Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG
CHUYÊN ĐỀ:
TÍCH CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG
MẶT PHẲNG
Người thực hiện: GV Phan Thị Thanh Huyền
Krông Năng, tháng 04/2010
GV: Phan Thị Thanh Huyền
1
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
MỤC LỤC
Chương 1: Mở đầu
1.1 – Lý do chọn đề tài
1.2 – Sơ lược về các phép biến hình trong mặt phẳng.
1.2.1 – Phép biến hình.
1.2.2 – Phép dời hình.
1.2.3 – Phép đồng dạng.
Chương 2: Tích các phép biến hình trong mặt phẳng.
2.1 – Tích của hai phép tịnh tiến.
2.2 – Tích của hai phép đối xứng trục.
2.3 – Tích của hai phép đối xứng tâm.
2.4 – Tích của hai phép quay.
2.5 – Tích của hai phép vị tự.
2.6 – Tích của phép đối xứng trục và phép tịnh tiến.
2.7 – Tích của phép quay và phép đối xứng trục.
2.8 – Mở rộng
Chương 3: Bài tập áp dụng.
Tài liệu tham khảo
GV: Phan Thị Thanh Huyền
2
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng

bất kì của mặt phẳng đều là một tập con của
P
và được kí hiệu
H P
⊂
.
a) Định nghĩa
Một song ánh
:f P P
→
từ tập điểm của
P
lên chính nó được gọi là một
phép biến hình trong mặt phẳng.

:
'
f P P
M M
→
a
Điểm
' ( )M f M=
gọi là ảnh của điểm
M
qua phép biến hình
f
. Ngược lại
điểm
M

:f P P
→
ta cần nêu rõ quy tắc
f
đó
bằng các cách sau đây:
_ Quy tắc
f
được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong mặt
phẳng như: Tìm giao điểm của hai đường thẳng đã được xác định nào đó, dựng
đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước,
dựng đường tròn với tâm và bán kính đã cho,
_ Quy tắc
f
còn được xác định bởi biểu thức liên hệ giữa tọa độ
( ; )x y
của điểm
M
với tọa độ
( '; ')x y
của điểm
' ( )M f M=
đối với hệ tọa độ
Oxy
nào
đó.
c) Phép đồng nhất
Phép biến hình
:f P P
→

1
f
−
Mỗi phép biến hình
f
có duy nhất một phép biến hình đảo ngược
1
f
−
.
Nếu
1
f f
−
=
thì phép biến hình
f
gọi là phép biến hình đối hợp.
f) Tích các phép biến hình
Dễ dàng chứng minh được:
Tích của hai phép biến hình là một phép biến hình.
Tích các phép biến hình có tính chất kết hợp.
Tích của hai phép biến hình đảo ngược nhau là phép đồng nhất.
1.2.2 – Phép dời hình
GV: Phan Thị Thanh Huyền
4
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
a) Định nghĩa
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất
kì.

Kí hiệu: Đ
d
, với d là trục đối xứng
Nếu điểm M thuộc đường thẳng d thì ta lấy M’ trùng với M.
iii) Phép đối xứng tâm
ĐỊNH NGHĨA:
Trong mặt phẳng P cho điểm O cố định,
phép biến hình biến mỗi điểm M thành một điểm M’
sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM’
gọi là phép đối xứng tâm O.
Kí hiệu: Đ
O
, điểm O gọi là tâm đối xứng.
iv) Phép quay
ĐỊNH NGHĨA:
Trong mặt phẳng P, cho một điểm O cố định
và góc lượng giác
α
. Phép quay tâm O, góc quay
α
là phép biến hình biến điểm O thành chính nó,
biến mỗi điểm M thành điểm M’
sao cho
( )
' và , 'OM OM OM OM
α
= =
uuuur uuuuur
Kí hiệu:
( )

