7

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC
NGUYỄN THỊ KIM TÂN
HÌNH THÀNH KỸ NĂNG GIẢI TOÁN TÌM
HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TỈ CHO HỌC
SINH TIỂU HỌC

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

HÀ NỘI, 2011

Trong các dạng toán giải bằng lời văn, tôi đặc biệt quan tâm tới dạng bài:
tìm hai số khi biết tổng và tỉ số. Bởi khi học sinh nắm chắc được phương pháp
giải dạng toán này thì có thể áp dụng cách giải dạng bài này vào các dạng bài
tương tự đồng thời giúp học sinh hình thành kĩ năng làm các dạng bài như: Tìm
hai số khi biết hiệu và tỉ số; Tìm hai số khi biết tỉ số; Vì vậy để góp phần
nâng cao hiệu quả dạy học toán ở Tiểu học và khắc phục những lỗi sai của học
sinh trong giải toán có lời văn đặc biệt là dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ
số của hai số đó tôi đã dành thời gian nghiên cứu và lựa chọn đề tài: “Hình
thành kĩ năng giải dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số cho học sinh
Tiểu học”
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số, từ đó đề xuất
phương pháp hình thành kĩ năng giải dạng toán này cho học sinh Tiểu học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận của đề tài.
- Tìm hiểu phương pháp dạy học dạng toán: Tìm hai số khi biết tổng và tỉ
số ở trường Tiểu học.
- Xây dựng hệ thống bài tập về dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số.
4. Đối tượng nghiên cứu
- Đối tượng: Phương pháp dạy học dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ
số ở trường Tiểu học.

10

5. Phạm vi nghiên cứu
- Phạm vi nghiên cứu là các bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số trong
chương trình ở trường Tiểu học.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp quan sát.

suy nghĩ của trẻ rộng hơn, những vấn đề đặt ra phong phú hơn và phức tạp hơn.
Bởi vậy, muốn giáo dục trẻ thì bản thân chúng ta phải hiểu trẻ, ngược lại muốn
hiểu trẻ thì phải tiến hành giáo dục trẻ.
1.1.1. Về tri giác
Tri giác của học sinh Tiểu học mang tính đại thể, ít đi sâu vào chi tiết và
mang tính chủ định. Do đó, các em phân biệt những đối tượng còn chưa chính
xác, dễ mắc sai lầm, có khi còn lẫn lộn. Tri giác trước hết là những sự vật,
những dấu hiệu, những đặc điểm nào trực tiếp gây cho các em những xúc cảm.
Vì thế, cái trực quan, cái rực rỡ, cái sinh động được các em tri giác tốt hơn, dễ
gây ấn tượng cho các em hơn.
1.1.2. Về chú ý
Ở lứa tuổi học sinh Tiểu học, chú ý không chủ định được phát triển. Những
12

gì mang tính mới mẻ, bất ngờ, rực rỡ, khác thường sẽ dễ dàng lôi cuốn sự chú ý
của các em mà không cần sự lỗ lực của ý chí. Ở lứa tuổi này, chú ý có chủ định
của các em còn yếu, khả năng điều chỉnh chú ý một cách có ý chí chưa mạnh.
Sự chú ý của học sinh đòi hỏi một động cơ gần thúc đẩy.
1.1.3. Trí nhớ
Học sinh Tiểu học chủ yếu vẫn là ghi nhớ máy móc. Trí nhớ trực quan
hình ảnh phát triển hơn trí nhớ từ ngữ trừu tượng. Các em nhớ và giữ gìn chính
xác những sự vật, hiện tượng cụ thể nhanh hơn và tốt hơn những định nghĩa,
những lời giải thích dài dòng.
1.1.4. Tưởng tượng
Tưởng tượng của học sinh Tiểu học đã phát triển và phong phú hơn so với
trẻ mẫu giáo. Đây là lứa tuổi thơ mộng giúp cho các em phát triển trí tưởng
tượng. Tuy vậy, tưởng tượng của các em còn tản mạn, ít có tổ chức. Hình ảnh
của tưởng tượng còn đơn giản, chưa được gọt rũa, hay thay đổi, chưa bền vững.
Đến cuối cấp Tiểu học, tính trực quan tưởng tượng của các em giảm dần, các
em có khả năng tưởng tượng sáng tạo. Sở dĩ như vậy là vì các em đã có kinh

