UBND HUYỆN NGỌC HỒI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2011-2012
Môn: Toán
Thời gian: 14/02/2012
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI:
(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức A=
2
( x y) x x y y
x y
.
x y
x x y y x y
 
+ −
−
−
 ÷
 ÷
−
+ −
 
a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ So sánh A và
A
Bài 2: (2 điểm)
a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: 24x
3

− −

a/ Giải hệ phương trình với m = 1
b/ Tìm m để hệ đã cho có nghiệm.
Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC có
µ
A
= 90
0
, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt theo thứ tự là
hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh các hệ thức:
a/
2
2
AB HB
AC HC
=
b/ DE
3
= BD.CE.BC
Bài 5: (2 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a . Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm
di động E, F sao cho : AE + EF + FA = 2a.
a/ Chứng tỏ rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định .
b/ Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích
∆
CEF lớn nhất
Hết
ĐỀ CHÍNH THỨC
UBND HUYỆN NGỌC HỒI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

= −
 
− − +
+ − +
 
0,5
x y x xy y
A . x y
x xy y x y
 
+ + +
= + −
 
− + +
 
 
0,5
2
x y ( x y) (x xy y)
A .
x xy y x y
 
+ + − + +
=
 
− + +
 
 
0,5
xy

0,5
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A=0
⇔
x=0 hoặc y = 0
0,5
2
4,0
2a
24x
3
-26x
2
+9x-1 = 24x
3
- 12x
2
-14x
2
+ 7x + 2x - 1
0,5
= 12x
2
(2x-1) - 7x(2x-1) + (2x-1)
0,25
= (2x - 1)(12x
2
- 7x + 1)
0,25
= (2x - 1)(12x
2

2 2
2 2 2 2 2 2 2
2xy x 2xy x 4x
2. .
x y y x y y x y
 
+ ≥ =
 ÷
+ + +
 
0,5
Tương tự
2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2xy y 4y
x y x x y y x
 
+ ≥ + ≥
 ÷
+ +
 
2 2
x y
; 2
0,5
Ta có: 2.A
2 2
2 2
4(x y )

y 2

=

−



=
 −

Điều kiện
u 0
v 0
≠


≠

0,5
Ta có hệ phương trình:
u mv 2(1)
2v 3mu 1(2)
+ =


− =

0,5
Với m = 1 ta có




=
=


−
 
⇒ ⇔
 
 
=
=

 −


0,5
Vậy với m = 1, hệ phương trình có nghiệm là
8
x
3
19
y
7

=



+ +

1,0
Để hệ có nghiệm thì

m 4
u 0 4 m 0
1
v 0 1 6m 0
m
6
≠

≠ − ≠
 

⇔ ⇔
−
  
≠ + ≠
≠
 


0,5
Vậy với
m 4
1
m
6

AB HB
AC HC
=
0,5
4b
Ta có: AH
2
= HB.HC
⇒ AH
4
= HB
2
.HC
2
(1)
0,5
Trong tam giác vuông AHB có HB
2
= BD.AB
Trong tam giác vuông AHC có HC
2
= EC.AC
0,5
Thay HB
2
, HC
2
vào (1) ta được
AH
4

= AB – EA + AD – FA
= EB + FD = EB + BK = EK.
Do đó ∆ CEF = ∆ CEK ( c.c.c) Suy ra các đường cao CH và CB bằng nhau
và bằng a
0,5
CH không đổi , C cố định , CH ⊥ EF ⇒ EF luôn tiếp xúc với đường tròn cố
định ( C, a).
0,5
5b
∆ HCF = ∆ DCF ( H = D = 90
0
; CF chung; CH = CD = a )
⇒ S
HCF
= S
DCF
.
Chứng minh tương tự ta có : S
HCE
= S
BCE
do đó
S
HCF
+ S
HCE
= S
DCF
+ S
BCE

= 0
⇔ E ≡ B , F ≡ A hoặc E ≡ A , F ≡ D .
0,5
Vậy E ≡ B , F ≡ A hoặc E ≡ A , F ≡ D thì S
CEF
đạt giá trị lớn nhất .

0,5
Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa phần đó.