Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 1 MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
21
1
x
y
x



(C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Tìm hệ số góc
k
của đường thẳng d đi qua điểm
 
1;2M 
, sao cho
d
cắt
 
C
tại hai điểm phân biệt
,AB
. Gọi


.
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân
 
 
2
1
0
21
ln 1
1
x
I x dx
x




.
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Tìm tất cả các số phức
z
thỏa mãn
2 3 1z z i   
và
 
 
12z i z i  
là số thực.
b) Trong một hộp gồm có 8 viên bi xanh và 6 viên bi trắng, chọn ngẫu nhiên 5 viên bi. Tính xác suất để 5

cos
9

.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác
ABC
vuông tại
A
,
,2AB a BC a
, góc giữa
hai mặt phẳng
 
SAC
và mặt phẳng đáy bằng
0
60
, tam giác
SAB
cân tại
S
thuộc mặt phẳng vuông góc với
mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABC
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
SC

Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
 
2
1
11
21
2 4 8
x
x
xx


    
.
Câu 9 (1,0 điểm). Cho
,xy
là các số thực dương thỏa mãn
2xy
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
3
34
27 10
98
y
x
P
yx



' 0, ; 1 1;yx      
, suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng
 
;1 
và
 
1; 
.
+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.
+ Giới hạn:
lim 2; lim 2
xx
yy
 

đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là
2y 
.
11
lim ; lim
xx
yy

 
   
đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là
1x 
.
+ Bảng biến thiên
x

- Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số cắt trục
Ox
tại điểm
1
;0
2




.
+ Đồ thị hàm số cắt trục
Oy
tại điểm
 
0;1
.
+ Đồ thị hàm số giao điểm
 
1;2I 
của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
+ Đồ thị hàm số đi qua các điểm
 
3 1 3
2; 3 , ;4 , ;0 , 1;
2 2 2

2
2 1 0kx kx k   
có 2 nghiệm khác
1
.

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 3

 
2
0, 2 1 0
0
' 1 0
k k k k
k
k k k

    

  

    


.
Ta có
 
2
1
'

11
1
1
AB
B
A
kx
k
x
   

và
,
AB
xx
thỏa mãn
 
2
11kx  
.
Suy ra
   
1 1 1
22
AB
k k k k k
k k k
   
            
   

y k x x y  
.
-Bất đẳng thức
AM GM
:
, 0 2a b a b ab   
. Dấu bằng xảy ra
ab
.
Áp dụng cho bài toán:
- Phương trình đường thẳng đi qua M hệ số góc
k
là
 
12y k x  
.
- Lập phương trình hoành độ giao điểm.
d
cắt
 
C
tại hai điểm phân biệt
 
2
, 2 1 0A B f x kx kx k     

có hai nghiệm phân biệt
1x 
.
- Hệ số góc tiếp tuyến tại

).
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Cho hàm số
21
1
x
y
x



. Lập phương trình tiếp tuyến của độ thị biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ
,Ox Oy
lần lượt tại A,B thỏa mãn
4
OA
OB 
. Đáp số:
1 5 1 13
;
4 4 4 4
y x y x     
.
b. Cho hàm số
2
2
x
y
x

   
  
2
sin 1
1 sin 2sin 3 2cos 1
2 1 sin 2sin 3 2 2sin sin 1 0
1
2cos 1
sin
2
x
x x x
x x x x
x
x


  

          




Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 4

2

  
          Z
.
Nhận xét: Phương pháp sử dụng phân tích nhân tử, giải phương trình cơ bản. Để giải phương trình ta sử
dụng công thức cơ bản nhân đôi, đặt nhân tử chung. Lưu ý kiểm tra điều kiện để kết hợp nghiệm.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Sử dụng công thức góc nhân đôi
sin2 =2sin cos  
.
-Nhóm nhân tử chung , thu được phương trình bậc 2 cơ bản.
-Giải phương trình bậc 2 ẩn duy nhất
sinx
tìm đươc
x
với công thức nghiệm:
+
2
sin ;
2
xk
x k Z
xk

   
   

     

.
+

7
,2
6
x k x k

    
.
Câu 3.
 
 
11
00
ln 1
4 ln 1
1
x
I x x dx dx
x

  


.
 
1
0
4 ln 1A x x dx

.
Đặt

.
   
