1

Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
thành nhân cách cho học sinh, trên cơ sở cung cấp những tri thức khoa học ban
đầu về tự nhiên và xã hội. Phát triển năng lực nhận thức và hoạt động thực tiễn
cho học sinh.
Môn toán có vị trí vô cùng quan trọng trong hệ thống các môn học ở bậc
Tiểu học. Nó trang bị cho học sinh một số kiến thức cơ bản. Đó là những công
cụ cần thiết để học các môn học khác và tiếp tục nhận thức thế giới xung quanh
để hoạt động có hiệu quả trong thực tiễn. Thông qua việc học toán, các em được
hình thành và phát triển kĩ năng tính toán, tư duy lô gíc, bồi dưỡng và phát triển
trí tuệ, rèn luyện phương pháp suy nghĩ, suy luận, phương pháp giải quyết vấn
đề có căn sứ khoa học, góp phần giáo dục con người toàn diện.
Với đặc điểm tâm lí lứa tuổi tiểu học thích tìm tòi, ham học hỏi, muốn khám
phá, sáng tạo những điều mới mẻ nên phần lớn học sinh thích học môn toán.
Đặc biệt với các em có tư chất thông minh, tiếp thu nhanh thì việc phát triển
nâng cao trình độ là một nhu cầu đòi hỏi tất yếu.
Trong chương trình môn toán lớp 4, dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ
số của hai số đó” được phân bố với thời lượng 4tiết (1 tiết cung cấp kiến thức
mới, 3 tiết luyện tập và luyện tập chung) và tiếp tục được thực hành luyện tập
trong các tiết toán khác trong suốt học kì II lớp 4.
Thực tế trong quá trình dạy học, khả năng tiếp thu của học sinh không đồng
đều. Với học sinh đại trà thường xác định dạng toán chưa nhanh, vẽ sơ đồ chưa
đúng. Còn học sinh khá, giỏi xác định dạng toán và làm bài tương đối nhanh.
Song với những bài toán nâng cao, mở rộng thì các em còn lúng túng, gặp khó
khăn.
Để khắc phục tình trạng đó, trước hết cần phải cung cấp kiến thức, kĩ năng
cơ bản của dạng toán“Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó”. Từ đó
cần phát triển bài toán cơ bản một cách có hệ thống theo phương châm từ dễ

3
đến khó, từ đơn giản đến phức tạp để học sinh nắm chắc dạng toán cơ bản và có
kĩ năng vận dụng linh hoạt trong mọi trường hợp.

Giúp học sinh xác định dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai
số đó” nhanh và biết vận dụng vào giải những bài toán nâng cao.

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Cùng với sự phát triển của xã hội một đòi hỏi tất yếu là phát triển con người
toàn diện. Toán học không chỉ giúp các em rèn luyện và phát triển kĩ năng đọc,
nghe, nói, viết mà còn phát triển kĩ năng phân tích, suy luận, tư duy
Dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó” là dạng toán cơ
bản với hệ thống bài tập rất đa dạng. Do đó đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng
phân tích nhận dạng đúng bài toán để tìm cách giải phù hợp.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN
Qua quá trình dạy học, tìm tòi, nghiên cứu, băn khoăn, trăn trở, bản thân tôi
nhận thấy được những ưu điểm và hạn chế của việc dạy và học dạng toán “Tìm
hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó” ở lớp 4 như sau:
1. Về phía giáo viên:
* Ưu điểm :
+ Giáo viên nhiệt tình, năng nổ trong quá trình dạy toán tính “Tìm hai số khi
biết hiệu và tỉ số của hai số đó”.
+ Giáo viên đã là người đóng vai trò chủ đạo trong việc tác động lên hoạt
động nhận thức về dạng toán tính “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số
đó” cho học sinh.
* Hạn chế :
+ Giáo viên còn dạy các bài toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số
đó” bằng cách đưa ra các bài toán một cách khô khan rồi hướng dẫn các em giải
quyết để tìm được đáp số của bài toán mà chưa đưa ra bài toán để lôi cuốn được
học sinh vào việc tìm tòi, khám phá dạng toán này. Bên cạnh đó, các bài toán
đưa ra còn rời rạc, chưa được gom góp thành từng dạng cụ thể để học sinh dễ
hiểu, dễ nhớ.
2. Về phía học sinh:


Qua kết quả khảo sát tôi thấy khả năng xác định dạng toán của học sinh
chưa nhanh, kể cả học sinh khá giỏi. Điều đáng quan tâm nhất đó là khi vẽ sơ đồ
vẫn còn học sinh nhầm lẫn giữa dạng toán Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của
ĐIỂM
TSHS
ĐIỂM
TSHS TSHS

6
hai số đó với dạng toán Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó. Còn với
những bài toán ẩn hiệu hay tỉ số thì các em chưa biết phân tích để đưa về dạng
toán Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó như bài tập 3.
IV. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
1.CUNG CẤP KIẾN THỨC, KĨ NĂNG CƠ BẢN CỦA DẠNG TOÁN
“TÌM HAI SỐ KHI BIẾT HIỆU VÀ TỈ SỐ CỦA HAI SỐ ĐÓ”.
Bài toán 1: Hiệu của hai số là 24. Tỉ số của hai số đó là
3
5
. Tìm hai số đó.
( Trích SGK toán 4)
a) Phân tích bài toán
- Bài toán cho chúng ta biết những gì ?( Hiệu hai số là 24; tỉ số của hai số là
3
5
)
- Bài toán yêu cầu gì ? ( Tìm hai số đó)
Giáo viên nêu: Bài toán cho biết hiệu và tỉ số của hai số, yêu cầu tìm hai số đó
nên chúng ta gọi đây là bài toán dạng “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai
số đó”.

Mẹ hơn con 25 tuổi. Tuổi con bằng
2
7
tuổi mẹ. Tính tuổi của mỗi người.
( Trích SGK toán 4)
a) Phân tích bài toán
- Bài toán cho biết những gì? ( Mẹ hơn con 25 tuổi, tuổi con bằng
2
7
tuổi mẹ)
- Bài toán yêu cầu gì ? ( Tính tuổi của mỗi người)
- Bài toán thuộc dạng toán gì ? (Bài toán thuộc dạng “Tìm hai số khi biết hiệu
và tỉ số của hai số đó”)
- Vậy đâu là hiệu ? Đâu là tỉ số ? ( Hiệu là 25, tỉ số là
2
7
)
b) Hướng dẫn cách giải
Nhận xét: Vì tuổi con bằng
2
7
tuổi mẹ nên ta vẽ số tuổi của con (chính là số bé)
là 2 phần bằng nhau thì số tuổi của mẹ (chính là số lớn) là 7 phần như thế.
- Vậy 25 được biểu thị trên sơ đồ tương ứng với mấy phần bằng nhau ? ( 5 phần
do 7-2 = 5 )
- 1 phần tương ứng với mấy tuổi? ( 25 : 5 = 5 tuổi)
- Vậy tuổi con là bao nhiêu? ( 5 x 2 = 10 tuổi)
- Tuổi mẹ là bao nhiêu? ( 10 + 25 = 35 tuổi)
c) Trình bày bài giải
Bài giải

+ Bước tìm giá trị một phần có thể làm gộp với bước 4.
+ Khi HS nắm chắc được dạng toán và cách giải, HS có thể không vẽ sơ đồ mà
lập luận để giải (tùy vào từng bài toán).
Ví dụ với bài 2, HS có thể lập luận như sau:
25 tuổi
? tuổi
? tuổi

9
Nếu coi tuổi con là 2 phần bằng nhau thì tuổi mẹ sẽ là 7 phần bằng nhau như
thế.
Vậy hiệu số phần bằng nhau là:
7 – 2 = 5 (phần)
Tuổi mẹ là:
25 : 5× 7 = 35 (tuổi)
Tuổi con là:
35 -25 = 10 (tuổi)
Đáp số: Mẹ: 35 tuổi
Con: 10 tuổi
Với những HS khá, giỏi, khi đã nắm chắc dạng toán cũng như cách giải,
chúng ta có thể phát triển nâng cao theo mức độ từ thấp đến cao, từ dễ đến khó
như sau:
2. PHÁT TRIỂN DẠNG “ TÌM HAI SỐ KHI BIẾT HIỆU VÀ TỈ SỐ CỦA
HAI SỐ ĐÓ”
2.1. CÁC BÀI TOÁN TUỔI
Ví dụ 1: Hiện nay anh 11 tuổi, em 5 tuổi. Hãy tính tuổi mỗi người khi tuổi anh
gấp 3 lần tuổi em.
( Các PP giải toán ở tiểu học)
a) Phân tích bài toán:
- Bài toán yêu cầu gì ?( Tính tuổi của mỗi người khi tuổi anh gấp 3 lần tuổi em)

