TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI II KHOA
TOÁN ***** ^ *****
NGUYỄN THỊ THÚY
TÌM HIẺU VỀ BÀI TOẬN TÌM PHÂN PHốI CỦA
HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Người hướng dẫn khoa học
Th.s.Nguyễn Trung Dũng
HÀ NỘI, 5/2014
Lời cảm ơn
Để hoàn thành khóa luân này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc đến các thầy, cô giáo trong khoa toán nói chung và thầy cô giáo
trong tổ toán ứng dụng nói riêng đã tạo điều kiện cho em trong suốt
thời gian làm khóa luận.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy Nguyễn Trung Dũng
- người đã giúp em tận tình trong quá trình chuẩn bị và hoàn thành khóa luận.
Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2014
Sinh viên
Lời cam đoan
Khóa luận của em được hoàn thành sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng
với sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Trung Dũng.
Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo một số tài liệu như đã nêu ở mục
tài liệu tham khảo. Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu khoa học của
riêng em và nó không trùng với kết quả của bất kì tác giả nào khác.
Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2014 Sinh viên
Nguyễn Thị Thúy
Mục lục
Phân phối của tích
và thương ■


PHƯƠNG PHÁP PHẤN PHỐI XẮC SUẤT
2.1.1 Mô tả phương pháp
2.1.2 Phân phối xác suất của Max và Min
9
. . . . 9
. . . . 9

■ ■ 10
2.1.3 Phân phối của tống và hiệu hai biến ngẫu nhiên

13

2.1.4
2.2.1 Mô tả phương pháp
2.2.2 Phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập
2.3 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI
2
3
2.3.1 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối xác
NHTẺ
N
3
2
Lời nói đầu
Ngày nay "Lý thuyết xác suất" đã không còn là một lĩnh vực toán
học mới mẻ mà nó đã trở thành một ngành Toán học lớn trong nền
toán học thế giới. Người ta biết đến lý thuyết xác suất không chỉ vì nó
là một ngành toán học chặt chẽ về lý thuyết mà nó còn có ứng dụng
rộng rãi trong nhiều ngành khoa học kĩ thuật, khoa học xã hội và nhân
văn. Đặc biệt nó gắn liền với khoa học thống kê, môt khoa học về các

2
). Hàm số F
XL
,X
2
(X I,X
2
)
xác định bởi F
XL
,X
2
{X 1,X
2
) = P [X
1
< XI,X
2
< X
2
], V(x i

:

x

2
) G K

2

b. Phân phối Poisson
Định nghĩa 1.4 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson
với tham số À(À >
0
), nếu
P(X = k) =
e
—^~, k=0, 1, 2,
V
Kí hiệu X ~ POI(Ằ).
c. Phân phối chuẩn (phân phối Gauss)
Định nghĩa 1.5 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn với
tha m số (ịi

:

ơ

2

) với —oo < ịi < + o o

:

ơ

2

> 0 nếu hàm mậ t độ có
dạng

Ị




Mx)=
\
0
Kí
hiệu là

X ~ Exp(X).
V
e. Phân phối đều
Định nghĩa 1.7 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối đều trên
đoạn [a,
6
] nếu hàm mật độ xác suất có dạng
Kí hiệu là X ~ U(A, B).
f. Phân phối Gamma
Định nghĩa 1.8 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Gamma
với các tham số r > 0, A > 0 nếu hàm mật độ xác suất có dạng
Kí hiệu là X ~ G{r, A).
1.2 HÀM SINH MÔMEN
1.2.1 Định nghĩa hàm sinh mômen
Định nghĩa 1.9 Cho biến ngẫu nhiên X. Hàm sinh mômen của X kí
hi ệ u là m x{t) đ ư ợc xác định b ởi

MX{T) = E(e


ỉ - +

(

.