1
1
22
1
0
0
0
1 1 1
4 ln 1 1 4 1
2 2 2 2
xx
A x x dx x





       








.
 

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Công thức tính tích phân từng phần :
.'
b
b
a
a
I u v u vdu

.
-Công thức tính
1
1
b
b
n
n
a
a
x
x dx
n




.

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 5




.
- Tính
B
:
 
1
0
ln 1
1
x
B dx
x




. Nhận thấy
 
 
1
ln 1 '
1
x
x


nên ngầm đặt ẩn phụ
 

22
2 ln ln 3
1 ln
e
e
x x x x
I dx
xx




. Đáp số:
32
3ln2 4 2I e e   
.
Câu 4.a. Giả sử số phức
z
có dạng:
 
;,z a bi a b  

 
 
         
1 2 1 1 2 1 1 2z i z i a a b b a b a b i

             



z a bi
 
,a b R
. Số phức
z
là số thực khi và chỉ khi phần ảo của nó bằng 0.
- Thay vào đẳng thức
2 3 1 1zz   
. Sử dụng tính chất modul của số phức.
- Mặt khác ,
 
 
12z i z i  
là số thực nên phần ảo bằng 0.
- Giải hệ cơ bản
     
2 2 2
2
2 3 4 1 1
1
a b a b
ab

     





tìm được

2002
.
Gọi
A
là biến cố trong 5 viên bi được chọn có cả bi xanh và bi trắng.
Ta có
1 4 2 3 3 2 4 1
8 6 8 6 8 6 8 6
1940
A
C C C C C C C C     
.
Vậy
 
194 0 970
200 2 1 00 1
A
PA

  

.

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 6

Nhận xét: Bài toán tính xác suất ta chỉ cần sử dụng công thức tính xác suất cho biến cố
A
bất kì.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Công thức tính xác suất của biến cố A bất kì:

.
b. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ , 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên từ hộp đó. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không đủ cả 3 màu. Đáp số: 645.
Câu 5.
 

có vectơ pháp tuyến là
 
1;2; 2n


;
 

có vectơ pháp tuyến là
 
;;n A B C


.
d
đi qua
 
2; –1; 2A
và có vectơ chỉ phương là
 
1; 2; 2
d
a 
.

2
3 4 4 4 2 2 4 10 4
2
BC
B C B C B C B BC C
CB


         



.
+ Với
2BC
; chọn
1; 2 2C B A   
       
: 2 – 2 2 1 1 – 2 0 2 2 – 4 0x y z x y z         
.
+ Với
2CB
; chọn
1; 2 –2B C A   
       
: –2 – 2 1 1 2 – 2 0 –2 2 1 0x y z x y z         
.
Nhận xét: Bài toán cơ bản viết phương trình mặt phẳng
 


 
.
cos cos ;
.
nn
nn


    
với
,nn

lần lượt là vector
pháp tuyến của
   
,
.
Áp dụng cho bài toán:
- Tham số vector pháp tuyến của
   
: ; ;n A B C


,
d
đi qua điểm
A
và có vector chỉ phương là
d
a

.
Bài tập tương tự:
a. Trong hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho điểm
   
1;0;1 , 2;1;2AB
và mặ phẳng
 
: 2 3 3 0Q x y z   
. Lập
phương trình mặt phẳng
 
P
đi qua
,AB
và vuông góc với
 
Q
.
Đáp số:
 
: 2 2 0P x y z   
.
b. Trong hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
1
:1
2

AC
và bán kính
1
2
r AC
. Gọi
H
là trung điểm của
 
AB S H ABC
.
Kẻ
00
60 .tan60HM AC SM AC SMH SH HM      
.
Ta có
.2
2
BC AH a
ABC AMH HM
AC
    
.
Kẻ đường thẳng
d
đi qua
K
và song song với
SH
. Khi đó tâm

ABCD
, khi đó
 
//AB SCD
, suy ra khoảng
cách giữa
AB
và
SC
bằng khoảng cách từ
H
đến mặt phẳng
 
SCD
.
Gọi giao điểm của
HK
với
CD
là
E
, ta có
 
CD SHE
.
Kẻ
HF SE
thì
HF
là khoảng cách từ

3
4
3
VR
.
-Dựng góc giữa hai mặt phẳng
   
,SAC ABC
.
- Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp:
K
là trung điểm của
AC
thì
K
chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác
ABC
.
Kẻ đường thẳng
d
đi qua điểm
K
và song song
SH
, suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp
.S ABC
là
O
giao của

