1

Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
 
32
3 2 3y x x m x m    
(C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
 
C
khi
2m 
.
b) Tìm
m
để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị của hàm số
 
C
đã cho vuông góc với
đường thẳng
: – 2 0d x y 
.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình
 

1 2 1 3 4 1 7i z i iz i i      
.
b) Cho tập hợp
A
tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0. Hỏi có thể lấy được
bao số tự nhiên từ tập
A
mà số đó chỉ có mặt ba chữ số khác nhau.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai đường thẳng
1
3
41
:
3 1 2
y
xz
d




;
2
d
là giao tuyến của hai mặt phẳng
 
: 2 0x y z    
và

. Trên
cạnh
AB
lấy điểm
M
sao cho
2BM AM
. Biết rằng hai mặt phẳng
 
SAC
và
 
SDM
cùng vuông
góc với mặt phẳng
 
ABCD
và mặt bên
 
SAB
tạo với mặt đáy một góc
0
60
. Tính thể tích của khối
chóp
.S ABCD
theo
a
và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng
OM

3
23
4 1 2
12 10 2 2 1
x x y y
y y x

    



   


,xyR
.
Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực dương
,,xyz
bất kỳ. Chứng minh rằng
1
11
1 1 1
yy
x z x z
y z x y z x


    
  
.




.
   
' 0, ;0 2;yx    
, suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng
 
;0
và
 
2;
.
 
' 0, 0;2yx  
, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
 
0; 2
.
+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại
0; 6
CD
xy
. Hàm số đạt cực tiểu tại
2; 2
CT
xy
.
+ Giới hạn:
lim ; lim
6

2

- Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số cắt trục
Oy
tại điểm
 
0;6
.
+ Đồ thị hàm số nhận điểm uốn
 
1;4I
làm tâm đối xứng.
+ Đồ thị hàm số đi qua các điểm
   
1;2 , 3;6
.

( 5).1 1 4d m m      
.
Kết luận:
4m 
.
Nhận xét: Dạng bài toán đường thẳng tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước. Ta tìm
hệ sô góc của tiếp tuyến và hệ số góc của đường thẳng còn lại cho thỏa mãn tính chất vuông góc.

3

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
- Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm
 
,
AA
A x y
thuộc đồ thị hàm số
 
y f x
là
 
'
A
k f x
. Hai đường
thẳng có hệ số góc lần lượt là
12
,kk
vuông góc với nhau khi và chỉ khi
12

.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Cho hàm số
 
32
2 1 2y x x m x m    
. Tìm
m
để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất vuông
góc với đường thẳng
: 2 1d y x
. Đáp số:
11
6
m 
.
b. Cho hàm số
1
21
x
y
x



. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số biết tiếp tuyến vuông góc
đường thẳng
: 9 1 0xy   
. Đáp số:

xx
x
       
(do
cos 0x 
).
 
2 2 3
1
cot 5 3 1 tan 0 3tan 2 0 3tan 2tan 1 0
tan
x x x x x
x
            

 
 
2
tan 1 3tan 3tan 1 0 tan 1 ,
4
x x x x x k k

             
.
Phương trình có nghiệm:
;
4
x k k

    

cos x
ta có
2
cos 3
50
sin
cos
x
x
x
  
.
-Thay
2
2
1 cos 1
1 tan ,
sin
cos
x
x
x tanx
x
  
có phương trình theo ẩn
tanx
.
- Giải phương trình theo
tanx
thu được

  
              
.
Câu 3. Ta có
 
3
1 1 1 1
2
0 0 0 0
27 27 1 27 1
39
3 3 3
x x x
I dx x x dx dx dx
x x x
    
     
  
   

1
1
11
32
00
0
0
1 3 1 47 4 1
9 27ln 3 27ln
3 2 3 6 3 3

xt
xt

  

  

.
Suy ra
  
2 2 2
0 1 1 1 1
2 2 2
1 0 0 0 0
44
2 2 2 2 8
22
4 4 4
t t t dt
A dt dt dt dt
tt
t t t