;O k
V
, O gọi là tâm vị tự, k gọi là tỉ số vị tự.
Nhận xét : - Phép vị tự tỉ số 1 là phép đồng nhất.
- Phép vị tự tỉ số -1 là phép đối xứng tâm.
b) Phép đồng dạng
ĐỊNH NGHĨA :
Một phép biến hình
:f P P→
gọi là một phép đồng dạng nếu nó biến hai
điểm A, B bất kì của mặt phẳng thành hai điểm A’=f(A) và B’=f(B) sao cho luôn
có A’B’=kAB, trong đó k là số thực dương xác định. Số k được gọi là tỉ số đồng
dạng
Nhận xét : - Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.
- Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số /k/.
- Phép đảo ngược của phép đồng dạng tỉ số k là phép đồng
dạng tỉ số 1/k.
- Tích của một phép đồng dạng tỉ số k
1
với phép đồng dạng tỉ
số k
2
là một phép đồng dạng với tỉ số k
1
. k
2
.
Chương 2 : TÍCH CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
2.1 – Tích của hai phép tịnh tiến.
GV: Phan Thị Thanh Huyền

' ''
MM u
M M v
=
=
uuuuur
r
uuuuuur
r
Suy ra
'' ' ' ''
MM MM M M u v= + = +
uuuuur uuuuur uuuuuur
r r
Vậy
''
( )
u v
T M M
+
=
r r
.
* Nhận xét: Tích của hai phép tịnh tiến có tính chất giao hoán.
(Bạn đọc tự kiểm chứng).
2.2 - Tích của hai phép đối xứng trục.
a. Tích của hai phép đối xứng có trục song.
Tích của hai phép đối xứng trục theo thứ tự có trục là
và a b
song song

uuuuuuur uuuuuur
và
' 'M H b⊥
uuuuuur
.
Vậy
'' ' ' ''MM MM M M= +
uuuuur uuuuur uuuuuuur

2( ' ' ') 2 'HM M H HH= + =
uuuuur uuuuuur uuuur
Mặt khác ta nhận thấy rằng ba điểm M, M’, M’’ nằm trên một đường thẳng
vuông góc với a và b, đồng thời vectơ
'HH
uuuur
không phụ thuộc vào vị trí điểm M và
vectơ này có hướng từ a đến b, có phương vuông góc với a và b, có độ dài bằng
khoảng cách giữa hai trục đó. Do đó phương của đường thẳng MM’ không đổi vì
nó luôn vuông góc với a và b. Như vậy tích của hai phép đối xứng trục Đ
a
và Đ
b
biến điểm M thành điểm M’’ với
'' 2 'MM HH=
uuuuur uuuur
chính là phép tịnh tiến theo vectơ
2 'HH
uuuur
.
Do đó: Đ

a
và Đ
b
là 2 phép đối xứng trục với hai trục là a và b cắt nhau tại O. Với
một điểm M bất kỳ khác O, ta gọi
M’ = Đ
a
(M),
M’’ = Đ
a
(M’)
Như vậy tích Đ
b
Đ
a
biến điểm M thành M’’
Gọi H và H’ lần lượt là trung điểm của MM’ và M’M’’ thì H’
∈
b
Ta có
( , ') 2( , ')
( , '') 2( ', ')
OM OM OH OM
OM OM OM OH
=
=
uuuur uuuuur uuuuruuuuur
uuuuruuuuur uuuuur uuuur
Do đó
( , '') ( , ') ( ', '')OM OM OM OM OM OM

biến O thành O.
Vậy tích của hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau tại O tạo thành một
góc
α
là một phép quay tâm O với góc
2
α
.
GV: Phan Thị Thanh Huyền
8
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
Nhận xét:
i. Tích của 2 phép đối xứng có trục vuông góc tại O là phép đối xứng tâm
O.
ii. Mỗi phép quay ta có thể phân tích thành tích của hai phép đối xứng có
trục cắt nhau.
(Bạn đọc tự kiểm chứng)
2.3 – Tích của hai phép đối xứng tâm:
Tích của hai phép đối xứng tâm I
1
, I
2
(I
1
≠
I
2
) theo thứ tự là phép tịnh
tiến theo véctơ
1 2