)

Cho T — 0 ta được M'X(0) = E(X).
Đạo hàm 2 vế của (1.2) đối với T ta được
m"
x
(t) = É{X
2
) + tE{X
3
) +
Cho T = 0 ta được M"
X
(0) = E(X
2
).
Tiếp tục quá trình này ta
được mỉ>( 0) = E ( X' ) .
Định lý 1.1

Cho biến ngẫu nhiên Xcó hàmsinh mômen là mx
(

t).Kh i

^) = e
t b
E{e
atx

) =

e
t b
m
x
{at) . m
Định lý 1.2

Cho Xi, ,X

n
là cá c biến ngẫu nhiên độc lập với các
hàm sinh mômen tương ứng là rrix {t)i i = 1,2, ,71.

Dặt
n
z = CLịXị vớ i các aị, ,a
n
là cá c hằng s ố thực. Khi đó
i
=

{
a
it)- u
V
i=

 i =


1.2.2 Hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên thường gặp
a. Biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức
Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối nhị thức B(N,P) thì
m
x(í) =
(pe* + Q)
N
,Q =
1
- P.
V
Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối Becnuli .5(1, P) thì M
X
{T) =
(PÉ + Q),Q = L- P.
Thật vậy, ta có
n
M
X
(T) =£(
e

m
x
(t) = E(é
x
) = Y^e
k=0
1 (\ é)
k
k\
k
=0
A(e‘-1)
c. Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
+ Nếu X tuân theo phân phối chuẩn tắc N(0,1) thì
/ \

t- m
x
ụ) = e


.
+ Nếu X tuân theo phân phối chuẩn N(ỊÍ,Ơ
2
) thì
RN
X
(T) = Ê
V
=

— 00
— F
1

i!K =
^v
-*
3
À
8
-M
2
, = / .

e e
2
e
2
"
2
e
2

eơ
2
g
2ơ
2
DX
— J V27ĨƠ

3Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối mũ Exp( X) thì
i (*-/*)
=e

x
e

2

ơ

D X
= e

í/i+ 2
— Thật vậy, ta có
— + 00
— m
x
{t) = E{e
t x

*
(í) =
í(r^)
(eí
-
e
“
)
-
— Thật vậy, ta có
— b
— a
— ỉ. Biến ngẫu nhiên có phân phối Gamma
— Nếu biến ngẫu nhiên
theo phân phối Gamma G(R, X)
— Thật vậy, ta có
— + 00
— m
x
{t) =E(e
t x
)= Ị é
x
^ụ^x
x
-
l
e~
r x
dx

E~
X
DX = (-
1

)

a
(A- l)(A-
2
) l.
— 0
— Bằng cách tính tích phân từng phần À lần ta thu được
— =Grh) •
— Chương 2
— CÁC PHƯỢNG PHÁP TÌM
PHÂN PHỐI CỦA HÀM CÁC
BIẾN NGẪU NHIÊN
2.1PHƯƠNG PHÁP PHÂN PHỐI XÁC SUAT
2.1.1 Mô tả phương pháp
— Cho XỊ,X
N
là các biến ngẫu nhiên và , •), <72 ("j • • •

J •)>•••

)

u
,X
n
)
:
j = 1,2
— Phương pháp này được gọi là phương pháp dựa trên phân phối
xác suất.
— Đặc biệt, nếu K = 1 thì FỴ (Y) = P[Y < Y] = P[G(X
1
, ,X
N
) < Y].
— Ví dụ 2.1. Cho biến ngẫu nhiên X ~ iV(0, l).Tìm phân phối xác
suất của biến ngẫu nhiên Y = G(X) = X
2
.
— Giải Theo định nghĩa ta có
— F
Y
(y) = P[Y <y] = p [ x
2
< y ]
— = P[ -y/ỹ < X < y/ỹ]
— = Fx{y/ỹ) - F
x
{-y/ỹ),y >

.
1

— ( 0 , y < 0 .
— Sau đây là một số ứng dụng của phương pháp
này.
2.1.2 Phân phối xác suất của Max và Min
— Giả sử XỊ,X
N
là các biến ngẫu nhiên xác định
trên cùng không gian xác suất (íỉ, A, P). Ta kí hiệu
— YỊ = MINỊXI, , X
N
],Y
N
= MAXỊXI,X
N
]. Khi đó YỊ,Y
N
cũng là các biến ngẫu nhiên.
— Ta có hàm phân phối xác suất của YỊ, Y
N
có dạng
— F
Y l
(y) = PlYi<y] = l-PlY
i
>y] = l-
PlX
í
>y, ,X„>y],
— à F
Y n