      

  
    

1
1

1 27 27 1x x x x      
chuyển
tích phân thành 3 tích phân nhỏ.
- Tính
 
1
2
0
39xx

sử dụng công thức
1
1
n
n
x
x dx C
n




.
- Tính
1
0
27
3
dx
x 

22
dt
dt
tt



. Sử dụng khai triển dạng ln tính được
  
1
1
0
0
2
8 2ln
2
22
dt t
t
tt





.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Tính tích phân
4

ln
2 12
I 
.
Câu 4.a. Phương trình tương đương với
   
2 1 2 3 4 4 3 1 7i i z i i z i        

 
5 5 10i z i   

 
21
2
1
12
ii
i
zi
i


     


Vậy phương trình có nghiệm:
1zi  
.
Nhận xét: Bài toán giải số phức cơ bản với các phép biến đổi tương đương.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

z a bi
thay vào biểu thức để tìm
z
.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Tìm số phức
z x yi
thỏa mãn
    
23
2 3 2 1 1 35 50x i y i i      
. Đáp số:
52zi
.
b. Tìm số phức
z
thỏa mãn điều kiện
     
2
2 3 4 1 3i z z i i     
. Đáp số:
25zi
.
Câu 4.b. Số cách chọn 3 chữ số phân biệt a, b, c từ 9 chữ số thập phân khác 0 là
3
9
C
. Chọn 2 chữ số còn
lại từ 3 chữ số đó, có 2 trường hợp sau đây:

,,a b c
và số còn lại bằng 1 chữ
số khác trong 3 số đó.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Một tổ gồm 8 nam và 6 nữ. Cần lấy một nhóm 5 người trong đó có 2 nữ, hỏi có bao nhiêu cách
chọn. Đáp số: 840.

6

b. Với 6 chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt trong đó mỗi số
đều phải có mặt số 6. Đáp số: 1630.
Câu 5. Vì
 
,A B Oyz
nên
0
AB
xx
.
Do
1
Ad
nên
31
0 4 5 5 5 5
; 0; ;
3 1 2 3 3 3 3
AA
AA

.
 
11 14 11 17
1; ; ; 1;2; 1 ; 13; ;
3 3 3 3
MA MB MA MB
   

         
   

   
.
11
; 1931
26
MAB
S MA MB




(đvdt).
Nhận xét: Để tính diện tích một tam giác trong không gian 3 chiều
Oxy z
ta lập tọa độ 2 vector hai
cạnh kề nhau rồi sử dụng công thức tính diện tích. Với bài toán ta tìm các đỉnh
,,M A B
với giải
phương trình cơ bản.

,;MA MB MA MB



.
- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác
1
;
2
MAB
S MA MB



.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Trong hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
   
1; 5;0 , 3 ;3;6AB
và đường thẳng
1
1
:
2 1 2
y
xz
d






. Hãy tìm các
điểm
,BC
thuộc đường thẳng
d
sao cho tam giác
ABC
đều.
Đáp số:
6 3 8 2 3 6 3 8 2 3
; ;3 , ; ;3
5 5 5 5
6 3 8 2 3 6 3 8 2 3
; ; 3 , ; ;3
5 5 5 5
BC
BC

   
   

   
   

   

, suy ra là góc giữa hai mặt phẳng
0
60SKH 
là góc giữa hai mặt
phẳng
 
SAB
và
 
ABCD
.
Do
11
//
3 4 2
HA AM AO
AM CD AH AC
HC CD
     
.
Mà
ABD
đều,
AO
là đường cao.
Suy ra
0
3 3 1 3 3
.sin . .tan60
4 4 2 8 8

2
2
1 3 3 3

2 2 3 4 2 4
a a a a

  



