Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 1 MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1 (2,0 điểm). 
4
2
5
3
22
x
yx  
(C).
a) 
 
C
.
b) Gi s
 
MC

a

a
 tip tuyn ca
 
C
ti







.
Câu 4 (1,0 điểm).
a) 
z

12
1
zi
i
z




2
3
w2
4
zz   
.
b) 
 
0 ; 1; 2 ; 3; 4 ; 5; 6A 


1
d

2
d

0
30
.
Câu 6 (1,0 điểm).
.S A B C

A B C

A

 
S A B

 
S A C

 
A B C
, cho
2B C a

 
S B C




B

C


Câu 8 (1,0 điểm). 
2
22
3 2 1
1
4 3 3 2
2
y x y y x
y x y y x x

    


    



,xy R
.
Câu 9 (1,0 điểm). Cho 
,,xyz

0 , , 1xyz







.
   
' 0 , 3 ; 0 3 ;yx     

 
3 ; 0

 
3;
.
   
' 0 , ; 3 0 ; 3yx     

 
;3  

 
0 ; 3
.
+ Cực trị: 
5
0,
2
CD


0


0


0
y

 25
2

22
   
  
   
   
.
- Vẽ đồ thị:

Câu 1.b. 
 
MC

4
2
5
;3
22
a
M a a




.

M

 
3
' 2 6

 
44
2 3 2
55
3 2 6 3
2 2 2 2
xa
x a a x a a       
 
 
2
22
2 3 6 0x a x ax a     


 
22
2 3 6 0g x x ax a    

a
.
 
 
22
2
' 3 6 0
3
1
6 6 0
aa



.
Nhận xét: 
 
MC

M

 
C


Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
- 
 
y f x

 
;
AA
A x y y

   
'
A A A
y f x x x y  
.
- 
 

a
xa
ga








.

Bài tập tương tự:
a. 
42
21y x x  

Đáp số:
2y 
.
b.   
   
32
25
1 3 2
33
y x m x m x      
 
m

s in c o s 2 c o s sin
c o s sin 2 s in
xx
x x x x
x x x





 
s in 0 l
c o s sin 2 c o s sin 2
2 s in 2 s in sin 2 2 s i n 0
2
s in sin 2 co s c o s 2 c o s
c o s
2
x
x x x x
x x x x
x x x x x
x



         




3
2;
4
x k k

    Z
.
Nhận xét: 

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-
sin co s 2 c o s s in
ta n c o t 2 ; c o t 1
c o s sin 2 sin
x x x x
x x x
x x x

    
.
-
 
co s .co s sin . sin co s , sin 2 2 sin co sa b a b a b x x x   
.
-
 
2
sin sin
2
xk


. Đáp số:
2
3
xk

   
.
b. 
c o s 2 3 c o t 2 sin 4
2
c o t 2 co s 2
x x x
xx



. Đáp số:
7
;
1 2 12
x k x k

      
.
Câu 3.
   
 
 
π

xx
dx
xx
x x x x


     



.
Nhận xét: n dn vi bin
s.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-u thi d dc
   
 
 
2
c o s 2 c o s sin c o s s in
1 s i n 2 s i n c o s
1
c o s c o s s i n
4
2
x x x x x
x x x
x x x



 
ln 5
ln 2
3
1
xx
x
ee
I d x
e




. Đáp số:
1 ln 1 6I 
.
b. 
2
4
. ln
e
e
dx
I
xx


. Đáp số:
7

2
2 2 3 0
1
1 2 0
2
x
xy
y
y



  








.
Vy
2
1 1 1 5
2 4 2 2
2 4 6
z i z i i       
.


Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 5

- t
 
,z x yi x y R  
ng thc
12
1
zi
i
z



c s phc
z
.
-T
2
3
w2
4
zz   
thay
wz 
.

Bài tập tương tự:
a. 
z

6.A
s.
  chia h
 ng hp 1:
0e 
: chn 4 s 
4
6
A

 ng hp 2:
5e 
: chn
a
n 3 s 
3
5
A

43
65
5.AA
.
Vt c
43
65
4
6
5.
0 , 3 0 6

 ng hp thun li cho bin c
A
,

t c ng hp xy ra.
Bài tập tương tự:
a.   t  s  t cho
15. Đáp số: 222 s.
b.  0,1,2,3,4,5,6. Gi
A
p h gm 2 ch s c t  y
ngng thi hai phn t ca
A
 hai s l chn.
Đáp số:
1
3
.
Câu 5. Gi s mt phng
 
P
ng:
 
2 2 2
00A x B y C z D A B C      
.
Suy ra mt phng
 
P



   
: 2 0P A x B y A B z A B     
.
Theo gi thi
 
   
0
22
2 2 2 2
1 . 1 . 1 . 2
1
sin 3 0
2
1 1 1 . 2
A B A B
A B A B
  

     

 
2 2 2 2
2 3 2 3 5 4 2 2 1 3 6 1 0 0A B A A B B A A B B        
.

Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 6

Chn
1B 

 

 t hng thng , mt phng.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Mt mt ph n.
-Mt phng
 

bng t
0A x B y C z D   
vi
2 2 2
0A B C  
.
-ng thng
 
d
t phng
 
P
:
.
s in
.
dP
dP
un
un

vi

t phc mi quan h gia
,,A B C
.
- ng thng
   
2
,dP
hp vi nhau mng
2
2
00
.
3 0 s i n 3 0
.
dP
dP
un
un

.
- Chn
,B A C
ta vic hai mt phng c

Bài tập tương tự:
a. Trong h trc t
O x y z
, cho hai mt phng
   
: 2 3 0 ; : 2 3 4 0P x z Q x y z      

z
x

  

.
Đáp số:
 
: 10 4 19 0P x y z   
.
Câu 6. 
M

BC
. 
A B C

A

 
c â n
B C A M
B C S M do S A B S A C S B C




     







    





.

00
26
. t a n 60 . t a n 6 0 . 3
2 2 2
B C a a
S A A M   
.
S
A
C
B

M

Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 7


2 2 2 3

.

 
 
2
2 2 2 2
1 1 1 6
. . . . ;
2 2 2 2 4
S B C
B C a
S S M B C S A A M B C S A B C a d A S B C


       


.
Nhận xét: 

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
- 
   
,S A C S B C

 
A B C


     

V
V V S A S B C d A S B C
S
   
.

Bài tập tương tự:
a. 
.S A B C D

A B C D

0
9 0 , , 2A B C B A D B A B C a A D a    


2S A a

SC

 
S A D

0
30

G


S A B

H

 
S C D
. Đáp số:
 
,
3
a
d H S C D 
.
Câu 7. i tip
A B C

5
;3
2
K




5
2
R A K

 
2
2
5 25

5 2 5
3
24
xy
xy

  



   




.
Gic hai nghim
1
5
x
y





m
A

5

,D C D B B C

nghim ca h
 
22
2
2
2
5 1 5
1
2 2 2
1
4
5 2 5
3
24
x y D I
x
y
x
xy

   

    
   



   

vi
 
C
.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-i ting trung trc 3 ci ti
giao c
- m
       
22
; , ;M a b N c d M N a c b d    
.
ng 
- T m
,AK
ta li ti
A B C

 
C
.
-Vi
AI
m ca h
 
D A I
DC





Bài tập tương tự:
a. Trong h trc t
O x y

A B C
i
A
ng thng
: 3 3 0B C x y  
. Bit
m
,AB
ni ti 

A B C
.
Đáp số:
   
   
 
2 3 3 ; 0 , 2 3 3 ; 6 2 3
, 1; 0
2 3 1; 0 , 2 3 1 ; 6 2 3
AC
B
AC

  


Câu 8.  
2
22
3 2 1
2 8 6 6 4 1
y x y y x
y x y y x x

    


    


.

     
22
1
3 1 2 2 0 1 2 0
2
yx
y x y x x x y x y
yx


          





.

2 2 2 2
; 2 2 , ; 2 2
2
( ; )
2
xy
   

  
   
   
   
.
Nhận xét: 
 trong hai
,xy

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 9


,xy
.
- 
2
22

3
2
33
3 2 1 2 1x x x x     
. Đáp số:
3
2
x 
.
b. 
 
3 3 2
32
6 3 5 1 4
3 4 5
x y y x y
x y x y

    


     


. Đáp số:
     
; 1; 3 , 2; 0xy   
.
c. 
33

(*).
ng hp:
 Hai trong ba s
;;x yz y zx z x y  
  ng thc (*) mang du
ng th
 Mt trong ba s         gi s
0 ; 0x yz y zx   
  
     
0 1 0 1x y x y z x y z z         

 Ba s
;;x yz y zx z x y  
 ng thi.
Vy ba s
;;x yz y zx z x y  
 
Ta chng minh
     
1x y z x y z y zx   
(1).
Tht vy,
   
 
2
2 2 2 2
(1) 1 2 0x y z z xy x y z xy z x y z         
ng thc xy ra khi
xy

-ng hp nh n:
;;x yz y zx z x y  

+Nu v phng thc chng minh.
+Nu hai trong 3 s 
1z


Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 10

-Chng minh
     
1xy z x y z y zx   
b 
v 3 bng thc
               
1 ; 1 ;x y z x y z y z x yz x y z x z x y xz x yz z x y         
.


Bài tập tương tự:
a.  thc
 
, , 0 ; 1 : 1x y z x y yz zx   
. Chng minh rng :
2 2 2
33
2
1 1 1
y