+ Mục đích của bài toán thể hiện qua: “Tổng của hai số bằng 514 và nếu
viết thêm chữ số 8 vào bên phải số lớn thì được số lớn đã cho”
1.4. Lời giải cho bài toán
Lời giải của bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác cần thực hiện
14

để đạt tới mục đích đã đặt ra.
Như vậy ta thống nhất lời giải, bài giải, cách giải, của bài toán.
Một bài toán có thể có:
- Một lời giải.
- Không có lời giải.
- Nhiều lời giải.
Giải được một bài toán được hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một
lời giải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải, hoặc có lí giải được
bài toán là không giải được trong trường hợp nó không có lời giải.
1.5. Ý nghĩa của việc giải toán
Giải toán có ý nghĩa to lớn đóng vai trò quan trọng trong quá trình học
Toán của học sinh Tiểu học. Cụ thể:
- Giải toán củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh Tiểu học.
- Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh Tiểu học.
- Rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức toán cho học sinh Tiểu học.
- Bồi dưỡng và phát triển nhân cách cho học sinh Tiểu học.
1.6. Phương pháp tìm lời giải của bài toán
1.6.1. Phân loại bài toán
Người ta phân loại các bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt được
mục đích nhất định, thường là để sử dụng nó một cách thuận lợi.
a. Phân loại theo hình thức bài toán
Người ta căn cứ vào kết luận của bài toán: Kết luận của bài toán đã cho
hay chưa để phân chia bài toán ra thành hai loại:
15

Ví dụ:
“Cho hình vuông ABCD có cạnh 20cm. Gọi M, N lần lượt là điểm chính
giữa của cạnh AB, BC. Nối CM và DN cắt nhau tại I. Hãy tính diện tích của
hình tứ giác AMID”
c. Phân loại theo nội dung bài toán
Người ta căn cứ vào nội dung của bài toán được phát biểu theo thuật ngữ
của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành các
loại khác nhau như sau:
- Bài toán số học.
+ Bài toán về chuyển động đều.
+ Bài toán về tuổi.
+ Bài toán trồng cây.
+ Bài toán về cấu tạo số.
- Bài toán hình học.
d. Phân loại theo ý nghĩa
Người ta dựa vào ý nghĩa của việc giải toán để phân loại bài toán: Bài toán
này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kĩ năng nào đó, hay là
bài toán nhằm phát triển tư duy. Ta có hai loại bài toán như sau:
- Bài toán củng cố kĩ năng: Là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau
khi học một hoặc một vài kiến thức cũng như kĩ năng nào đó.
- Bài toán phát triển tư duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các
17

kiến thức cũng như kĩ năng, kĩ xảo nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng
tư duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.
1.6.2. Phương pháp tìm lời giải của bài toán
Dựa theo 4 bước của G. POLIA
Bước 1: Tìm hiểu đề
Trước khi giải một bài toán ta phải phân tích đề bài của bài toán, rồi tìm
hiểu thấu đáo nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau:

của bài toán để làm kết luận mới, từ đó rút ra các tiền đề lô-gic mới của kết luận
mới này… Quá trình ấy lại được tiếp diễn ta tìm được các tiền đề lô-gic trùng
với giả thiết của bài toán, ta có được lời giải của bài toán.
Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau: Chú ý: Thông thường trong trường hợp để tìm được lời giải của bài toán ta
thường kết hợp cả 2 phương pháp đi xuôi và đi ngược.
Ví dụ: Phân tích quá trình tìm lời giải bài toán sau:
“Một hình chữ nhật có chu vi là 120m, chiều rộng bằng
3
2
chiều dài.
Tính diện tích hình chữ nhật đó.”
Hướng dẫn:
+ Tóm tắt đề toán:
X
<=

