Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 1

MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1: (2 điểm)
Cho hàm số
32
31y x x  
có đồ thị
 
C
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi hàm số.
2. Tìm hai điểm
,AB
thuộc đồ thị
 
C
sao cho tiếp tuyến của
 
C
tại
A
và
B
song song với nhau
và độ dài
42AB 
.

Giải hệ phương trình:
11
1
6 5 2
y y y
x x x
C C C




Câu 5: (1 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ
O xyz
, cho hai đường thẳng
12
,dd
lần lượt có phương trình:
12
1
2 1 1
: , :
2
1 2 2
1
xt
x y z
dd
yt
z

đến
 
P

Câu 6: (1 điểm)
Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
a
. Chân đường cao hạ từ
S
lên mặt phẳng
 
ABC
là điểm
H
thuộc
AB
sao cho
2H A H B
. Góc tạo bởi
SC
và mặt phẳng
 
ABC
bằng
60
o

,
góc tạo bởi hai đường thẳng
BC
và
AB
bằng
45
o
. Viết phương trình đường thẳng
BC
biết diện
tích hình thang bằng 24 và điểm
B
có hoành độ dương.
Câu 8: (1 điểm)
Giải phương trình:
 
22
3 2 1 3x x x x    

ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 8

Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 2
Câu 9: (1 điểm)
Cho
,,x y z
là các số thực không âm thỏa mãn
0xy yz zx
và
 


   


 
'' 6 6; '' 0 0; ''(2) 0y x y y   

Suy ra hàm số đạt cực đại tại
0x 
và đạt cực tiểu tại
2x 
. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
 
;0
và
(2; )
, hàm số đồng biến trên khoảng
 
0; 2

Tính giới hạn:
lim ; lim
xx
y
     
    


2.
Gọi tọa độ của
,AB
là
   
3 2 3 2
; 3 1 , ; 3 1A a a a B b b b   
với
ab
.
Vì tiếp tuyến của
 
C
tại
A
và
B
song song với nhau nên ta có:
       
22
' ' 3 6 3 6 2 0y a y b a a b b a b a b         
20ab   
, vì
ab
.
Mà
ab
nên ta có:
21a a a   
.

6b a b a b a ab

      
   
22
12b a ab

    
 
 
2
2
2
2 2 1 2 2a a a

    

     
6 4 2
4 1 24 1 40 1a a a     


Với
1a 
, ta có hai điểm
   
1; 3 , 3;1ABTuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 4
Vậy hai điểm cần tìm là:
   
3;1 ; 1; 3
.
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Cho hàm số
32
6 9 3y x x x   
có đồ thị
()C
. Tìm tất cả các giá trị
k
sao cho tồn tại 2 tiếp tuyến
với
 
C
phân biệt và có cùng hệ số góc
k
, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp
tuyến đó cắt các trục
,O x O y
tương ứng tại

có hoành độ
1x 
cắt đường tròn
     
22
: 2 3 4C x y   
theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.
Đáp số:
2m Câu 2:
Phương trình đã cho tương đương với:

 
2 2 2 2
4 4 4 4
2 co s cos 4 sin 2 2 1 sin
22
x x x x
xx
   
     
   

2 co s 2 cos 4 sin 2 2 2 sin 0
4
x x x

    







.
Vậy nghiệm của phương trình là:
6
2,
6
5
2;x k k k



   


.
Nhận xét: Đây là dạng phương trình lượng giác dễ, chỉ cần các phép biến đổi đơn giản để đưa về
phương trình bậc hai theo một biến.
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Giải phương trình:
2 2 2 2
3
cos cos 2 co s 3 cos 4
2
x x x x   
.


Câu 3:
Đặt
 
3 2 2 3 2 3 2
4 3 4 3 2 12 6
x x x x x x
t e e t e e tdt e e dx       

Đổi cận:
01xt  ln 3 9xt  

Khi đó ta có:
99
11
9
ln 1
1 1 1 8 ln 5
1
1
3 1 3 1 3 3
tt
tdt
I dt
tt






Đáp số:
2 ln 3 1I 

2. Tính tích phân:
2
1
ln
3 ln
1 ln
e
x
I x x dx
xx







Đáp số:
3
5 2 2 2
3
e
I


1
01
xy
xy
yx
y
yx
xy
yx





  




  




  


Ta có:
11
1




  



    




  


     



5( 1)( 1) 6( )( 1)
2( )( 1) 5 ( 1)
x y x y x y
x y x y y y
     



    



cần sử dụng công thức xác định của các biểu thức chỉnh hợp, tổ hợp hay hoán vị để rút gọn và tìm ra
mối quan hệ đơn giản giữa các biến.
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Giải bất phương trình:
2 2 3
2
16
10
2
x x x
A A C
x
  

Đáp số:
 
3; 4x 
.
2. Giải hệ phương trình:
1 1 1
11
10 2 1
y y y y
x x x x
A yA A C
  





là vectơ pháp tuyến của
 
P
.
Vì
 
P
song song với
1
d
và
2
d
nên ta có:
 
12
, 2; 2; 1n u u

    


Suy ra phương trình
 
P
có dạng
2 2 0x y z m   
.
Ta có:
 
 

 
12
3
7 2 5
, 2 , 7 2 5
17
7 2 5
3
m
mm
d d P d d P m m
mm
m


  


      



   




Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn đó là:
2 2 3 0x y z   
và

Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 7
2. Trong không gian với hệ tọa độ
O xyz
, cho ba
điểm
     
1;1; 1 , 1;1; 2 ,C 1; 2; 2AB  
và mặt phẳng
 
: 2 2 1 0P x y z   
. Viết phương trình mặt phẳng
 
Q

đi qua
A
, vuông góc với mặt phẳng
 
P
, cắt đường
thẳng
BC
tại
I
sao cho
2IB IC
.
Đáp số:
2 2 3 0x y z   
hoặc

2
2 2 2
7
2 . . cos 60
9
o
a
H C H B H C H B H C   

7
3
a
HC

7 2 1
. tan . 3
33
aa
SH H C S C H   

Suy ra:
23
.
1 1 21 3 7
. . . .
3 3 3 4 1 2
S AB C A BC
a a a
V S H S  


Trong tam giác vuông
SHF
, ta có:
2 2 2
22
1 1 1 . 42
12
H F H S a
HK
H K H F H S
H F H S
    


Suy ra:
   
 
3 4 2
, . ,
28
a
d S A B C d H SA D

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
 Định lý hàm số cosin:
2 2 2
2 . .cosB C A B A C A B A C B A C  

 Góc tạo bởi một đường thẳng và một mặt phẳng là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu
của đường thẳng này trên mặt phẳng đó.

o
. Gọi
G
là trọng tâm tam giác
SAB
.
Tính
khoảng cách từ
G
đến mặt phẳng
 
SC D
.
Đáp số:
da
.
2. Cho hình lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
A
, cạnh huyển
2BC a
,
cạnh bên
'2AA a
, biết
'A
cách đều các đỉnh

là
 
0; 0D
.
Vectơ pháp tuyến của
AD
và
BD
lần lượt là:
   
12
3; 1 ; 1; 2nn   

Suy ra:
1
cos 45
2
o
A D B A D B A D A B    

Lại có:
 
, 45
o
BC AB 
nên
45
o
B C D BC D  
vuông cân tại

là
8 10 4 10
;
55
B




.
Đường thẳng
BC
đi qua
B
và vuông góc với
2
d
nên phương trình đường thẳng
BC
là:
2 4 1 0 0xy  
.
Nhận xét: Đối với các bài toán tọa độ trong mặt phẳng về các tứ giác đặc biệt, chúng ta cần tập
trung khai thác các tính chất hình học phẳng thuần túy của tứ giác đó để giải quyết bài toán và hạn
chế được số biến cần gọi. Khi giải quyết các bài toán này không yêu cầu chúng ta phải có hình vẽ,
tuy nhiên sẽ dễ dàng hơn nếu chúng ta có một hình vẽ minh họa “rõ ràng và chính xác”.
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
O xy
, cho hình thang cân

4 3 2 ; 2 2 , 4 4 2 ; 2 2BC   

2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
O xy
, cho đường tròn
22
( ) : 2 2 0C x y x y   
và hai điểm
   
0; 4 , 4; 0AB
. Tìm tọa độ hai điểm
,CD
sao cho đường tròn
 
C
nội tiếp hình thang
AB CD
có
đáy là
AB
và
CD
.
Đáp số:
1 1 1 1
; , ;
2 2 2 2
CD

   



2
2
2 1 1
3
x
x
x
   


22
2
2
3
2 1 1
xx
x
x




2
0
21
(*)
3
2 1 1

2
2 1 4 20 2 5
x
x
x x x



   


   


Vậy phương trình có nghiệm:
 
0; 5 13x   

Nhận xét: Phương pháp nhân lượng liên hợp là phương pháp rất mạnh để giải quyết các phương
trình vô tỷ. Để giải quyết bài toán bằng phương pháp này, ta phải nhẩm được một nghiệm nào đó
(có thể là nghiệm duy nhất) của phương trình.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
Phương pháp nhân lượng liên hợp:

Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 10
Giả sử trong phương trình chúng ta có biểu thức có dạng
 
Px
với
 

33
22
ab
ab
a ab b





1 2 2 1
nn
n n n n
ab
ab
a a b a b b
   


   

Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Giải phương trình:
1 4 9 16 2 5 2 25x x x x x x          

Đáp số:
0x 
.
2. Giải phương trình:
3

y z y z y z z x x y

      


    


Giả sử
xy
. Ta sẽ chứng minh:
(*)
x y z
y z z x x y

  

Thật vậy,
       
(*) 1
xz yz
x y y z x z x y
  
   

Ta có:
   
   
22
2

Đặt
6
6
1
,
2
z
tt
xy


thì suy ra:
2
3
2
( ) 3 1P f t t
t
   

Khảo sát hàm ta nhận được:
m in ( ) (1) 4f t f
.
Giá trị nhỏ nhất của
P
là 4, đạt được khi
;0x z y
.
Nhận xét: Bài toán trên là một bài toán đẹp và khó. Sẽ rất khó khăn nếu chúng ta không biết đến bất
đẳng thức
(*)

2( ) 2
22
1
a b c c
P
c
a b c a b a b
ab

   
   



Đặt
,0
c
tt
ab


. Xét hàm:
2
( ) 2
1
f t t
t


ta nhận được:

P
x y x y


   

Đặt
, 2 4t x y t   
, xét hàm
 
1
()
1 4 1
t
ft
tt


nhận được
7
m in (3)
8
Pf