S GD&T THANH HểA
TRNG THPT THNG XUN 3 THI TH K THI QUC GIA NM 2015
Mụn thi:

TON
Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian giao

Cõu 1: (2,0 im)
Cho hm s:
3 2
y x 3x mx 1

(1)
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
m 0

.
2. Tỡm m hm s cú cc i, cc tiu. Gi
( )

l ng thng i qua hai im cc i, cc
tiu. Tỡm giỏ tr ln nht ca khong cỏch t im
1 11
I ;
2 4

a
,
BD

2
a
, khong cỏch
t im O n mt phng ( SAB ) bng
3
4
a
. Tớnh th tớch khi chúp ABCDS. theo
a
.
Cõu 6: (2,0 im)
1. Trong mt phng vi h ta Oxy , cho tam giỏc ABC cú nh A(3; -4). Phng
trỡnh ng trung trc cnh BC, ng trung tuyn xut phỏt t C ln lt l 01



yx
v 093



yx . Tỡm ta cỏc nh
B
, C ca tam giỏc ABC.
2. Trong mt phng vi h ta Oxy , cho ng trũn (C ) cú phng
trỡnh 0842

x x mx m m









Cõu 8: (1,0 im)
Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca biu thc
5 4 1
5 4 2 1 6
a a
P
a a




trong ú a l tham s thc v
5
1
4
a

.
Ht
( Thớ sinh khụng s dng ti liu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Cho hàm số:
3 2
y x 3x 1
  
(1)
2,0 1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
3 2
y x 3x 1
  

1,0


x



0 2



y

+ 0 - 0 + y
1





-3
CT
x 2, y y(2) 3
   
0,25
* Đồ thị:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;1), cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
Ta có
y 6x 6; y 0 x 1
 
    

y


đổi dấu khi x qua x = 1.
Đồ thị nhận điểm uốn I (1;-1) làm tâm đối xứng.
f(x)=x^3-3x^2 +1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4

I

2
Ta cú
2
y 3x 6x m

Gi s hm s cú cc i, cc tiu ti cỏc im




1 1 2 2
x ; y , x ;y
.
Vỡ
1 2
y (x ) 0;y (x ) 0 nờn phng trỡnh ng thng



qua hai im cc i, cc tiu
l:
2m m
y 2 x 1
3 3

hay

m
y 2x 1 2x 1


. K


IH

ta thy

5
d I; IH IA
4

.

0,25
ng thc xy ra khi

2m 1 4
IA 2 m 1
3 k 3

(TM).
Vy

5
max d I;
4

xx
2
2
sin
cos
)cos1(322cos3


x
x
xx
2
2
cos
1
cos
)cos1(322cos3
02coscos6
cos
1
cos3
2cos3
2
2


xx
x
x
x

2
1
cos
kx
kx
x
x
(Tha cỏc K)
Cõu 3
Gii bt phng trỡnh sau:
4
2log ( 3)
x

+ 3)1(log
2
x
k: x > 3
0.25
Khi ú phng trỡnh tng ng log
2
(x-3)(x-1)

3

(x-3)(x-1)


cách
0,25

Gọi A là biến cố: Chọn đợc 5 học sinh trong đó có ít nhất một em nữ
Suy ra
A
là biến cố: Chọn đợc 5 học sinh trong đó không có hs nữ nào
Ta có số kết quả thuận lợi cho
A
là
5
20
C0,25

5
20
5
35
C
P A
C

0,25

 
 
5

aBDACS
ABCD
 .Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO =
3
a
; BO = a , do đó
0
60ABD

tam giác ABD đều.
Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có
DH AB

và DH =
3
a
; OK // DH và
1 3
2 2
a
OK DH   OK  AB  AB 
(SOK)
Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI  SK; AB  OI  OI  (SAB) , hay OI là
khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB)
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao 
2 2 2
1 1 1


0,25 đ 0,5 đ

0,25 đ

C6 1. (1 điểm)

Gäi C = (c; 3c - 9) vµ M lµ trung ®iÓm cña BC




m = 2

M(2; -1)
Ph¬ng tr×nh BC: x – y - 3=0

Täa ®é cña C lµ nghiÖm cña hÖ:





03
093
yx
yx







0
3
y
x

Täa ®é cña C = (3; 0), toạ độ B(1; -2)


A

B

K
H

C

O

I

D

3a
aGọi M là điểm nằm trên (C), ta có
),(
.
2
1


MABM
dABS
Trong đó AB không đổi nên

1,1
yx
yx


P(1; -1); Q(-3; 5)
Ta có
13
4
),(

P
d ;
13
22
),(

Q
d

Ta thấy
),( M
d lớn nhất khi và chỉ khi M trùng với Q. Vậy tọa độ điểm M (-3; 5). 0,25 đ


 

. Với
2
x
 
, (1) tương đương với
2
2
2
2 2 2
2
1
2 4
2
5 0 4. 5 0
2 2 2 2
5
2
x
x x x x
x
x
x x x x
x
x



 

là một nghiệm của PT:
4 2 2
8 16 16 32 16 0
x x mx m m
     
(2)
Khi đó PT:
4 2 2
0 0 0
8 16 16 32 16 0
x x mx m m
     
phải có nghiệm m
Suy ra PT:
2 4 2
0 0 0
16 16( 2) 8 16 0
m x m x x
     
phải có nghiệm m. Do đó
2 4 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
' 64( 2) 16( 8 16) 0 16 ( 2)( 2 8) 0 0 2
x x x x x x x x
               

Như vậy nếu (2) có nghiệm thì nghiệm lớn nhất là 2 và nghiệm nhỏ nhất là 0. 1

2 2
4 9; , 0
A B A B
  

Do đó tồn tại
0; : 3sin ; 2 3cos
2
x A x B x

 
  
 
 
. Khi đó:
0, 5
3
3sin cos
2sin cos
2
2 6 3sin 3cos 6 2sin 2 cos 4
x x
A B x x
P
A B x x x x

 

x x
 
 
 
với mọi
0;
2
x

 

 
 
.
Suy ra hàm f(x) đồng biến trên đoạn
0;
2
x

 

 
 
. Do đó:
0;
0;
2 2
1 1
min ( ) (0) ; max ( )
6 2 3

a

; Vậy
1
max
3
P

, khi
1
a
 
.

0,5
Chú ý
: Có thể xét trực tiếp hàm số theo biến
a
:
5 4 1
( )
5 4 2 1 6
a a
f a
a a
  

   
,
5