TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 • • • • KHOA TOÁN
TÀO THI DUYÊN
HÀM TỬ HOM VÀ DÃY KHỚP
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • •
Chuyên ngành: Đại số
HÀ NỘI, 2014
LỜI CẢM ƠN
Sau một thòi gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn
sinh viên, khóa luận của em đã hoàn thành. Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đõ của các thầy cô
ữong khoa toán, các thầy cô trong tổ đại số đã tạo điều kiện cho em trong suốt thời gian em làm
rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 1 K36B-Sưphạm Toán
khóa luận. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới cô giáo, TS. Nguyễn Thị Kiều
Nga - người đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình thực hiện khóa luận.
Mặc dù có nhiều cố gắng song do hạn chế về thòi gian cũng như kiến thức, tài liệu, nên
khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Em kính mong nhận đươc sự đóng góp ý kiến của các
thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2014

Sinh viên Tào Thị Duyên
LỜI CAM ĐOAN
Trong quá trình thực hiện khóa luận ngoài sự nỗ lực của bản thân, em còn nhận được sự chỉ
bảo, hướng dẫn tận tình của cô giáo, TS. Nguyễn Thị Kiều Nga. Em xin cam đoan khóa luận này
là kết quả nghiên cứu khoa học của riêng em và nó không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2014

Sinh viên Tào
Thị Duyên
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU

Ở chương này đưa ra một số định lý, hệ quả có tính chất quan trọng, một số nhận xét khái
quát về dãy khớp, dãy khớp ngắn, dãy khớp chẻ ra, hàm tử Hom, hàm tử Hom và dãy khớp và một
số bài tập ứng dụng.
rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 3 K36B-Sưphạm Toán
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BI
1.1. Môđun, mô đun con, môđun thương
1.1.1. Môđun
1.1.1.1. Định nghĩa
Cho R

là vành giao hoán có đơn vị 1. M

là một nhóm cộng Abel. M

gọi là
một môđun trái trên R

hay R

- môđun trái nếu tồn tại ánh xạ ( gọi là tích vô hướng
trên R)
f:RxM —>M (a,x) I—>
thỏa mãn các điều kiện sau:
ịa+J3)x = ax+J3x
a(x+y) = ax+ay {aP)x = aị

K

fĩx) l.x = x

- môđun trái và gọi chúng là R -

môđun.
I.I.I.2. Tính chất
ChoM

làR -

môđun, với mọi a,p&R,

mọi X,ỵ

eM

ta có:
a) Q’,Ũ.Q
M
0
M
b) a.(-x) - (~a).x — —ax
c) {a—b)x = ax — bx
r Khóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 4 K36B-Sư phạm Toán
d) a{x — y) = ax — ay
I.I.I.3. Ví du về môđun
■
Vídụl
Mỗi không gian vectơ trên một trường K

là một môđun trên K

Giả sửX

là vành bất kỳ với đơn vị 1 vài? là vành giao hoán củaX

chứa 1. Khi đó,
với mọi a

€ R

và mọi X e X .
RxX^>X (ia,x

) h->
xác định, thỏa mãn 4 điều kiện của môđun. Do đó, mọi vành giao hoán có đơn vị là
một môđun trên chính nó.
Nhận xét:

Lý thuyết môđun bao gồm lý thuyết vành.
Ví dụ 4
Cho R

là vành giao hoán có đơn vị, /?[jc]là vành đa thức ẩn X. Với
phép cộng hai đa thức thông thường và phép nhân đa thức với các vô hướng xác định
bởi
/ (x) = a

0

môđun.
Ví dụ 5:
Cho R

là vành có đợn vị.
Kí hiệu: Rn ={(ai,a2,-;an)\ai£R },n^N*.
Trên R

n
xác định hai phép toán cộng và nhân vô hướng như sau:
u^ = (”'+hu ,an + bn)
^ (ữlỉ ữ2v,,,íứn) (ữữlỉ CLữ 25 ••••? dữ rì)
với mọi aeR\(ai,.:;a

n

)>{bi,—;bn)eR

n
’

Khi đó, R

n

với hai phép toán cảm sinh.
1.1.2.2. Điều kiện tương đương
Cho M

làR

- môđun, N ^ 0 , N . Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
i) NỉầR-

môđun con của M
ii) Vói mọi a&R,

mọi jt,}>eAfthì x+y&N, ax&N.
iii) Với mọi a,p&R,

mọi x,ỵ G. N

thì ax + /3y

G N
1.1.2.3. Ví du về môđun con Vídụl
Cho M ỉầR-

môđun tìủ M

có ít nhất 2 môđun con là M

và môđun {0}. Ví dụ 2
■
Nếu M

1.1.2.5. Tồng của một họ môđun con
Cho M

là R

- môđun, ^ Ni

) là một họ các môđun con của M.

