Hoàng Văn Tài Bài dạy BD Đội tuyển toán tháng 8 năm 2006.
Chuyên đề:
áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số
dạng toán về phép chia hết và phép chia
còn d.
I) Lí thuyết về đồng d :
1) Định nghĩa:
Nếu hai số nguyên a và b khi chia cho c (c 0) mà có cùng số d thì ta
nói a đồng d với b theo môđun c; kí hiệu là a b (mod c).
Nh vậy: a b (mod c)

a b chia hết cho c.
Hệ thức có dạng: a b (mod c) gọi là một đồng d thức, a gọi là vế trái
của đồng d thức, b gọi là vế phải còn c gọi là môđun.
2) Một số tính chất:
Kí hiệu a; b; c; d; m; là các số nguyên dơng (Z
+
), ta luôn có:
a) Tính chất 1:
* a a (mod m);
* a b (mod m) b a (mod m);
* a b (mod m) và b c (mod m) thì a c(mod m);
b) Tính chất 2: Nếu a b (mod m) và c d (mod m) thì:
* a c b d (mod m);
* ac bd (mod m);
* Nếu d là một ớc chung của a; b; m thì:
a
d

b
d

tìm đợc số x (0

x < m) sao cho A x (mod m).
===========================================================
áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán
về phép chia hết và phép chia còn d .
1
Hoàng Văn Tài Bài dạy BD Đội tuyển toán tháng 8 năm 2006.
Ví dụ: Tìm số d trong phép chia số 1993
2000
cho số 3 ?
Giải
Ta có: 1993 1 (mod 3) 1993
2000
1
2000
(mod 3) 1 (mod 3)
Vậy: số 1993
2000
khi chia cho 3 thì d 1.
Dạng 2: Tìm dấu hiệu chia hết cho các số nhỏ
Phơng pháp: Để tìm dấu hiệu của số A chia hết cho m thì ta tách số
A hợp lý để đợc một biểu thức đơn giản nhất của các chữ số của A là
f(A) sao cho A f(A) (mod m).
Ví dụ: Tìm dấu hiệu chia hết cho 3 ?
Giải
Xét số tự nhiên có n + 1 chữ số: A =
n n-1 1 0
a a a a
Ta có: A =

) + + (a
1
.9 + a
1
)+ a
0
r (mod 3)
(a
n
.
99 9
+ a
n-1
.
99 9
+ + a
1
.9) + (a
n
+ a
n-1
+ + a
1
+ a
0
) r (mod 3)
Nhận xét: a
n
.
99 9

a a a a
khi chia cho 3 có cùng số d khi chia tổng
các chữ số của A cho 3.
Từ đó: A chia hết cho 3 tổng các chữ số của A chia hết cho 3.
Dạng 3: chứng minh sự chia hết
Phơng pháp: Để chứng minh số A chia hết cho m, ta đi chứng minh
A 0 (mod m).
Ví dụ 1: Chứng minh rằng số A = 2222
5555
+ 5555
2222
chia hết cho 7 ?
Giải
Nhận xét: 2222 3 (mod 7) (1)
Từ đó: 2222
4
3
4
(mod 7) hay 2222
4
81 (mod 7)
Mà 81 4 (mod 7) 2222
4
4 (mod 7) (2)
Nhân vế với vế (1) và (2) ta đợc 2222
5
3.4 (mod 7)
===========================================================
áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán
về phép chia hết và phép chia còn d .

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số B = 4
2n+1
+ 3
n+2

luôn chia hết cho 13 ?
Giải
Nhận xét 1: 4
2
= 16 3 (mod 13) (4
2
)
n
3
n
(mod 13)
4
2n
3
n
(mod 13)
Mà 4 4 (mod 13)
4
2n+1
4.3
n
(mod 13)
Hay 4
2n+1
4.3

2
+ n 1 luôn chia hết cho đa thức B = (n 1)
2
?
Giải
Nhận xét 1: Với n = 2 thì A = 1, B = 1, rõ ràng A chia hết cho B.
Với n > 2, ta biến đổi A nh sau:
A = n
n
n
2
+ n 1 = n
2
(n
n-2
- 1) + (n - 1)
= n
2
(n - 1)(n
n-3
+ n
n-4
+ + 1) + (n - 1)
= (n 1)(n
n-1
+ n
n 2
+ + n
2
+ 1)

+ 1) 0 (mod (n 1)
2
)
Hay: A = (n 1)(n
n-1
+ n
n 2
+ + n
2
+ 1) chia hết cho (n 1)
2
.
Vậy: A = n
n
n
2
+ n 1 luôn chia hết cho đa thức B = (n 1)
2
.
===========================================================
áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán
về phép chia hết và phép chia còn d .
3
Hoàng Văn Tài Bài dạy BD Đội tuyển toán tháng 8 năm 2006.
Dạng 4: tìm các chữ số tận cùng của một số lớn
Phơng pháp: Tìm m chữ số tận cùng của số A là tìm số d khi chia
A cho 10
m
.
Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của số A =

20
2 (mod 10)
Vậy A chia cho 10 d 2 hay là A có chữ số tận cùng là 2.
Ví dụ 2: Tìm sáu chữ số tận cùng của số B = 5
21
?
Giải
Nhận xét: B = 5
15
= 5
3.5
= 125
5
(-3)
5
(mod 2
6
)
Hay 5
15
13 (mod 2
6
) 5
15
.5
6
13.5
6
(mod 2
6

ĐS: a 2b + 4c chia hết cho 21.
Dạng 3: chứng minh sự chia hết
Bài 5: Cho n là một số tự nhiên. Chứng minh rằng:
3
n
+ 1 chia hết cho 10 3
n+4
+ 1 chia hết cho 10 ?
Bài 6: Cho n là một số nguyên dơng. Chứng minh rằng:
a) A = 2
4n
1 chia hết cho 15;
b) B = 2
5n
1 chia hết cho 31;
c) C =
5
2
2
+ 1 chia hết cho 641;
d) D = 6
2n
+ 19
n
2
n+1
chia hết cho 17;
e) E = 7.5
2n
+ 12.6

69
chia hết cho 102 ?
b) B =
1930 1975
1890 + 1945 + 1
chia hết cho 7 ?
Bài 9: Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng:
Số M = 21
2n+1
+ 17
2n+1
+ 15 không chia hết cho 19 ?
===========================================================
áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán
về phép chia hết và phép chia còn d .
4
Hoàng Văn Tài Bài dạy BD Đội tuyển toán tháng 8 năm 2006.
Bài 10: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n > 1 ta luôn có:
A = n
n
+ 5n
2
11n + 5 chia hết cho (n 1)
2
?
Bài 11: Cho a; b là các số nguyên. Chứng minh rằng:
2a + 11b chia hết cho 19 5a + 18b chia hết cho 19 ?
Dạng 4: tìm chữ số tận cùng của một số lớn
Bài 12: Tìm chữ số tận cùng của số: A =
9