C
<=
A
(trong đó A, B giả thiết còn X là kết luận )
D <= B
=>
X (trong đó A, C là các giả thiết còn X là kết luận)
C=>D
A=>B
19


toán đã cho, chúng ta có nhiều cơ hội thuận lợi để tìm ra lời giải của bài toán đã
cho.
Theo G. POLIA chúng ta thường phải đặt ra các câu hỏi sau: “Bạn có
biết một bài toán nào gần giống với bài toán của bạn không?”; “Đây là một bài
toán gần giống với bài toán của bạn đã giải được rồi. Bạn có thể dùng được nó
làm gì không?”; “Nếu bạn không giải được bài toán đã cho, thì trước hết hãy
giải bài toán gần giống với nó”
Bước 3: Thực hiện chương trình giải
Đây là quá trình tổng hợp lại của bước xây dựng chương trình, ta dùng
các phép suy luận hợp lô-gic xuất phát từ giả thiết của bài toán, các mệnh đề
toán học đã biết ta suy dần ra tới kết luận của bài toán.
Trong bước thực hiện chương trình giải một bài toán cần chú ý phân biệt
sự khác nhau giữa những điều đã thấy được và những điều suy ra được – chính
là điều chứng minh được.
Bước 4: Nhận xét lời giải và khai thác bài toán
Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm
được của bài toán.
Tìm các cách giải khác nếu có của bài toán.
Nghiên cứu các bài toán có liên quan.
21

CHƯƠNG 2
HÌNH THÀNH KĨ NĂNG GIẢI DẠNG TOÁN TÌM HAI SỐ KHI BIẾT
TỔNG VÀ TỈ

2.1. Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ của hai số đó trong chương
trình Tiểu học

3
số lớn hay số bé chiếm 3
phần, số lớn chiếm 5 phần. Nếu biểu thị số bé bằng 3 phần bằng nhau thì số lớn
bằng 5 phần như thế.
+ Biểu thị các dữ kiện của bài toán trên sơ đồ. Tổng của hai số là 96 đó là
tổng các phần của hai số đó.
Ta có sơ đồsau : Số bé :
Số lớn : Dựa vào sơ đồ: Tìm lời giải cho bài toán.
+ Theo sơ đồ 96 ứng với 8 phần bằng nhau (8 = 5 +3) hay gọi đây là tổng
số phần bằng nhau.
+ 8 phần bằng nhau có giá trị là 96. Vậy sẽ tìm được giá trị của một phần
là (96 :8)
+ Tìm được số bé (96 : 8 x 3), số lớn (96 – số bé)
- Lời giải của bài toán như sau:
Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là:
5 +3 = 8 (phần)
Số bé là:
96 : 8 x 3 = 36
Số lớn là:
96 – 36 = 60
Đáp số: Số bé: 36
Số lớn: 60
96
?
?

23


Tương tự bài toán mẫu số một, bài toán này được giải tương tự theo các
bước cụ thể sau:
- Vẽ sơ đồ đoạn thẳng.
Tỉ số là
3
2
, tỉ số này cho biết số vở của Minh bằng
3
2
số vở của Khôi. Tức
là nếu ta biểu diễn số vở của Minh là 2 phần bằng nhau thì số vở của Khôi sẽ là
3 phần như thế.
Biểu diễn các dữ liệu trên sơ đồ nhưng lưu ý học sinh bài toán mẫu số hai
này có sự khác biệt đó là xuất hiện danh số (hay kèm theo đơn vị quyển vở) cần
phải thể hiện trên sơ đồ.
Ta có sơ đồ sau:
Số vở của Minh:
Số vở của Khôi:

Dựa vào sơ đồ trên bài toán được giải tương tự bài toán mẫu số một, lời
giải bài toán như sau:
Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là:
2 + 3 = 5 (phần)
Số vở của Minh là:
25 : 5 x 2 = 10 (quyển)
Số vở của Khôi là:
25 – 10 = 15 (quyển)
Đáp số: Minh: 10 quyển vở
Khôi: 15 quyển vở

3
.
Bài 2: Một người đã bán được 280 quả cam quýt, trong đó số cam bằng
5
2

số quýt. Tìm số cam, số quýt.
Bài 3: Lớp 4A và lớp 4B trồng được 330 cây. Lớp 4A có 34 học sinh, lớp
4B có 32 học sinh. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây, biết rằng mỗi học
sinh đều trồng được số cây như nhau?
26