Khi
đó, môđun sinh bỏi|J được gọi là tổng của một họ các môđun con
(W'L-
Kí hiệu: £iV,.
ỉ'e/
Nhân xét:
- Ta có ^NịlầR -

môđun con của M

và đó là môđun con bé nhất
ie/
của M

chứa các môđun con ; e I.

- Nếu I =

{ 1 , 2 n } thì ta viết là ^Nị
i =1
Đặc biệt:

mọi X + N

e thì
a(x + N) = ax + N.
Khi đó, Mỵ/

là R

- môđun.
Thật vậy, vói mọi cc,J3gR,

mọi X + N,y+N

tacó
/ 'ĩ<ĩ\

—ry(x + V) + N = ax + ay + N
-~ + N + ay + N
'" + N)
{a + 0)(x + N) = {a + Ị3)x + N =ax + Ịĩx + N
= ax + N + fix + N = a(x + N) + /3(x

+ N)
+) ' fírì

+ N = aĩfi(x + N)]
+) l.(x + N) = l.x + N = x + N
gọi là môđun thương của môđun M

theo môđun con N.


môđun thương là
một môđun con của ■
I.I.3.3. Ví dụ về môđun thương Ví dụ 1
Cho M

là R

- môđun, tồn tại các môđun con {0} và M.

Do đó tồn tại các môđun
thương
M
/
M
={X + M\X<EM} = {M\X<EM} = {M}
^/ịóị
=
{{0} + -* Ie Af I = {jc IJC e Af } = M
rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 9 K36B-Sưphạm Toán
Ví dụ 2
Cho R

là vành có đơn vị thì R

là R -

môđun. Ả



(đó là môđun con nhỏ
nhất của M

chứa tập hợp con s

đã cho). Môđun này được gọi
là môđun con sinh bởi tập s

và kí hiệu là (5)
rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 10 K36B-Sưphạm Toán
(S) = P| ( với Ma là các môđun con của M

chứa S)
- Nếu (5) = M thì s là tập sinh của M hay M được sinh bởi s.
- Nếu ịS) — M

và s

hữu hạn thì M

gọi là môđun hữu hạn sinh.
Đặc biệt:
- Neu M

= (s) = ({«}) = (a)

thì M


2

R

+ + u

n

R.

Vì M

=
ie/
nên mỗi phần tử Uịỉầ

tổng hữu hạn của các phần tử thuộc A.

nên tồn tại một tập
con hữu hạn /o c I

để
WI5W2»""íMb ^ ỵ4<=M.
/0
Vậy M - .
/0
<=) Xét tập hợp các môđun con dạng ịaR

I a



eM
f{a + b) = f(a) + f{b) f(aa) = af(a)
- Nếu một đồng cấu môđun đồng thời là đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì nó tương ứng
được gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu môđun.
- Cho M, N

là các R -

môđun, M

là môđun con của N,

khi đó ánh xạ
f \M —>N a }
là một đồng cấu thì nó được gọi là đồng cấu bao hàm.
Đặc biệt
f:M -+M
a

1-^
là một đồng cấu gọi là đồng cấu đồng nhất.
- Nếu '^ = {0} thì/được gọi là đồng cấu không, thường được
viết là 0.
- Kí hiệu:
Kerf =

{XGM \ f(x)

= 0} = /_1(0)gọi là hạt nhân của/.

Cho M

là R -

môđun, ánh xạ đồng nhất
r Khóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 12 K36B-Sư phạm Toán
id

:M ->M
X l->
là một tự đẳng cấu của M.
Ví dụ 2
■
Cho M

là R -

môđun, N

là môđun con của M.

Ánh xạ
X
là toàn cấu môđun.
Ví dụ 3
Cho M

làR -


/(A) = {/(*) IX

E Àị

là môđun con của N
f~

l
(B) = {xeM \

/(x)

e B

}là môđun con củaM
Đặc biệt:
Kerf

- {x e M \ f(x) - 0} -

/_1(0) là môđun con của M

Im/ = {/
(jc) I Jt e M

} = /(M) là môđun con của N Tính chất 3
f

và
p:M

—» M/g rị

là toàn cấu chính tắc. Khi đó, tồn tại duy nhất R -

đồng cấu /: ^ r
sao cho f.p

= f

tức biểu đồ sau giao hoán:
Hệ quả 1
Tính chất 6

(Định lý cơ bản tổng quát)
Cho f :M —>Nỉầ R

- đồng cấu, A là môđun con của M, B

là
N
Hệ quả
rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 14 K36B-Sưphạm Toán
môđun con của N

sao cho f(A)


B ~ B
A
Hệ quả 4
Cho B,

c là các R -

môđun con của A.

