Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 1 MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1: (2 điểm)
Cho hàm số
22
1
x
y
x



có đồ thị
()C
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2. Tìm
m
để đường thẳng
:2d y x m
cắt đồ thị
 
C
tại 2 điểm phân biệt
,AB
sao cho
5AB 

i




Câu 5: (1 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ
O xyz
, cho mặt phẳng
 
: 2 2 1 0P x y z   
và các đường thẳng:
12
1 3 5 5
: ; :
2 1 2 3 4 2
x y z x y z
dd
   
   

. Tìm các điểm
12
,A d B d
sao cho
 
//AB P
và
AB
cách


và
2
: 3 1 0d x y  
, điểm
 
1; 2I 
. Viết phương trình đường thẳng

đi qua
I
và cắt
12
,dd
lần lượt tại
,AB
sao cho
22AB 
.
Câu 8: (1 điểm)
Giải hệ phương trình:
7 2 5
22
x y x y
x y x y

   


   

1. Tập xác định:
\ { 1}D 
.
Ta có:
2
0,
( 1)
4
y x D
x

   


Suy ra hàm số không có cực trị và hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
( ; 1)  
và
( 1; ) 

Ta có:
lim lim 2
xx
y
     

nên hàm số có tiệm cận ngang
2y 
.

11
2
Đồ thị:

2. Phương trình hoành độ giao điểm là:
 
2
22
2 2 2 0 1
1
x
x m x m x m x
x

        
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 3

Đường thẳng
d
cắt
 
C
tại 2 điểm phân biệt



Gọi tọa độ
,AB
là
   
1 1 2 2
; 2 , ; 2A x x m B x x m
.
   
22
2
1 2 1 2
5 4 5AB x x x x      
2
1 2 1 2
41x x x x   2
10
8 20 0
2
m
mm
m


tại 2
điểm
A
và
B
sao cho
22AB 
.
Đáp số:
7m 

2. Cho hàm số
2
1
x
y
x


có đồ thị
()C
. Tìm
m
để đường thẳng
:2d y m x m  
cắt đồ thị hàm số tại
hai điểm
,AB
phân biệt sao cho độ dài
AB




, vì
cos 0x Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 4

,
tan 3
3
cos 1
2
xk
k
x
x
xk












    


.
2. Giải phương trình:
2
tan tan tan 3 2x x x
.
Đáp số:
42
,
k
xk

  
.

Câu 3:
Hoành độ giao điểm của hai đường là nghiệm của phương trình:
 
   
0
1 1 0
1
xx
x
e x e x x e e
x



2 2 2
x x x
e e e
xe e d x e e


       






(đvdt)
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường:
   
;
,
y f x y g x
x a x b
  




Khi đó diện tích hình phẳng là:
   
b
a

và
2
3
x
y Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 5

Đáp số:
43
3
S


Câu 4:
Sử dụng công thức Moivre ta có:
 
 
50
50
49 49
2 cos sin
1
44
3
2 co s sin

2 co s sin
22
4 9 4 9
2 co s sin
66
i
i










24
1
co s sin
2 3 3
i






Nhận xét: Đối với các biểu thức số phức với lũy thừa bậc cao, ta thường sử dụng dạng lượng giác
của số phức cùng công thức Moivre.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
Số phức
z x yi
có dạng lượng giác
 
cos sinz r i


với
22
r x y
và góc

được xác định
như sau:
2 2 2 2
cos ; sin
xy
x y x y




Công thức Moivre:
 
cos sin cos sin
n
i n i n

z




biết
1
1



.
Đáp số: Phần thực là
1
, phần ảo là
0Câu 5:
Vì
1
Ad
nên tọa độ
A
có dạng
 
2 1; 3; 2A a a a  

Vì
2

5
4 2 3 4 1 2
, , 1 1
1
33
a
a a a a
d A P d A B P
b

     

     




Với
2
5
3
ab   
, ta có:
 
8 11
9; 2;10 , 7; ;
33
AB



: ; :
1 1 6 2 1 2
x y z x y z
dd
    
   

. Xác định tọa độ điểm
M
thuộc đường thẳng
1
d
sao cho
khoảng cách từ
M
đến đường thẳng
2
d
và khoảng cách từ
M
đến mặt phẳng
 