=
uuuuur uuur
uuuuur uuuuur
1 2
1 1 1 2
0
1 2
'' ' ' '' 2( ' )
2( ' )
2 .
MM MM M M MI M I
MI M I I I
I I
⇒ = + = +
= + +
=
r
uuuuur uuuuur uuuuuuur uuur uuuuur
uuur uuuuur uuur
1 4 2 4 3
uuuur
Vậy
1 2
2
( ) ''
I I
T M M=
uuuur
2.4 – Tích của hai phép quay:
a. Tích của hai phép quay cùng tâm.

2
( ; )
( ; )
( ) '
( ') ''
O
O
Q M M
Q M M
α
α
=
=
Ta có
1
'
( , ')
OM OM
OM OM
α
=


=

Và
1 2
' ''
( , '') ( , ') ( ', '') .
OM OM

α
α
Qua O
1
,O
2
lần lượt kẻ đường thẳng d
1
, d
2
sao cho
( ) ( )
1 2
1 1 2 1 2 2
; và O O ;
2 2
d O O d
α α
= =
.
Đặt
2 2 1 1
( ; ) ( ; ).O O
f Q Q
α α
=
= (Đ
2
d
Đ

Đ
1 2
O O
là phép đồng nhất)
Nếu d
1
// d
2
thì f là một phép tịnh tiến
Nếu d
1
cắt d
2
thì f là một phép quay.
Tóm lại:
Tích của hai phép quay
1 1 2 2
( ; ) ( ; )
à
O O
Q v Q
α α
hoặc là một phép quay
hoặc là một phép tịnh tiến.
2.5 – Tích của hai phép vị tự.
a. Tích của hai phép vị tự cùng tâm.
Tích của hai phép vị tự
1 2
( ; ) ( ; )
à

uuuuur uuuuur uuuur
Vậy
2 1
'' , .OM kOM k k k
= =
uuuuur uuuur
Nhận xét: Nếu
1 2
. 1k k =
thì tích đó là một phép đồng nhất.
GV: Phan Thị Thanh Huyền
10
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
b. Tích của hai phép vị tự khác tâm.
Tích của hai phép vị tự khác tâm là một phép vị tự có tâm thẳng hàng
với hai tâm của hai phép vị tự đã cho hoặc đặc biệt là một phép tịnh tiến hay
phép đồng nhất.
Chứng minh:
Giả sử có hai phép vị tự
1 1 2 2
( ; ) ( ; ).
à
O k O k
V v V
Với hai điểm bất kỳ A, B ta có
1 1
( ; )
( ) ' '
O k
V AB A B

2 1
. 1k k
=
Phép tịnh tiến hoặc phép đồng nhất nếu
2 1
. 1k k
=
* Cách xác định tâm vị tự O của tích
2 2 1 1
( ; ) ( ; )O k O k
V V
Ta thấy tâm O phải nằm trên đường thẳng O
1
O
2

Giả sử
1 1
( ; )
( ) '
O k
V O O
=
ta có
1 1 1
O O' O Ok
=
uuuuur uuuur
(1)
Khi đó

Theo (1)
2 1 1 2 2 1 2 1 1
O O O O k O O k k O O
+ = +
uuuuur uuuur uuuuur uuuur
1 2 1 1 2 2
(1 ) (1 )O O k k O O k
− = −
uuuur uuuuur
với
2 1
1 0k k− ≠
Nên
2
1 1 2
2 1
1
1
k
O O O O
k k
−
=
−
uuuur uuuuur
(*)
Vì
1 2
,O O
đã cho nên điểm O hoàn toàn xác định nhờ (*)

tiến nếu
1 2
O O≠
và là phép đồng nhất nếu
1 2
O O
≡
.
2.6 – Tích của phép đối xứng trục Đ
d
và phép tịnh tiến
a
T
r
.
Đặt
f
=
Đ
d
a
T
r
.
a) Nếu
a d
⊥
r
Kẻ đường thẳng d
1