— Chứng minh.
— F
Y n
{y) = P[Y
n
<y] = P[X  < y, ,x
n
< y\ (do x
u
,x
n
độc
lập)
—
—
— = n[ F
x
(y)r
1
f
x
[y).
— Định lý 2.2
— Nếu Xị, ,

X
n
là các biến ngẫu nhiên độc lâ p và có h àm
phân phối xác suất tương ứng là PxX'), = MỉnịXị, , x
n

(v) = P[Yi < v\ = 1 - P[Yi > v\ = 1 - F[Í1 > V, >
í/].
— = 1 - IỊ

P[Xị > y] (do Xi, ,x
n
độc lập)
— i = 1
71
— = 1 - n [1 -
— i = 1
— Nếu X i , X
n
là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng hàm phân
phối
xác suất là Fx(.) thì
— n
— FY M = 1 - n [1 - F
X
(Y )] = 1 - [1 - F
X
{Y ) Ỵ. .
— i = 1
— Hệ quả 2.2 Nếu Xi, , X
n
là các biến ngẫu nhiên liên tục, độc lâp và có
cùng hàm mật độ xác suất là f x { ' )

và hàm phân phối xác suất
— là Fỵ(-) thì

AO vôi A, = ^
— , y > 0 , y < 0
— Vậy YỊ ~ EXP(X), X = —, do đó EYI = —
= 10.
— IU A
2.1.3 Phân phối của tổng và hiệu hai biến ngẫu nhiên
— Định lý 2.3

Giả sứ X và Y là 2 biến ngẫu nhiên li ên tục
có hàm mật độ xác suất đồng thời Ĩxy{%i ỳ)- Đặt
z
=

X + Y
và V = X — Y thì
—
— và fy ( v)=
Ị
fxỵ {x,x - v ) dx = Ị f x,
Y
{v + y,y)dy . (2)
— 00
— Ch ứng minh .
— Ta có

F
z
{z) = P[Z <z]= P[X + Y < z\
— 
—

đó
—+ 00
— 00
— Tương tự, bằng cách thay X = u — y

ta cũng có
— + 00 z
— Fz{z) =J Ị fx,Y(u- y,y)dĩ
— 00 L- oc
— + 00
— và f z {z) = [.F
z
{z ) \ =
J
ỉxỵ {z - y,y ) dy
—
—
— + 0C r 
—
F
v (v) = J Ị f x ,Y (u + y, y)d'i
— 00 L- oc
— + 00
— fv( v ) = Y [*(„)] = J ỉ xỵ{v + y , y)dy.
— 00
— Vậy ta có (2).
và
— Hệ quả 2.3

Nếu X

— F
z
(z) = p [Z < z] = p [X + Y < z]
— + 00 +00
—
J P [ X + Y < z \ x =
x]fx(x)dx =
Ị P [ x + Y < z ] f x { x ) d
— -00 —00 + 00
— I FY(Z —

x)fx{x)dx. Do đó
— + 00
—
J
F
y
(z —

x)fx{x)dữ
— lí- oc -I
—
+
00

+00
— =
J
J- [F
y

FY{Y) = I(ỮI){
X
)- Chứng minh rằng
1 < z = X + Y <2.
— Giải. Ta có
— + 00
— fz(z ) =

fx+y(z) =

J f
Y
(z- x)fx(x)d.
— — 00
+ 00
— =
J I (
0,1) (2 - íc)/(
0>
i)(íc)díc
— 00 + 00
— = / [A0,*)(
a;
)
/
(0
>
l)(
2:
)

hàm
— X
— mật độ xác su ất fX Y (*£) y)•

Giả sử z — XY và u = —

thì
— +00 +00
—
ỉ z ( z ) =
I ị \
f x
-
r
(*-
x )
d x =
/
ị ỹ \
f x
'
r
(»’
y
)
ẽ v
'

(4)
— 00 —00