Bài 4: Một hình chữ nhật có chu vi là 350 m, chiều rộng bằng
4
3
chiều dài.
Tìm chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật đó.
* Tiết thứ hai:
Bài 1: Một sợi dây dài 28m được cắt thành hai đoạn, đoạn thứ nhất dài gấp
3 lần đoạn thứ hai. Hỏi mỗi đoạn dài bao nhiêu mét?
Bài 2: Một nhóm học sinh có 12 bạn, trong đó số bạn trai bằng một nửa số
bạn gái. Hỏi nhóm đó có mấy bạn trai, mấy bạn gái?
Bài 3: Tổng của hai số là 72. Tìm hai số đó, biết rằng nếu số lớn giảm 5
lần thì được số bé.
Bài 4: Nêu bài toán rồi giải bài toán theo sơ đồ sau :
Thùng 1:
Thùng 2:

- Các bài tập trong phần luyện tập chung trang trong hai tiết này cũng có
một số bài toán ở mức độ phức tạp đòi hỏi học sinh có tư duy tốt. Học sinh phải

số ô tô. Hỏi gian hàng đó có bao nhiêu chiếc ô tô?
* Các bài luyện tập chung trang 176.
Bài 1: Viết số thích hợp vào ô trống.
Tổng hai số 91 170 216
Tỉ số của hai số
6
1

3
2

5
3

Số bé
Số lớn
Tổng của hai số 72 120 45
Tỉ số của hai số
5
1

7
1

3
2

Số bé
Số lón
28Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là:
121
?
?
Số bé:

Số lớn:

29

5 + 6 = 11 (phần)
Số bé là:
121 : 11 x 5 = 55
Số lớn là:
121 – 55 = 66
Đáp số: 55 và 66
- Các bài tập luyện tập phần lớn nằm trong phần ôn tập giải toán. Các bài
tập dưới hình thức mới đó là các bài toán liên quan đến hình học, toán chuyển
động…
* Ôn tập giải toán trang 18 có:
Bài 1: Tổng của hai số là 80. Số thứ nhất bằng
9
7
số thứ hai. Tìm hai số
đó.
Bài 2: Một vườn hoa hình chữ nhật có chu vi là 120m. Chiều rộng bằng

+ Thấy được các yếu tố đã cho, các yếu tố cần tìm.
Do đó phương pháp thông dụng để giải dạng toán này là phương pháp sơ
đồ đoạn thẳng. Phương pháp này bao gồm các bước sau:
Bước 1: Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng.
Dùng đoạn thẳng để biểu thị số cần tìm, số phần bằng nhau của các đoạn
thẳng đó tương ứng với tỉ số cần tìm.
Bước 2: Tìm tổng số phần tử bằng nhau.
Bước 3: Tìm giá trị của một phần.
Bước 4: Tìm các số.
Đôi khi ta có thể kết hợp các bước 2, 3, và 4.
- Tuy nhiên tùy một số bài toán mà giáo viên có sự hướng dẫn khác nhau.
Có dạng bài tường minh chỉ cần áp dụng các bước trên, có dạng ẩn tàng
giáo viên giúp học sinh đưa về dạng quen thuộc sau đó mới giải bài toán
theo 4 bước.
31

Ví dụ 1: Hai kho thóc chứa 125 tấn thóc, trong đó số thóc ở kho thứ nhất
bằng
2
3
số thóc ở kho thứ hai. Hỏi mỗi kho chứa bao nhiêu tấn thóc?
Phân tích:
Bài toán cho biết tổng số tấn thóc của hai kho là 125 tấn, số tấn thóc ở kho
thứ nhất bằng
2
3
số tấn thóc của kho thứ hai. Đây là bài toán thuộc dạng tìm hai
số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó. Ta sẽ tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn
thẳng. Nếu biểu diễn số tấn thóc của kho thứ nhất là 3 phần bằng nhau, thì số
tấn thóc của kho thứ hai là 2 phần bằng nhau như thế. Biểu thị các dữ liệu trên