Đ
d
(Đ
d
Đ
d
1
) = Đ
d
1
Vậy tích của phép đối xứng trục Đ
d
và phép tịnh tiến
a
T
r
,
a
r
vuông góc với trục
đối xứng d là một phép đối xứng trục.
b) Nếu
a
r
không vuông góc với d
Phân tích
1 2
a a a
= +
r ur uur

được xác định như trường hợp a)
Ta gọi tích của một phép tịnh tiến
a
T
r
và phép đối xứng trục Đ
d
, với
a d
r
P
là một
phép đối xứng trượt.
Kí hiệu: Đ
,d a
T
r
.
Nhận xét: Phép đối xứng trượt có tính chất giao hoán nghĩa là:
Đ
d
a a
T T=
r r
Đ
d

2.7 – Tích của một phép quay và một phép đối xứng trục.
Giả sử
g

g
=
Đ
d
( ; )O
Q
α
= Đ
d
(Đ
d
2
Đ
d
1
)
= (Đ
d
Đ
d
2
Đ
d
1
)
=
2a
T
r
Đ

Bài 1: Cho hai điểm A, B cố định trên đường tròn (O; R) cho trước. Một điểm M
di động trên (O; R). Gọi N là trung điểm của đoạn AM. Dựng hình bình hành
ABCN. Xác định phép biến hình điểm M thành C và chứng tỏ rằng tập hợp các
điểm C là một đường tròn có bán kính xác định.
Giải.
Ta có
1
2
AN AM
=
uuur uuuur
Vậy
1
( ; )
2
( )
A
V M N
=
Mặt khác:
NC AB
=
uuur uuur
Vậy
( )
AB
T N C
=
uuur
Do đó :

S
G
f V V
−
−
=1
( ; )
( ; 1)
2
G
S
V
V
A M I
−
−
a a

B N Ja a

C P Ka a
Suy ra I, J, K lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép vị tự
f
tâm S’, tỉ số
( )
1 1
. 1

uuur uuur

4
;
3
'
G
V
S S
 
 ÷
 
a
Vậy S’ thuộc đường tròn ảnh của (ABC) qua
4
;
3
G
V
 
 ÷
 
.
* Bài tập tự giải
Bài 1: cho hai đường tròn (O), (O’) tiếp xúc ngoài tại A và một đường thẳng d,
điểm M thay đổi trên d. từ M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP đến (O). Hai đường
thẳng AN, AP lần lượt cắt (O’) tại N’, P’. Chứng minh rằng đường thẳng N’P’
luôn qua một điểm cố định khi M thay đổi trên d.
Bài 2: Dựng hình vuông nội tiếp một tam giác đã cho. Trong đó hai đỉnh của
hình vuông nằm trên một cạnh, hai đỉnh kia nằm trên hai cạnh còn lại của tam

dục.
3. Văn Như Cương, Trần Phương Dung, Phan Thị Minh Nguyệt, 2007, Câu hỏi
trắc nghiệm khách quan và bài tập tự luận Hình học 11, NXB Giáo dục.
4. Nguyễn Mộng Hy, 2004, Các phép biến hình trong mặt phẳng, NXB Giáo
dục.
5. Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), 2007, Hình học 11, NXB Giáo dục.
6. Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), 2007, Bài tập hình học 11, NXB Giáo dục.
7. Đỗ Thanh Sơn, 2006, Phép biến hình trong mặt phẳng, NXB Giáo dục.
8. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện, 2007, Bài tập hình học sơ cấp
9. Lê Thị Hoài Châu, 2004, Phương pháp dạy – học hình học ở trường trung học
phổ thông, NXB Đại học quốc gia tp Hồ Chí Minh.
GV: Phan Thị Thanh Huyền
16