Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 1 MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
42
2y x x
(C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
 
C
.
b) Tìm các giá trị của
m
để đường thẳng
ym
cắt đồ thị
 
C
tại 4 điểm phân biệt
, , ,E F M N
. Tính tổng
các hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị
 
C
tại các điểm
, , ,E F M N
.

z
thỏa mãn đẳng thức
3 2 3zi  
. Hãy tìm tập hợp điểm
M
biểu diễn cho số phức
w
, biết
w 1 3zi  
.
b) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau. Tính số phần tử của S. từ tập hợp S chọn
ngẫu nhiên một số, tính xác suất để trong 5 chữ số của nó có đúng 2 chữ số lẻ.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
4
33
:
3 1 1
y
xz
d



và mặt
phẳng
( ) :2 2 9 0x y z    
. Viết phương trình đường thẳng


S

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng
 
SBC
và đáy bằng
0
60
. Biết
2;SA a BC a
. Tính theo
a
thể tích khối chóp
.S ABC
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
SA
và
BC
.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho hình thang
ABCD
vuông tại
A
và
B
. Đường
chéo
AC



   



,xy
.
Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực
,,a b c
thỏa mãn
0; 1 0; 1 0;2 1 0a b c a b c        
. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức
1 1 2 1
a b c
P
a b c
  
  
.

HẾT
ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 1

Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 2


.
   
' 0, ; 1 0;1yx    
, suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng
 
;1 
và
 
0;1
.
+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại
0, 0
CD
xy
. Hàm số đạt cực tiểu tại
1, 1
CT
xy   
.
+ Giới hạn:
lim ; lim
xx
yy
 
   
.
+ Bảng biến thiên
x


10
1

- Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số cắt trục
Ox
tại điểm
 
 
 
2;0 , 0;0 , 2;0

+ Đồ thị hàm số cắt trục
Oy
tại điểm
 

.
Như vậy ta có
1 4 2 3
;x x x x   
. Ta có
3
' 4 4y x x
.
Suy ra tổng hệ số góc của 4 tiếp tuyến tại 4 giao điểm với đồ thị
 
C
là:
       
3 3 3 3
1 2 3 4 1 1 1 2 1 3 1 4
4 4 4 4 4 4 4 4k k k k x x x x x x x x          Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 3

   
   
3 3 3 3
1 4 2 3 1 4 2 3
4 4 4 4 0x x x x x x x x        
.
Nhận xét: Đây là dạng toán biện luận số giao điểm của một đường thẳng
 
d
với một hàm số

. Phương trình tiếp tuyến
tại
Q
là
  
'
Q Q Q
y f x x x y  
, hệ số góc tiếp tuyến là
 
'
Q
k f x
.
+ Tìm
m
để đường thẳng
ym
cắt
 
C
tại 4 điểm
, , ,E F M N
: Dựa vào dáng điệu đồ thị , đường thẳng
ym
song song với trục
Ox
nên sẽ cắt
 
C

2
0tx
, ta tìm
m
để phương trình
2
20t t m  
có 2 nghiệm
21
'0
00
0
t t S
P



   




.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Cho hàm số
 
32
1 3 1y x m x x m     
. Tìm tất cả các giá trị của

xx
  

   
 
22
sin cos 2cos sin cos sin cos 2cos 1 0x x x x x x x x       

 
sin cos 0
sin cos cos2 0
cos2 0
xx
x x x
x


   



.
+ Với
sin cos 0 tan 1
4
x x x x k

         
.
+ Với


  



-Công thức hạ bậc:
2
1 cos2 2coscc
,
2
1 cos2 2sincc

-Công thức nghiệm cơ bản của phương trình lượng giác:
.
2
sin sin ;
2
xk
x k Z
xk

   
   

    


.
cos cos 2 ;x x k k Z       


xx
xx

  

. Đáp số:
2
xk


.
Câu 3.
 
22
00
2 sin 3 2 cos
3 cos
2
sin cos sin cos
x x x x
xx
I dx dx
x x x x x x



  





.
Nhận xét: Bản chất của bài toán là tách tử của biểu thức dưới dấu tích phân theo mẫu và đạo hàm của
mẫu. Từ biểu thức dưới dấu tích phân ta khó có thể sử dụng một trong hai phương pháp đổi biến số
hoặc tích phân từng phần.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Ta có
     
 
 
 
 
. g' 'f x g x x g x
dx f x dx dx
g x g x


  
.
Tổng quát :
       
 
 
   
 
' . 'f x g x h x g x h x g x
dx f x dx dx
g x g x






. Đáp số:
1
2
I 
.

Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 5

b. Tính tích phân
 
1
1
ln
e
x
x
xe
I dx
x e x




. Đáp số:
1
ln
e

22
: 2 5 9C x y   
.
Vậy tập hợp điểm
M
là đường
     
22
: 2 5 9C x y   
.
Nhận xét: Đây là dạng toán toán tìm biếu diễn của số phức
w
theo số phức
z
thỏa mãn điều kiện nào
đó.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Mọi số phức có dạng
 
;,z a bi a b R  
.
-Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của 2 số đó bằng nhau.
- Từ số phức
z
: Thay
z a bi
vào phương trình
3 2 3zi  
. Tìm được mối quan hệ giữa phần thực
và phần ảo.

ab

.
Bài toan kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Cho số phức
z
thỏa mãn
13
1
i
z
i



. Tìm modul của số phức
w z iz
. Đáp số:
w2
.
b. Tìm số phức
z
thỏa mãn
 
13iz
là số thực và
2 5 1zi  
. Đáp số:
7 21

.CC
cách;
Xếp 5 số được chọn vào các vị trí
, , , ,m n p q r
có 5! cách.
Suy ra trường hợp 2 có
23
54
.5! 4800CC 
.
Vậy
5760 4800 10560A   
. Do đó
 
10560 220
27216 567
PA
.

Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 6

Nhận xét: Bài toán xác suất cơ bản , ta chỉ cần áp dụng công thức tính xác suất với biến cố theo dữ kiện
trong giả thiết.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Công thức tính xác suất của một biến cố
A
:
 
 
A

b. Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Hỏi phải rút ít nhất bao nhiêu thẻ để xác suất
có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn
5
6
.(Thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc khối D
2012-2013). Đáp số: Rút ít nhất 6 thẻ.
Câu 5. Gọi
A
là giao điểm của
d
và
 

, suy ra
 
–3;2;1A
. Gọi
 
;;u a b c
là một vectơ chỉ phương của

.
Ta có một vectơ pháp tuyến của
 

là
 
2; –2;1n 
.
Ta có


.
+ Với
ab
, chọn
3
1 0 : 2
1
xt
a b c y t
z

  

       




.
+ Với
5
3
b
a 
, chọn
2
31
3; 5 4 :
5 3 4

: Tham số hóa
 
;;u a b c
là một vector chỉ phương của

. Do
 
 
.0un

    
(Với
 
n

là một vector pháp tuyến của
 

). Ta tìn được mối quan hệ giữa
,,a b c
.
Chọn vector chỉ phương viết được

.

Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 7

- Lại có công thức tính góc giữa hau đường thẳng
     
'

22
:
1 3 2
y
xz
d


và mặt phẳng
 
: 2 1 0x y z    
. Viết phương trình đường thẳng đi qua
A
cắt
d
và song song với mặt
phẳng
 

.
Đáp số:
2
11
2 9 5
y
xz





; ;3 , ; ;3
5 5 5 5
6 3 8 2 3 6 3 8 2 3
; ;3 , ; ;3
5 5 5 5
BC
BC

   
   

   
   

   

   
   

   

   
   

.
Câu 6. Gọi
H
là trung điểm
AC
, suy ra

a
V AB BC SH
(đvtt).
Kẻ
Ax
song song với
BC
,
HI
cắt
Ax
tại
K
. Kẻ
IM
vuông góc với
SK
.
Ta có
   
AK SIK AK IM IM SAK    
.
Tam giác
SIK
đều, suy ra
35
4
a
IM SH
.

.
- Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp
.
1 1 1
. . . .
3 3 2
S ABC
V B h V AB BC SH  
.
- Tính khoảng cách
 
,d SA BC
: Lí thuyết tính bằng cách khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng
này tới một mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại.
Kẻ
//Ax BC
, kẻ
   
IM SK AK SIK IM SAK    
. Suy ra
 
,d SA BC IM SH
.
Lưu ý: Có thể sử dụng tỉ lệ khoảng cách.
Bài toán kết thúc
Bài tập tương tự:
a. Cho hình chóp tam giác đều
.S ABC
có cạnh đáy bằng
a

,
SA
tạo với đáy
 
ABC
một góc bằng
0
60
. Tam giác
ABC

vuông tại
B
,
0
30ACB 
.
G
là trọng tâm tam giác
ABC
, hai mặt phẳng
   
,SGB SGC
cùng
vuông góc với mặt phẳng
 
ABC
. Tính thể tích khối chóp
.S ABC
.

