TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
====== NGUYỄN THỊ LÝ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. ĐINH THỊ KIM THÚY

HÀ NỘI - 2014
LỜI CẢM ƠN


Nguyễn Thị Lý

MỤC LỤC
Trang
LỜI NÓI ĐẦU 1
NỘI DUNG 2
CHƢƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 2
1.1. Không gian vectơ 2
1.2. Ma trận 5
1.3. Định thức 6
CHƢƠNG 2: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 9
2.1. Các khái niệm cơ bản 9
2.2. Hệ phương trình Cramer 11
2.3. Định lý Kronecker-Capelli 13

Đưa ra một số ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính và hệ thống các
ví dụ minh họa cho mỗi ứng dụng.
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: kiến thức về hệ phương trình tuyến tính.
Phạm vi nghiên cứu: lý thuyết và một số ứng dụng về hệ phương trình
tuyến tính.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày cơ sở lý thuyết về hệ phương trình tuyến tính.
Đề xuất một số dạng toán thường gặp về hệ phương trình tuyến tính, ứng
dụng và ví dụ minh họa.
5. Các phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu sử dụng các lý luận, các công cụ toán học.
Nghiên cứu các tài liệu liên quan.
2

NỘI DUNG

CHƢƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

1.1. Không gian vectơ
1.1.1. Không gian vectơ
Cho V là một tập khác rỗng mà các phần tử kí hiệu là

,

,



+
(



), 

,

,

V
(V
2
) 
0
V:
0




=



0

=






=




, 

,

V
(V
5
) (



)


=






(V
7
)

(


) = (

)

, 

,

 K,

V
(V
8
) 1.


=

, 

V
Khi đó V cùng với hai phép toán đã cho được gọi là một không gian
vectơ trên trường K hay K - không gian vectơ (gọi tắt là không gian vectơ).

một không gian vectơ con của V khi và chỉ khi W   và W ổn định đối với
hai phép toán của V.
Chứng minh
Điều kiện cần suy trực tiếp từ định nghĩa trên. Để chứng minh điều kiện
đủ, ta cần chứng minh rằng W cùng với hai phép toán của V thu hẹp trên nó, là
một K - không gian vectơ, tức là nó thỏa mãn 8 tiên đề về không gian vectơ.
Các tiên đề (V
1
), (V
4
), (V
5
), (V
6
), (V
7
), (V
8
) được nghiệm đúng với mọi phần
tử của V nên chúng cũng nghiệm đúng với mọi phần tử của W.
Vì W  , nên có ít nhất một phần tử

 W. Khi đó
0

= 0

 W. Phần
tử
0

i



=

1
1

…

n
,
n


4

trong đó:

1
,…,

n
 K.
b) Giả sử

=

1

n

.
c) Hệ vectơ (
1

,
2

,…,
n

) được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức:

1
1

…

n
n

=
0

chỉ xảy ra khi

1
=…=


ta còn quy ước dimV = 0.
b) Nếu V không có cơ sở nào gồm hữu hạn phần tử thì nó được gọi là
không gian vectơ vô hạn chiều.
Tọa độ của vectơ
Cho (e) = 
1
e
,
2
e
,…,
n
e
 là một cơ sở của K - không gian vectơ n chiều
V. Lúc đó, mỗi vectơ

 V đều có biểu thị tuyến tính duy nhất:


= x
1
1
e
+ x
2
2
e
+…+ x
n
,



trong cơ sở đó.
1.2. Ma trận
Cho K là một trường tùy ý. Một bảng gồm m.n phần tử a
ij
 K có dạng:







11 12 1
21 22 2
12
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
(1)
được gọi là một ma trận kiểu (m, n). Mỗi a
ij
được gọi là một thành phần của
ma trận.
Ta thường kí hiệu ma trận bởi các chữ A, B, … Ma trận (1) có thể kí hiệu
đơn giản bởi A = (a

