SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016
MÔN THI: TOÁN
(Dành cho thí sinh thi chuyên Toán, Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (1,5 điểm).
Cho phương trình :
2
2 1 0x mx− − =
(với m là tham số).
a) Tìm m sao cho phương trình trên có hai nghiệm
1 2
,x x
thỏa mãn
2 2
1 2
4 0x x− =
.
b) Chứng minh với mọi m phương trình trên có nghiệm
x
thỏa mãn
1x <
.
Bài 2 (2,0 điểm).
a) Giải phương trình:
2
17 1
18 2 9.
3 3
− − + −x x x

2 2
4 2 0x y x+ − − =
. Chứng minh:

2 2
10 4 6 4 6 10x y− ≤ + ≤ +
.
Bài 5 (2,5 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Đường thẳng AO cắt
đường tròn (O) tại M (M khác A). Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt đường
tròn (O) tại N (N khác C). Gọi K là giao điểm MN với BC.
a) Chứng minh tam giác KCN cân.
b) Chứng minh OK vuông góc với BM.
c) Khi tam giác ABC cân tại A, hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M và N cắt nhau
tại P. Chứng minh ba điểm P, B, O thẳng hàng.
Bài 6 (1,0 điểm). Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB
=
3a, AC
=
4a và góc
·
BAC
=
0
60
.
Qua A kẻ AH vuông góc với BC tại H. Tính độ dài đoạn AH theo a.
Bài 7 (1,0 điểm). Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc
=
1. Chứng minh:


b)Chứng minh rằng với mọi m phương trình trên có nghiệm x thỏa mãn
1x <

Ý NỘI DUNG ĐIỂM
a)
(1.0đ)
+)
2
8∆ = +m

+)
0
∆ >
với mọi m nên pt đã cho có hai nghiệm phân biệt
0.125
0.125
+) Theo viet ta có
1 2
1 2
2
1
.
2

+ =




= −







= −




=








+ =






= −



8∆ = +m

+)
0∆ >
với mọi m nên pt đã cho có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
0.125
0.125
+) theo viet ta có
1 2
.x x
=
1
2
−
suy ra
+)
1
1 2
2
1
1
. 1
1
2
 <
= < ⇒

<

(1)
0.125
+)
2
8 1 1
(18 2 ) 9( )
3 3 3
− − + − −x x x
=
0
0.125

⇔

1 1
1
3 9
(18 8)( ) 9 0
3
1 1
3 3
− −
− + + =
− +
x
x x
x
0.25
4 1 1
( ) 18( ) 9 0

15 (1) 0.25
+) do x, y là số nguyên không âm nên từ (1) ta có

3 1 5
3 3
3 1 3
3 5
3 1 15
3 1
3 1 1
3 15
+ + =



+ + =



+ + =



+ + =



+ + =



2
1 1 4( ) 3( )
4 2 1

− + + = − + −


+ =


x y x y x y
x xy

Ý NỘI DUNG ĐIỂM
1.0
(điểm)
+) đk
( ) 0x y− ≥
(*)
+) Từ pt
2
1 1 4( ) 3( )− + + = − + −x y x y x y

2
4( ) 1 ( 3( ) 1)⇔ − − + − − − + =x y x y x y
0
0.25

[ ]
2( ) 1

0
2
1 5
3 6
− − =

= ⇒ =

⇔


= − ⇒ = −


x x
x y
x y
0.125
0.125
0.125
+) KL hệ có hai nghiệm là
1 1 5
;0 & ;
2 3 6
   
− −
 ÷  ÷
   
0.125
Bài 4 (1.0 điểm) Cho x, y thỏa mãn

0.125
0.125
0.125
0.25
0.25
Bài 5 (2.5điểm) . Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O).Đường thẳng AO cắt đường
tròn (O) tại M ( M
≠
A). Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt đường tròn (O ) tại N ( N
≠
C).
Gọi K là giao điểm MN với BC.
a) Chứng minh tam giác KCN cân.
b) Chứng minh OK vuông góc với BM.
c) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M và N cắt nhau tại P. Chứng minh ba điểm P, B, O
thẳng hàng.
Ý NỘI DUNG Điểm
a)
(0.75đ)
+) Ta có
MNC MBC∠ = ∠
(1) (cùng cung MC)
0.25
+)
∠ = ∠MBC BCN
( do cùng phụ với góc
ABC∠
) (2)
0.25
+) từ (1) & (2) ta có

( do cùng phụ với góc
∠
ABC
) (7)
0.25
+) từ (5), (6) &(7) suy ra
∠ = ∠BNM BMN
nên BM
=
BN
+)mà gt ta có ON
=
OM & PM
=
PN nên ba điểm P ,B,O nằm trên đường trung
trực đoạn MN vậy P,B,O thẳng hàng.
0.25
0.125
0.125
Bài 6 (1.0 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB
=
3a , AC
=
4a và góc
∠
BAC
=
0
60
.Qua

=
ABC
S a
BC
0.25
Bài 7(1.0 điểm) Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc
=
1 . Chứng minh rằng :

2 2 2
9 9
2( ) 2
+ + + ≥
+ +
b c a
a b c ab bc ca
.
Ý NỘI DUNG ĐIỂM
+) đặt x
=
1
a
, y
=
1
b
, z
=
1
c

y z x x y z
0.125
0.125
+) ta có
x+y+z
=
xyz(x+y+z)
=
(xy)(zx)+(yz)(yx)+(zx)(zy)
2 2 2
( ) ( ) ( )≤ + +xy yz zx
2
( )
3
+ +
⇒ + + ≤
xy yz zx
x y z
0.125
0.125
2
2
27
( )
2( )
27 9
( )
2( ) 2
9
2

4) Chấm điểm từng phần , điểm bài là tổng các điểm thành phần (không làm tròn).