11
11 63 30
4 7 4 7
3
bb
b
b
b
b
b

    




      


  





.
B
và
D
ở khác phía đối với đường thẳng






.
Do đó
  
  
 
 
2
0 0;4
4 7 4 42
. 0 2 3 0 65 385 0
77
49
l
13
aA
aa
DA BA a a a a
a


   

         



là điểm cần tìm.
Nhận xét: Để giải bài toán ta sử dụng kiến thức tham số hóa điểm thuộc đường thẳng cho trước, sử
dụng khoảng cách-tỉ lệ khoảng cách tìm tọa độ các đỉnh
,,A B C
.

Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 9

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Phương pháp tham số hóa điểm theo đường thẳng cho trước: Điểm
 
: 0 ;
mx p
P d mx ny p P
n


      


.
-Khoảng cách từ điểm
 
;
MM
M x y
tới phương trình đường thẳng
 
:0mx ny p   
được xác định theo

B
. Do
 
 
;
2
;
d B AC
BE BC
DE AD
d D AC
  
(
E AC BD
), ta có điểm
B
.
-Để loại nghiệm sử dụng tính chất:
  
4 7 28 4 7 28 0
B B D D
x y x y    

B
.
-Tương tự
 
,A d DA BA
. Mặt khác ,
.0DA BA A

DE
và
2HD 
. Tìm tọa độ đỉnh
A
.
Đáp số:
 
3;0A
.
b. Trong mặt phẳng
Oxy
, cho tam giác
ABC
có
   
1; 3 , 5;1AB
. Điểm
M
thuộc đường thẳng
BC
sao cho
2MC BB
. Tìm tọa độ đỉnh
C
biết
5MA AC
và đường thẳng
BC
có hệ số góc

uv
uv  
.
Xét
 
3
t
f t t
; ta có
 
' 3 ln3 1 0;
t
f t t    
, suy ra
 
ft
đồng biến trên .
Nhận thấy
   
f u f v u v  
là nghiệm duy nhất cua phương trình.

Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 10 22
2 3 2 1u v x y y y x        
.
Thay
2

2
ba
b a ab
ab


  



.
+ Với
 
22
4 6 23 8 6
3 1 9 1 8 10 0
4 6 23 8 6
xy
b a x x x x x
xy

    
          


    

.
+ Với
 

,
 
gx
nghịch biến trên
   
D f x g x
có nghiệm duy nhất.
Ý tưởng: Từ phương trình thứ nhất tách hoặc bình phương sẽ ra phương trình khó bậc cao, khó tìm mối
quan hệ giữa
,xy
.
- Nhận thấy phương trình thứ 2 của hệ có sự tương đồng


2
23
2
3 , 2 3
xy
xy


với
 
2
3 ,2
y
y



đồng biến trên
   
R f u f v u v   
. Thay lại phương trình thứ nhất , sử
dụng hai ẩn phụ
 
2
1
,0
1
ax
ab
b x x





  


thu được phương trình đẳng cấp bậc 2.
Lần lượt giải 2 phương trình vô tỉ cơ bản ứng với 2 trường hợp kiểm tra điều kiện ta thu được nghiệm
của hệ.
Lưu ý: Từ phương trình
 
   
 
22
2 1 3 1 7 1 1x x x x x x       

6
2
3
7 2 1 2x x x    
. Đáp số:
7, 1xx  
.

Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 11

Câu 9.
1 1 1 1 5 1 1 1
11
1 1 2 1 1 1 2 4 2 2 1 1 4 2
a b c
P
a b c a b c a b c

            

        


5 4 1 5 4 1
2 2 4 2 2 2 4 2
P
a b c c c
   
     
   

' ; ' 0 0
2 4 2 2 4 2
cc
f c f c c
c c c c

     
   
.
c

1
2

0 2
 
'fc
0 +
 
fc
5
2

Vậy


   

  

. Sử dụng bất đẳng thức cơ bản
 
2
2
2
xy
y
x
m n m n



suy ra
5 4 1
2 2 4 2
P
cc

  



. Tới đây hàm số đã rõ.
- Khảo sát hàm số
 

.
Bài tập tương tự:
a. Cho
,,a b c
là 3 số dương thỏa mãn điều kiện
1abc 
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
        
3 3 3
1 1 1 1 1 1
a b c
P
b c c a a b
  
     
. Đáp số:
3
4
MinP 
.
b. Cho
, , : 1a b c ab bc ca  
. Chứng minh rằng
2 2 2
3
2
1 1 1
a b c
a b c
  