 Khi n = 1 thì ma trận chỉ có một cột và m dòng, được gọi là ma trận cột.
Hạng của ma trận
 Hệ con độc lập tuyến tính tối đại: Cho một hệ vectơ
 
i
iI
a

của không
gian vectơ V. Một hệ vectơ con
 
,
j
jJ
a

J  I (của hệ đó) được gọi là một hệ
con độc lập tuyến tính tối đại của hệ đã cho nếu nó là một hệ vectơ độc lập
tuyến tính và nếu thêm bất cứ vectơ
k

nào (k  I \ J) vào hệ con đó thì ta đều
nhận được một hệ phụ thuộc tuyến tính.
6

 Hạng của một hệ vectơ: Cho một hệ gồm một số hữu hạn vectơ của
không gian vectơ V. Ta gọi số vectơ của hệ con độc lập tuyến tính tối đại của
hệ là hạng của hệ vectơ đã cho.
Kí hiệu hạng của hệ vectơ (
1

)
n
được gọi là định thức cấp n
và kí hiệu detA hay
A 

 Cho A là ma trận vuông cấp n. Nếu chọn k dòng và k cột của A(1kn)
thì định thức M của ma trận vuông cấp k gồm các thành phần nằm ở giao của k
dòng và k cột này được gọi là một định thức con cấp k của ma trận A.
 Định thức
M

của ma trận vuông cấp n  k nhận được sau khi xóa đi k
dòng và k cột đó được gọi là một định thức con bù của định thức con M.
 Nếu k dòng đã chọn là i
1
,…, i
k
và k cột đã chọn là j
1
,…, j
k
thì ta gọi

  

1
( 1) ( ).
k
qq

.
Vậy ta có công thức: detA = a
i1
A
i1
… a
in
A
in
(khai triển detA theo dòng i)
hay detA = a
1j
A
1j
… a
nj
A
nj
(khai triển detA theo cột j).
7

Ví dụ. Xét định thức D =
1 2 3 2
0 2 4 1
1 5 1 4
0 5 2 1

khi đó:
Định thức D
1

=
2 4 1
5 1 4
5 2 1
= 51.
Để tính định thức trên ta thực hiện phép biến đổi:

13
( 1)
1 2 3 2 1 2 3 2
0 2 4 1 0 2 4 1
1 5 1 4 0 3 2 2
0 5 2 1 0 5 2 1
DD
D

 


Khai triển định thức theo cột 1, ta có:

11
2 4 1
1.( 1) 3 2 2 32
5 2 1
D

   
A A A
A
A A A

trong đó A
ij
là phần bù đại số của a
ij
,
Adet
1
= (detA)
1
 K.
Chứng minh: Xét ma trận
A =







11 21 1
12 22 2
12
n
n
n n nn
A A A

t
A
= (detA).E
n
.
Tương tự, bằng cách khai triển các định thức theo cột, ta sẽ nhận được:
t
A
.A = (detA).E
n
.
Vậy, khi detA  0 thì A khả nghịch và A
-1
=
1
det A
t
A
.  9 CHƢƠNG 2: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

2.1. Các khái niệm cơ bản


(1)
trong đó các a
ij
, b
i
là các phần tử cho trước thuộc trường K được gọi là một hệ
phương trình tuyến tính trên trường K. Các a
ij
được gọi là các hệ số của ẩn,
các b
i
được gọi là các hệ số tự do.
Một nghiệm của hệ (1) là một bộ n số (c
1
, c
2
,…, c
n
)  K sao cho khi thay
x
1
= c
1
, x
2
= c
2
,…, x
n






11 1 1
21 2 2
1
n
n
m mn m
a a b
a a b
a a b

là ma trận bổ sung của hệ (1) hay ma trận các hệ số mở rộng của (1).

