Chuyên đề: Rút gọn biểu thức
(Dùng Cho dạy và học ôn thi vào THPT)
Các kiến thức cần nhớ
1) Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
(A+B)
2
= A
2
+2AB+B
2
(A-B)
2
= A
2
-2AB+B
2
A
2
-B
2
= (A-B)(A+B)
(A+B)
3
=A
3
+3A
2
B+3AB
2
+B
3

A A=
.A B A B=
(Với A0; B0)
A A
B
B
=
(Với A0; B>0)
2
A B A B=
(Với B0)
2
A B A B=
(Với A0; B0)
2
A B A B= -
(Với A<0; B0)
1A
A B
B B
=
(Với A.B0; B0)
A A B
B
B
=
(Với B>0)
2
( )C A B
C

= + -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứố ứ
+ -
a) Tìm các giá trị của a để A có nghĩa
b) Rút gọn A
c) Tìm a để A=-5; A=0; A=6
d) Tìm a để A
3
= A
e) Với giá trị nào của a thì
A A=
Bài 2: Cho biểu thức:
1 1
2 2 2 2 1
x
Q
x x x
= + +
- + -
a/ Tìm điều kiện để Q có nghĩa
b/ Rút gọn Q
c/ Tính giá trị của Q khi
4
9
x =

+ +
ữ ữ
ỗ ỗ
= - + -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứố ứ
- -
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
2
b) Tính giá trị của A khi
5 2 6 5 2 6
5 2 6 5 2 6
a
+ -
= +
- +
c) Tìm các giá trị của a để
A A>
d) Tìm a để A=4; A=-16
e) Giải phơng trình: A=a
2
+3
Bài 5 Cho biểu thức:
1
2 2 1 1
a a a a a

ổ ửổ ử
- +
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
= - + - +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
ố ứố ứ
- +
ở ỷ
với a>0; a1
a) Rút gọn K
b) Tính giá trị của K khi a=9
c) Với giá trị nào của a thì
K K=
d) Tìm a để K=1
e) Tím các giá trị tự nhiên của a để giá trị của K là số tự nhiên
Bài 7 Cho biểu thức:
3
1 1 1
x x x
Q
x x x
-
= + +

ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
+ - -
với x>0; x9
a/ Rút gọn T
3
b/ Tinh giá trị của T khi
7 5 7 5
7 5 7 5
x
+ -
= +
- +
c/ Tìm x để T=2
d/ Với giá trị nào của x thì T<0
e/ Tìm x

Z để T

Z
Bài 9 Cho biểu thức:
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
L
x x x x
- - +
= - -
+ - - +

Bài 11: Cho
2 3 6
2 3 6 2 3 6
x y xy
K
xy x y xy x y
+
=
+ + + +
a) Rút gọn K
b) CMR: Nếu
81
81
y
K
y
+
=

thì
y
x
là số nguyên chia hết cho 3
c) Tìm số nguyên x để K là số nguyên lớn hơn 5
Bài 12:Cho biểu thức
3 2 1 1
:
1
( 2)( 1) 1 1
a a a a

a) Rút gọn N
b) Tính N khi
4 2 3; 4 2 3a b
= + =
c) CMR: Nếu
1
5
a a
b b
+
=
+
thì N có giá trị không đổi

Bài 14:Cho biểu thức
2
2
(2 3)( 1) 4(2 3)
( 1) ( 3)
x x x
A
x x

=
+
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A = 3
Bài 15:Cho
3
1 1

+
d) Rút gọn P
e) Tìm x để P < 1
f) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên
Bài 18: Cho
1 2
1 :
1
1 1
x x
K
x
x x x x x

= +
ữ ữ
ữ ữ
+
+

a) Rút gọn K
b) Tính giá trị của K khi
4 2 3x = +
c) Tìm giá trị của x để K >1
Bài 19: Cho biểu thức
2
2
1 1 1
.
1 1 1

1 1 1
x x x x x
K
x x x x

+ +
= +
ữ
+

5
a) Tìm điều kiện đối với x để K xác định
b) Rút gọn K
c) Với những giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên?
Bài 22:Cho
2 3 3 2 2
: 1
9
3 3 3
x x x x
P
x
x x x

+
= +
ữ ữ
ữ ữ

+

2) Tìm a để A nhận giá trị nguyên
Bài 25: Cho biểu thức:
2
3 3 1
1 1
x x x x x x
A
x x x x x