. Trên đường thẳng
d
đi qua
A
và vuông góc
với mặt phẳng
 
ABC
lấy điểm
S
sao cho mặt phẳng
 
SBC
tạo với
 
ABC
một góc bằng
0
60
. Tính
diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
.S ABC
. Đáp số:
2
10Sa
.
b. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD

và diện
tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABC
. Đáp số:
3
.
3
,
12
S ABCD
a
V 
Diện tích mặt cầu
2
.
4
3
S ABC
Sa
.
Câu 7. Chứng minh được
MN OA
, suy ra
OA
có vectơ pháp tuyến là
 
: 4 03;4 3OAn xy  
.
Tọa độ
A




(do
0
A
x 
). Vậy
 
4;3A 
.
AC
nhận
 
6; 2AK 
làm vecto chỉ phương
1
2
: 3 5 0
31
y
x
AC x y


     

.
Tọa độ
C

3 5 0 1
2; 2
4 3 10 0 2
x y x
M
x y y

    
  

   

.
BM
qua
M
và vuông góc
   
: 3 1 1 2 0 3 5 0AC BM x y x y        
.
Tọa độ
B
thỏa
2 2 2
3 5 3 5
03
54
25 10 30 0
y x y x
xx

thì
 
–1;7BA 
và
 
.4 20 08;BC BA BC   
, suy ra góc
B
nhọn.
Vậy
   
–4;3 , –3;–4AB
và
 
5;0C
.
Nhận xét: Hướng giải cho bài toán : Viết phương trình các cạnh tam giác , lấy giao phương trình các cạnh
viết được với đường tròn
 
C
suy ra tọa độ
,,A B C
.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Một đường thẳng có vô số vector pháp tuyến. Để viết được đường thẳng
 
d
ta cần tìm điểm
 
;M a b



(
0
A
x 
).
- Đường thẳng
AC
nhận
AK
làm một vecto chỉ phương nên viết được phương trình
AC
. Hoàn toàn tương
tự
C
là nghiệm của hệ
 
C AC
CC







.

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 9

, nếu
.0BA BC B
tù và
.0BA BC B
nhọn.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
Trong hệ trục tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
có hình chiếu vuông góc của
C
lên đường thẳng
AB
là điểm
 
1; 1H 
. Phân
Nhận xét: Bài toán giải phương trình với phương pháp sử dụng hai ẩn phụ. Tìm mối quan hệ giữa các ẩn
phụ giải được nghiệm của phương trình.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Nhận thấy biểu thức trong căn về phải có thể viết lại được như sau
   
22
11
1
2 1 2 2.
8 2 16
xx

x
v

  








, ta có phương trình
 
22
2u v u v  

uv
.
-Giải phương trình vô tỉ cơ bản dạng
   
   
   
2
,0f x g x
f x g x
f x g x




28
xx


.
Câu 9. Dự đoán dấu bằng xảy ra khi
 
24
;,
33
xy




. Áp dụng bất đẳng thức
–A M GM
ta có

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 10

2
3
35
3 2 3 9 1 10 21 9 2
2 3 8 2 8 2 8 9 8 8 3
y y y
x x x
P x y
y x x y

.
Vậy
13
4
MinP 
.
Nhận xét: Bài toán tím giá trị nhỏ nhất của hai biến
,xy
với điều kiện cho trước
2xy
. Ta cố gắng đánh
giá biểu thức
P
theo
xy
.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
- Tách biểu thức
2
3
35
3 2 3 9 1 10 21 9 2
2 3 8 2 8 2 8 9 8 8 3
y y y
x x x
P x y
y x x y




 
3 5 13
8 2 4
P x y   
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng trong
AM GM
xảy ra.
Bài tập tương tự:
a. Cho các số thực không âm
,xy
thỏa mãn
1xy
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
  
22
4 3 4 3 25S x y y x xy   
(Đề thi tuyển sinh đại học khối D-2009).
Đáp số:
 
25 1 1
,;
2 2 2
MaxS x y

  


.
b. Cho