10

Đặt :
X =
1
2
n
x
x
x







i= 1, 2,…, m
Nếu coi mỗi cột của ma trận A
bs
như một vectơ trong không gian K
m
,
chẳng hạn:
j

= (a
1j
, a
2j
,…, a
mj
),
1,jn


= (b
1
, b
2
,…, b
n
)
Thì ta cũng có thể viết hệ (1) dưới dạng :

- Cộng vào cả hai vế của một phương trình tương ứng với tổ hợp tuyến
tính các phương trình còn lại.
2.2. Hệ phƣơng trình Cramer
2.2.1. Định nghĩa
Hệ phương trình tuyến tính Ax =

được gọi là một hệ Cramer nếu nó có
số phương trình bằng số ẩn (nói cách khác, nếu A là một ma trận vuông) và
nếu detA  0.
2.2.2. Giải hệ Cramer
Định lý: Hệ phương trình Cramer Ax =

có một nghiệm duy nhất được tính
bằng công thức:
x
j
=
det
det
j
A
A
,
(1 )jn

trong đó A
j
là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ j bởi cột
hệ số tự do










trong đó A
ij
là phần bù đại số của a
ij
trong detA. Từ đó:
x = A
-1


11
1
( )
det
1, ,
j j nj n
x A b A b
A
jn

  



1
A
1j
 b
2
A
2j
… b
n
A
nj
. 
Ví dụ. Giải hệ phương trình sau:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 2 1
32
x x x
x x x
x x x

  

  


  


detA
3
=
1 1 1
211
112
= 1
x
1
=
1
det
det
A
A

=
1
2

; x
2
=
2
det
det
A
A

= 1; x

ij j i
j
a x b
im










có nghiệm khi và chỉ khi rankA = rankA
bs
.
Chứng minh. Xét hệ phương trình đã cho dưới dạng vectơ:

1
(2)
n
ii
i
x






,

). Vậy rankA = ranhA
bs
.
Ngược lại, nếu rankA = rankA
bs
thì hạng của hệ (
1

,
2

,…,
n

) bằng
hạng của hệ (
1

,…,
n

,

). Do đó, nếu (
1i

,…,
ir


biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ (
1

,…,
n

).
Suy ra hệ (2) có nghiệm. 
2.4. Các phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình tuyến tính
2.4.1. Phương pháp định thức
Cho hệ phương trình tuyến tính:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2(1)nn
nn
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b

   

   

,…,
r

) và vectơ
(
1

,
2

,…,
n

,

).
Ta có:
1 1 1
n r n
i i i i j j
i i j r
x x x
    
   
   
  

Với mỗi bộ n  r phần tử c
r1
,…, c

i i j j
i j r
cc
  
  



Khi đó ta có (c
1
,…, c
r
, c
r1
,…, c
n
) là một nghiệm của hệ phương trình.
Do hệ (3) độc lập tuyến tính nên r phần tử (c
1
, c
2
,…, c
r
) được xác định một
cách duy nhất phụ thuộc vào n  r phần tử (c
r1
,…, c
n
) đã cho. Suy ra:
- Nếu r = n thì hệ có nghiệm duy nhất.

r1
,…, x
n
) như những
tham số rồi giải hệ gồm r phương trình với r ẩn x
1
,…, x
r
:
11 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
r r r r n n
r rr r r rr r rn n
a x a x b a x a x
a x a x b a x a x



     



     


15


1 1 3 4
0 0 2 2
0 1 3 6
0 1 5 3

  


=
0 2 2 0 2 2
1 3 6 0 2 9
1 5 3 1 5 3

    