Khi đó, 7 ~ c/

n

£

Tính chất

7
Cho M, N, K

là các R -

môđun./ :M

—và g:N —>K

là các R

đồng
cấu. Khi đó, h = g°


— —
ẵ
— » z — > 0 ( * ) là dãy khớp
ngắn khi và chỉ khi / là đơn cấu, g

là toàn cấu, Im/ = Kerg . Chứne minh
Vì (*) là dãy khớp nên ta có ” ^ T—
f
- ^rọ\\mg = Kerh
flmẹ? = {0}\Kerf

={

0}
Lai có í =>\

suy ra / là đơn cấu và g

1:
[Kerh = z [ Img - Z
2.I.2.3. Ví dụ Ví
dụ 1
Cho M

là R



—»yià R

- đồng cấu. Cokexh

= là đối hạt nhân.
Xét dãy các R

- môđun và các đồng cấu
0—íữ-^Kerh—‘-^X—P-^Y/ĩmh~
ỈL_>0
(*ì-

Trong đó :
ỉ

: Kerh

—» X
v
p:Y^Y/ỉmh
+) Kerp -ysY

sao cho p(ỵ) = y +

Im/ỉ = Im/ỉ, vì thế y

G Kerp

’■

a) / là một toàn cấu
b) g

là đồng cấu tầm thường
c) h

là đơn cấu Chứng minh
a b) Theo định nghĩa, / là một toàn cấu khi và chỉ khi Im/ = B.

Mặt khác, g

là
đồng cấu tầm thường khi và chỉ khi Kerg = B.

Vì (*) là dãy khớp nên ta có Im/ =
Kerg.

Do đó a <=> b.
b c) g

là đồng cấu tầm thường khi và chỉ khi Im g = 0. Ta có /ỉ là đơn cấu khi và chỉ
khi Kerh

= 0 .Vì (*) là dãy khớp nên ta có Img = Kerh.

Do đó b c.
r Khóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 17 K36B-Sư phạm Toán
Hệ quả 1
Trong một dãy khớp tùy ý A


và h

là những
đồng cấu tầm thường nên Im g =0,Kerh =c.

Vì dãy là khớp nên ta có Img = Kerh
=>c = 0.
Hệ quả 2
Nếu dãy 0 >c >0 những môđun trên R

là khớp thì ta có c = 0.
Chứng minh
Giả sử dãy 0 >c

>0 (1) là khớp.
Do đó 0———^0—ẵ—»c—-—^0—-—^0. Ta có g

là đồng cấu tầm thường
nên / là toàn cấu, h

là đồng cấu tầm thường, suy ra k

là
đơn cấu. Do đó, c = 0 (theo hệ quả 1)
r Khóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 18 K36B-Sư phạm Toán
Hệ quả 3
Trong một dãy khớp tùy ý
A— » c —


là đồng
cấu tàm thường, điều này tương đương
%

là đơn cấu. Do đó, b c.
Hệ quả 4
Nếu dãy 0—»c—“—ỳD

—-—^0 những đồng cấu của R -

môđun là khớp thì g

là
một đẳng cấu.
Thật vậy, ta có Im/ = /(0) = 0. Do dãy trên khớp nên Im/ = Kerg

, suy ra Kerg =

0. Do đó, g

là đơn cấu. Img = Kerh = D

, suyra, g

là
toàn cấu. Vậy g

là đẳng cấu.
Tính chất 2

cũng là toàn cấu, nếu p

là một đơn cấu thì
g

là đơn cấu.
Chứng minh
Vì ba hình vuông là giao hoán nên ta có ba đẳng thức sau:
p°

°
Ỵ o o
8° °
a) Giả sử b'

e Im/? là tùy ý cho trước. Khi đó, tồn tại một phần tử b

€ B

với Ị3{tí) — b

'.
Do tính giao hoán của hình vuông thứ hai ta có
1 r~/I’\l,=Tmr=>£'eg'_1[lni7'].
Vì b

'là một phần tử tùy ý của Im/? nênlmyỡ c g'~

l


= 0.
Vì ổ

là đơn cấu, suy ra h(c)

= 0. Suy ra
rjr
‘-h =

Img (vì dòng trên là khớp).
Theo định nghĩa của Img, tồn tại một phàn tử b

e B

với g(b)=c.

Xét phần tử b' - /
3{b)

trong môđun B'.
Vì g'[b'

-J3(b)] = g’№ - g’[№] = c'-c' =

0
suy ra
b' - p{b)


e Im/?. Vì b'

là một phàn tử tùy ý của g'_1[Im/] nên ta được g,_1[Im^]<=Im yỡ
(2)
Từ (1) và (2) suy ra Im/? = ].
b) Giả sử ce Kerỵ ỵ(c)

= 0. Do tính giao hoán của hình vuông thứ 3 ta có ỏ[h(c)] =
h'[ỵ(c

)] = h'(

0) = 0 .
Vì ổ

là đơn cấu suy ra h(c

) = 0. Do đó
c

G Kerh

= Img (do dòng trên khớp).
Theo định nghĩa của Img, tồn tại một phần tử b eBvởig(b) = c.