+ +
= ì
ữ
ữ
+ +

.
a) Tìm điều kiện đối với biến x để biểu thức A đợc xác định.
b) Rút gọn biểu thức A.
Bài 26: Cho biểu thức:
2 10 2 1
6 3 2
x x x
Q
x x x x
+
=

Với x 0 và x 1
1) Rút gọn biểu thức Q
2) Tìm giá trị của x để

ữ ữ
ữ ữ

+

a) Rút gọn A.
b) So sánh A với 1
Bài 29: Cho biểu thức

+ +
= + +
ữ ữ
ữ ữ

+ +

3 1 2
:
2 2
2 2 1 1
x x x x
P
x
x x x x x
a) Rút gọn P
6
b) Chứng minh rằng P > 1
c) Tính giá trị của P, biết
2 3x x+ =
d) Tìm các giá trị của x để :

+ +
+ + + +
1) Rút gọn biểu thức A .
2) Chứng minh rằng biểu thức A luôn dơng với mọi a
Bài 32: Cho M =
6
3
a a
a
+
+
a) Rút gọn M.
b) Tìm a để / M /

1
c) Tìm giá trị lớn nhất của M.
Bài 33: Cho biểu thức
C =
3 3 4 5 4 2
:
9
3 3 3 3
x x x x
x
x x x x x

+ +

ữ ữ
ữ ữ

c) Chứng tỏ A
2
3

là bất đẳng thức sai
7
Bài 35: Cho biểu thức
4 1 3
: 1
2 3 3 2
x x x x
P
x x x x

+
= +
ữ ữ
ữ ữ


a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để P < 0 ;
c/ Tìm x để P < 1
Bài 36: Cho biểu thức
1 2 2 1 2
:
1
1 1 1
x
P

a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để
2
5
1

P
Bài 38: Cho biểu thức :
A =
1 1 2
:
2
a a a a a
a
a a a a

+ +

ữ
ữ

+

a) Với những giá trị nào của a thì A xác định .
b) Rút gọn biểu thức A .
c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên
Bài 39: Cho biểu thức
M =
25 25 5 2
1 :


+

a) Rút gọn P
8
b) Tìm giá trị lớn nhất của A =
5 3
.
x
P
x x

+
c) Tìm các giá trị của m để mọi x > 2 ta có:
( )
( )
. 1 3 1P x x m x x+ + > +
Bài 41: Cho biểu thức
4 3 2 4
:
2 2 2
x x x x
P
x x x x x

+
= +
ữ ữ
ữ ữ


x x
x x x x
P x x
x x x
a) Rút gọn P
b) Xác định giá trị của x để (x + 1)P = x -1
c) Biết Q =
1 3x
P
x
+

Tìm x để Q max.
Bài 43: Cho biểu thức :
1 1 1 1 1
A= :
1- x 1 1 1 1x x x x

+ +
ữ ữ
+ +

a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị của A khi x =
7 4 3+
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 44: Cho
1 1 2
:
1 1 1


+
+
= 1
x1
1
x
2x
2x
1x
2xx
3)x3(x
P
9
a/ Rút gọn P
b/ Tìm các giá trị x nguyên để P nguyên ;
c/ Tìm các giá trị của x để
xP =
Bài 46: Cho biểu thức
P =
( )
( )
( )
2 2
2
1 3 2 1
2
1 1
3 1
a a

b) Tìm m để phơng trình P = m 1 có nghiệm x, y thoả mãn
6x y+ =
Bài 48: Cho biểu thức:
1x
2x
2x
3x
2xx
3)x3(x
P



+
+
+
+
+
=
a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để
4
15
P <
Bài 49: Cho biểu thức :
2
2
2
1
2

+ +

a) Rút gọn biểu thức .
b) Tính giá trị của
A
khi
324 +=x
10
Bài 51: Cho biểu thức:


















+



ữ
= - -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
- +
ố ứ
với a>0; b>0; ab
b)
2
( ) 4x y y x x y xy
B
xy x y
- + -
= -
-
với x>0; y>0; xy
c)
3
2 2 1
2 1 1
a a a a a
C
a a a a
ổ ử
ổ ử
+ - + - -

+ + + + + +
với x0
e)
( )
2
:
a a b b b
E ab a b
a b a b
ổ ử
+
ữ
ỗ
ữ
= - - +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
+ +
ố ứ
với a>0; b>0; ab
f)
1 1 1 1 1
1 1
a a a a a a
F a
a a a a a a a

(với
0x
và
3x
).
11