.
Vậy
 
2
12
4
cos ;
13 21 273
68
a
OM SA
aa

.
Nhận xét: Yếu tố hình học lớp 11 về góc giữa hai mặt phẳng , tính chất hai mặt phẳng vuông góc với
mặt phẳng khác được khai thác triệt để trong bài toán.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Hai mặt phẳng
   

cosin
giữa hai đường thẳng
,OM SA
:Sử dụng phương pháp vector
 
.
cos ;
.
OM HA
AM SA
OM SA

.
Mặt khác
  
 
. cos ;OM SA OA AM SH HA OM SA   
.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Cho hình chóp
.S ABC
có
,2SA SB SC CA CB a AB a     
. Tính thể tích khối chóp
.S ABC
và
cosin
góc giữa hai măt phẳng
   

,ABC SC a
. Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng
 
SCB
và
 
ABC
trong trường hợp thể
tích khối chóp
3
.
93
S ABC
a
V 
. Đáp số:
 
1
, arcsin
3
SCB ABC 
.
Câu 7. Gọi
 
' 2; 1A 
là điểm đối xứng với
A
qua tâm
 
1;3I

 
S
là hai điểm
,BC
có tọa độ là
nghiệm của hệ phương trình
2 2 2
2
22
1 2 6
2 6 15 0 2 23 0
1 2 6
y
yy
x
x y x y x x
x





  



  

       


d
qua
 
;M a b
nhận
 
 
22
;0n     
làm một vector
pháp tuyến:
   
0x a y b     
.
-Tính chất song song với các trục
,Ox Oy
.
Áp dụng cho bài toán:
- Gọi
'A
là điểm đối xứng của
A
qua tâm
'IA
. Ta có
' / / , ' / / 'A C BH A B CH A BHC
là hình bình
hành. Gọi
'M BC A H M
. Vector

BC
.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:

9

a. Trong hệ trục tọa độ
Oxy
, cho hình bình hành
ABCD
có diện tích bằng 4. Biết
   
1;0 , 0; 2AB

và giao điểm của hai đường chéo là
I
thuộc đường thẳng
yx
. Tìm tọa độ đỉnh
,CD
.
Đáp số:
5 8 8 2
; , ;
3 3 3 3
CD
   
   
   

2
2
4 2 4 2x x y y      
.
Xét hàm số
 
2
4y f t t t   
trên
R
.
Ta có
 
2
2 2 2
4
' 1 ,
4 4 4
tt
t t t
f t o t
t t t


      
  
, suy ra
 
ft
là đồng biến trên ℝ.

 


33
33
1 1 1 1g x g x x x      
là nghiệm duy nhất của phương trình.
3
32
12
1 1 3 3 0
00
xy
x x x x
xy

   
      

  

.
Hệ phương trình có nghiệm:
   
1; 2 , 0;0
.
Nhận xét: Phương pháp dùng hàm đặc trưng tìm ra mối quan hệ giữa
,xy
giải hệ phương trình.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

3
2g s s s
đồng biến trên
R
.
Giải phương trình vô tỉ cơ bản ta được nghiệm của hệ.
Bài tập tương tự:
a. Giải phương trình
 
2
2 1 1x x x x x    
. Đáp số:
1 33
1;
16
xx

  
.

10

b. Giải hệ phương trình
 
 
 
2
2 2 2 2
3
4 1 4 3







. Đáp số:
 
5 5 5 5
; ; , ;
3 3 4 4
xy
   
  
   
   
.
Câu 9. Bất đẳng thức tương đương
1
11
00
1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1)
y y y x z y
x x z z x z
y y z z x x y y z z x x
  
  
         
     


   

     
     
(điều phải chứng minh).
 Nếu
yz
thì
   
11
z y z y
z z y y



và
   
11
x z x z
x x y y



.
Suy ra
           
0
1 1 1 1 1 1
z y x y y x z y
x z x z

x y x y y z y z
yz
x x y y x x z z
   
   
   
(Sử dụng phép so sánh cơ bản).
+ Nếu
yz
ta có
             
,
1 1 1 1 1 1 1
z y z y z y x y
x z x z x z
z z y y x x y y z z x x y y
   
  
    
      
. Chuyển vế ta
có
     
0
1 1 1
y x z y
xz
y y z z x x