Xét phần tử b'

=
Ị3(b) E B


) -J3[f(a)] = J3(b

) - f ’[a(a)] = b'-b’ =

0.
r

cz
KerỊ3.

Mặt khác ta có:
g[b-f(a)] = g(b)-g[f(a)] = c-0 = c.
=>CE g\Kerfĩ\.
Vì c

là phần tử tùy ý của Kerỵ

suy ra
Kerỵ cz g\Kerp\

(3)
Đảo lại, giả sử CG g[Kerj3].

Khi đó, tồn tại một phần tử b

eKerP

với
g(b) = c.

những đơn cấu thì Ị3

là đơn cấu
b) Nếu a

và ỵlầ

những toàn cấu thì /?là toàn cấu
Do đó đồng cấu /?là một đẳng cấu nếu a

và ỵỉầ

đẳng cấu
2.2. Dãy khớp chẻ ra
2.2.1. Tích trực tiếp, tổng trực tiếp, hạng tử trực tiếp của các môđun
2.2.1.1. Tích trực tiếp
Cho Mị

là các R

- môđun, ỉ'e/. Trên tậpỊ^M, = {(xi)

ieI

1Xi

G M,Ị
í'e/
xác định hai phép toán cộng và nhân vô hướng như sau:
a

2.2.1.2. Tồng trực tiếp
Cho họ các môđun • Dãy(jc,-)ie/»jcieMigỌÌ là có giá trị hữu
hạn nếu X. =

0 hầu hết.
Kí hiệu: ®Mi là tâp các dãy (jCj). có giá hữu han. Khi đó ©Mi cùng
í'e/ isl
vói hai phép toán cộng và nhân vô hướng được xác định ở trên lập thành một R -
môđun và môđun này được gọi là tổng trực tiếp của họ các môđun {iiíi}jef.
Nhân xét:
- Tổng trực tiếp của họ các môđun {Mi}

J là môđun con của tích trực tiếp YỊMÌ
- Nếu I là hữu hạn thì khái niệm tổng trực tiếp trùng với tích trực
tiếp.
Định lý
ChoM, N, L

là các R

- môđun. Các đồng cấu / :M

—»iV và g:N

—» L. Nếu h = g°
là một đẳng cấu, thì ba phát biểu sau là đúng:
i) / là một đơn cấu
ii) g

là một toàn cấu


đều có
một không gian con phụ.
r Khóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 23 K36B-Sư phạm Toán
■'
L
+ j = 0 , j = l , n
Đặc biệt M -N@P<^>M -N + P,NniP-0
2.2.2. Dãy khớp chẻ ra
2.2.2.I. Định nghĩa
Ta nói rằng một dãy khớp >x

—»y—

s
-^>z

» là chẻ
ra tại môđun Y

nếu và chỉ nếu môđun con A =

Im/ = Kerg

của môđun Y
là một hạng tử trực tiếp của Y.

Cho M

và N

là những R -

môđun. Xét dãy các R -

môđun:
0 >M —® N—
E
—>N >0
Trong đó
i:M —>M ®N

p:M@N^N
yà / \ m

I—>ựn,n)
ỉ

là đơn cấu, p

là toàn cấu.
Ta có lmi = j(ra,0)| VmeẢfỊ=M
' - _oỊ = {fWx50)|meM|^ Imỉ' = Kerp.

Suy ra
(1) là dãy khớp ngắn. Lại c ó M ©N =


= A®B

= A + B,An\B = {

0}. Ta chứng minh B

= Im^ .
Xét ánh xạ thu hẹp của ánh xạ g

vào môđun B

là ánh xạ
h = g |B:5—>z
g(x)
Do g

là đồng cấu môđun nên Mà R

- đồng cấu môđun.
Mặt khác, Kerg =ĩmf = A,AnB = {0}=>xeKerh^>xeB

(1). Lại có
X

GKerh

=^>h{x

):= g(x) = 0^ieKerg


0. Vì b&B^> g(b) = h{b). Vậy z = g(y) = h(b)

= ĩmh. Suy ra Img czĩmh

(2)
Từ (1) và (2) ta có ĩmh

= Img .Vậy B = ĩmh

=Im g

=>z? = Img túc
Y = Im/ ® Img.
2.2.2A. Các hệ quả Hệ quả 1
Nếu dãy khớp ngắn 0—
Ĩ
—>A

—1—>B

—
§
—>C