P
bằng nhau.
Đáp số:
 
2; 4;1M
hoặc
 
1;1; 4M 

Đáp số:
6 3 8 2 3
; ; 3
55





và
6 3 8 2 3
; ; 3
55




Câu 6:
Gọi
O
là trung điểm của
AD
.
Vì tam giác
SA D
đều và
   

,
; 0; 0
2
a
A




,
; ; 0
2
a
Ca



, và
; ; 0
2
a
Ba





Từ đó suy ra tọa độ các điểm
,,M N P
là:




,
; ; 0
2
a
B P a




nên
.0A M B P 
.

Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 7

Suy ra
AM
vuông góc với
BP
.
Lại có:
3
;;
4 2 4
a a a
NM


N M N C V N M N C N P

   
   

   



Nhận xét: Phương pháp tọa độ hóa là một phương pháp “chắc chắn” sẽ giải quyết được “tất cả” các
bài hình học phẳng cũng như hình học không gian. Tuy nhiên, để tránh những tính toán cồng kềnh,
phức tạp và xấu xí, không phải bài toán nào chúng ta cũng sử dụng phương pháp này, vì đa phần các
bài toán trong đề thi không thuận lợi cho phương pháp này. Vậy khi nào ta sẽ tọa độ hóa trong các
bài toán hình học không gian? Câu trả lời là khi tồn tại 3 đường đôi một vuông góc với nhau và
thường là không xuất hiện mặt cầu, mặt nón.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
1
,.
6
A BC D
V A B A C A D




Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có đáy
ABC

có đáy là hình thoi tâm
O
cạnh
a
,
60
o
BAD 
. Đường thẳng
SO
vuông
góc với mặt phẳng
 
ABC D
và
3
4
a
SO 
. Gọi
,EF
lần lượt là trung điểm
,B C BE
. Mặt phẳng
 


chứa
AD
và vuông góc với

3 1 3 3
b k a
IB k IA
b k a
  


  

    



Nếu
1a 
thì
14b AB  
(loại)
Nếu
1a 
thì
 
1
3 1 3 3 3 2
1
b
b a a b
a

       

Với
2t 
ta có:
3 2 2
: 1 0
20
a b a
xy
a b b
   

     

   


Với
2
5
t 
ta có:
2
32
5
: 7 9 0
2
4
5
5
ab

là số thực nào đó.
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Trong mặt phẳng
O xy
, cho hai đường thẳng
12
: 3 5 0, : 4 0d x y d x y     
và điểm
 
1;1I
. Viết
phương trình đường thẳng

đi qua
I
và cắt
12
,dd
lần lượt tại
,AB
sao cho
23IA IB
.
Đáp số:
:0xy  
hoặc
: 1 0x  

2. Trong mặt phẳng
O xy

xy






Đặt
7 ; 2 ; , 0x y u x y v u v    
.
Khi đó ta có:
22
2
22
2
22
7
38
5
5
2
72
5
uv
x
xyu
uv
xy
x y v
vu









15 7 7
2
77 5
2
u
v












(vì
,0uv
)




Đáp số:
 
 
7 7 31 11 23 41
18 8 2 23 4 1
;;
25 45 0
xy







.
2. Giải hệ phương trình:
2 2 3 5 7
3 5 2 3 1
x y x y
x y x y

    


     



2
2 2 1 6 3P z z z     



   
2 2 2 2
3 4 4 6 4 8 3 0P z P P z P P        

Phương trình có nghiệm ẩn
z
khi và chỉ khi
'
0
z


     
2
2 2 2
36
2 2 3 3 4 8 3 0 0
23
P P P P P P           

Giá trị nhỏ nhất của
P
là
36
23

hay
 
22
11 12 11 10 10 0x y x y y P     Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 10

Ta có:
2
74 2 2 12 1 7 4 5 4 4 5 49 5
0.
11 37 29 6 1 1 1 0 95 2 1 4 8
x
P y y
     
          
     
     

Giá trị lớn nhất của
P
là
495
148
, đạt được khi
11 25 27
;;
37 7 4 74
y x z  