤≤−
∫
5/. Bảng tích phân :
TT Công thức
1
)1(
1
1
−≠+
+
=
+
∫
α
α
α
α
c
x
dxx
2

αα
c
x
dx
x
Trang 19
4
∫
≠+
+−
−=
+
−
)1(
))(1(
1
)(
1
α
α
αα
c
baxabax
dx
5
∫
+= cxLn
x
dx
6

11
∫
+−= cCosxSinxdx
12
∫
++−=+ cbaxCos
a
dxbaxSin )(
1
)(
13
∫
+= cSinxCosxdx
14
∫
++=+ cbaxSin
a
dxbaxCos )(
1
)(
15
∫
+= cTanx
xCos
dx
2
16
∫
+−= cCotx
xSin

c
ax
ax
Ln
a
ax
dx
2
1
22
20
∫
+
−
+
=
−
c
xa
xa
Ln
a
xa
dx
2
1
22
21
∫
>+=

x
dxxa
24
chxxLn
h
hx
x
dxhx +++++=+
∫
222
22
NHÔÙ 22 : HOAÙN VÒ _ TOÅ HÔÏP _ CHÆNH HÔÏP
Trang 20
1/. Hoán vò :
!nP
n
=
2/. Tổ hợp :
)!(!
!
KnK
n
C
K
n
−
=

Kn
n

=+++
3/. Chỉnh hợp :
)0(
)!(
!
nK
Kn
n
A
K
n
≤≤
−
=
NHỚ 23 : SỐ PHỨC
1/. Phép tính :
∗ Cho z = a + bi
z’ = a’ + b’i
z
±
z’ = ( a
±
a’) + ( b
±
b’)i
z.z’ = (a.a’ – b.b’) + ( a.b’ + a’.b)i
∗ z = r.(Cos
α
+ i.Sin
α

+=+
3/. Căn bậc n của số phức z = r.( Cos
α
+ i.Sin
α
) :
)
2
.
2
(
n
K
Sini
n
K
CosrZ
n
K
παπα
+
+
+
=
với K = 0, 1, 2, , n – 1
Trang 21
NHỚ 24 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT
PHẲNG
A.VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :
•



+
=
+
=
2
2
BA
BA
yy
y
xx
x
4). Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ 1 :







−
−
=
−
−
=
k
yky

ba
ba
2).
),(
2211
bababa ±±=±
→→
3).
),(.
21
mamaam =
→
4).
2211
bababa +=
→→
5).
2
2
2
1
aaa +=
→
6).
0
2211
=+⇔⊥
→→
bababa
7).

+=
tayy
taxx
20
10
Vectơ chỉ phương
),(
21
aaa =
→
Trang 22
2/. Phương trình tổng quát : Ax + By + C = 0 ( A
2
+ B
2

≠
0)
• Pháp vectơ
),( BAn =
→

y

• Vectơ chỉ phương
),( ABa −=
→
( hay
),( ABa −=
→

) có hệ số góc
K :
)(
00
xxKyy −=−
5/. Phương trình đường thẳng qua A(x
A
, y
A
) và B(x
B
, y
B
) :
(x – x
A
)(y
B
– y
A
) = (y – y
A
)(x
B
– x
A
)
hay
AB
A




=
→
),(),,(
00
baayxM
* Quy ước :
0
0
0
00
=−⇔
−
=
−
xx
b
yyxx
0
0
0
00
=−⇔
−
=
−
yy
yy

C
1
= 0
d
2
: A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
2
1
2
1
B
B
A
A
D =
2
1
2
1
B
B
C
C
D

0
0
//
21
x
D
D
dd
hay



≠
=
0
0
y
D
D
*
0
21
===⇔≡
yx
DDDdd
Chú ý : A
2
, B
2
, C

A
A
dd ≠=⇔
2
1
2
1
2
1
21
C
C
B
B
A
A
dd ==⇔≡
11/. Góc của hai đường thẳng d
1
và d
2
:
Xác đònh bởi công thức :
2
2
2
2
2
1
2

++
±=
+
++
* Chú ý :
Dấu của
→→
21
nn
Phương trình đường
phân giác góc nhọn
tạo bởi d
1
, d
2
Phương trình đường
phân giác góc tù tạo
bởi d
1
, d
2
– t
1
= t
2
t
1
= – t
2
+ t

2
( Dạng 1)
x
0
x + y
0
y – a(x
0
+ x) – b(y
0
+ y) + c = 0 ( Dạng 2)
D.ELIP
PT chính
tắc
Lý thuyết
2 2
2 2
2 2
1
( )
x y
a b
a b
+ =
>
2 2
2 2
2 2
1
( )

2
( 0, c)
Đỉnh
A
1,2
( ± a, 0)
B
1,2
(0, ± b)
A
1,2
( ± a, 0)
B
1,2
(0, ± b)
Tâm sai
c
e
a
=
c
e
b
=
Đường chuẩn
a
x
e
= ±
b

2 2
1
x x y y
a b
+ =
Pt hình chữ
nhật cơ sở
x a
y b
= ±


= ±

x a
y b
= ±


= ±

Điều kiện tiếp
xúc với Ax +
By + C = 0
A
2
a
2
+ B
2