= (1)
3+1
22
29


= 2.(9)2.(2) = 14.
Do
40A  
nên hệ có nghiệm duy nhất. Ta có:
detA
1
=
3 1 3 4

2 3 11 2


= 14;
x =
1
det
det
A
A
= 2; y =
2
det
det
A
A
=0;
16

z =
3
det
det
A
A
= 1; t =
4
det
det
A

Giả sử có một hệ số a
ij
 0. Nếu cần có thể đổi chỗ các phương trình và
đánh số lại các ẩn, nên không giảm tính tổng quát ta có thể coi a
11
 0.
Khi đó, nhân hai vế của phương trình đầu với
11
1
a

ta được hệ số của x
1

trong phương trình thứ nhất của hệ bằng 1. Sau đó nhân phương trình này với
a
i1
rồi cộng vào phương trình thứ i, lần lượt với i = 2,…, m ta nhận được
phương trình tương đương có dạng:
1 12 2 1 1
22 2 2 2
2

nn
nn
m mn n m
x a x a x b

01
0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
r
r
m
b
b
b
b
b


   

  












Các dấu  kí hiệu những phần tử có thể khác 0 trong trường K. Nếu có

Cụ thể x
r
được tìm từ phương trình thứ r trước, sau đó x
r1
được tìm từ phương
trình thứ r  1,…, x
1
được tìm từ phương trình thứ nhất.
Ví dụ. Giải hệ phương trình:
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 5
1 2 3 5
1
32
1
3 3 3 4
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x

    

    


   






1 1 1 1 1 1
0 2 4 2 0 1
0 2 2 1 0 0
0 4 6 3 0 1











18

32
42
2
DD
DD



1 1 1 1 1 1
0 2 4 2 0 1

34
1 (1)
2 4 2 1 (2)
2 1 (3)
x x x x x
x x x
xx

    

   


   


Từ (3)  x
3
=
1
2

x
4

1
2

Thay x
3

c
4
 c
5
 1,
1
2
,
1
2

c
4

1
2
, c
4
, c
5
).
Chú ý: Phương pháp khử Gauss được ứng dụng vào việc tìm ma trận nghịch
đảo và từ đó ta có thể tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính Ax = b, A là
ma trận vuông cấp n khả nghịch. Khi đó nghiệm của hệ phương trình là:
X = A
1
b. ()
Ví dụ: Giải hệ phương trình
21
33

1







Ta thấy rankA = rankA
bs
= 3, hệ có nghiệm. Do
A
= 4  0 nên ma trận
nghịch đảo của ma trận A là:
A
-1
=
2 2 4
1
6 4 6
4
2 0 2









1
3
1






=
1
4
12
24
4







=
3
6
1





0
0

0
nn
nn
m m mn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x

   

   




   

(1)
2.5.2. Không gian các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Định lý: Tập hợp L tất cả các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần
nhất (1) là một không gian vectơ con của không gian vectơ K
n
, số chiều là
dimL= n  rankA, trong đó A = (a
ij
)
m

… x
r
r

… x
n
n

=
0

Ta có:
c
1
1

… c
r
r

… c
n
n

=
0

d
1
1

n
)
n

=
0
,
(kc
1
)
1

  (kc
r
)
r

… (kc
n
)
n

=
k(c
1
1

… c
r
r

,…, kc
r
,…, kc
n
) = k


là những nghiệm của hệ (1) hay:



 L, k

 L.
Vậy L là một không gian con của K
n
.
Giả sử rankA = r.
Nếu r = n thì L = 
0
= (0, 0,…, 0). Do đó dimL = 0.
Nếu r  n, không giảm tính tổng quát có thể giả thiết định thức con cấp r
góc trên bên trái của ma trận A khác 0:
11 1
1
r
r rr
aa
aa
 0

, 0, 0,…, 1)
thì hệ này có hạng bằng n – r, do đó định thức cấp n – r khác không là:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= 1 0
Vậy hệ
1

,…,
nr


 độc lập tuyến tính.
Giả sử

= (d
1
,…, d
r
, d
r

1
,…, d
n
)  L thì ta có:
d
1
1







cho nên có
1
1, ,
r
ri
ij j
j
c
i n r




  







suy ra
1
0




1 1 1
()
r n r r
j j r i ij j
j i j
d d c



  

  


1 1 1
()
r r n r
j j r i ij j
j j i
d d c



  

  