Trên cơ sở bài toán này, ta có thể mở rộng nâng cao thêm một số bài toán
như sau:
Ví dụ 2: Tuổi mẹ hơn 3 lần tuổi con là 8 tuổi. Mẹ hơn con 28 tuổi. Tính tuổi
mỗi người.
( Trích Toán nâng cao lớp 4)
a ) Phân tích bài toán:
- Bài toán yêu cầu gì ?( Tính tuổi của mỗi người ).
- Bài toán cho biết những gì ? ( Mẹ hơn con 28 tuổi. Tuổi mẹ hơn 3 lần tuổi con
là 8 tuổi ).
Đây là bài toán dạng “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó”nhưng ẩn
hiệu. Học sinh dễ nhầm lẫn tỉ số là 3 và hiệu là 28.
Giáo viên : Vậy để giải bài toán như thế này, trước hết chúng ta phải tìm hiệu.
6 tuổi
? tuổi
? tuổi

11
-Tuổi mẹ hơn 3 lần tuổi con là 8 tuổi nghĩa là nếu tuổi con là 1 phần thì tuổi mẹ
sẽ là 3 phần như thế và 8 tuổi.
- GV có thể vẽ sơ đồ giải thích cho HS:
Tuổi con
Tuổi mẹ

Vậy nếu mẹ bớt đi 8 tuổi thì tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con.
- Nếu mẹ bớt đi 8 tuổi và giữ nguyên tuổi con thì mẹ hơn con bao nhiêu tuổi ?
( 28 - 8 = 20 tuổi)
Dựa vào hiệu 20, tỉ số là 3, học sinh vẽ sơ đồ và giải bài toán theo dạng cơ bản.
b) Trình bày bài giải
Bài giải
Nếu bớt tuổi mẹ đi 8 tuổi và giữ nguyên tuổi con thì tuổi mẹ hơn tuổi con là:

- Đây là bài toán dạng gì ? (Dạng “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số
đó”)
Đọc qua VD3 học sinh dễ nhầm lẫn với VD2 dạng 1 nên xác định tỉ số là
1
4
và
hiệu là 40 - 2 = 38.
Giáo viên : Vậy để giải bài toán như thế này, trước hết chúng ta phải tìm hiệu.
Tuổi con nhiều hơn
1
4
tuổi bố là 2 tuổi, có nghĩa là nếu ta coi tuổi bố là 4 phần
bằng nhau thì tuổi con sẽ là mấy phần ? ( Tuổi con sẽ là 1 phần và 2 đơn vị )
GV có thể giải thích cho học sinh bằng sơ đồ sau:

Tuổi con
Tuổi bố

- Vậy nếu thêm vào tuổi bố 2 tuổi và giữ nguyên tuổi con thì bố hơn con bao
nhiêu tuổi ? ( 40 + 2 = 42 tuổi)
Dựa vào hiệu 42 và tỉ số là 4, học sinh vẽ sơ đồ và giải bài toán theo dạng cơ
bản.
b) Trình bày bài giải
Bài giải
Nếu bớt tuổi con 2 tuổi và giữ nguyên tuổi bố thì tuổi bố hơn tuổi con là:
40 + 2 = 42 ( tuổi)
Lúc đó, ta có sơ đồ:
Tuổi con | |
Tuổi bố | | | | |


tuổi. Tính tuổi của mỗi người hiện nay.
( Trích Toán bồi dưỡng học sinh lớp 4)
Bài 3: Mẹ sinh con khi mẹ 27 tuổi. Hỏi sau bao lâu tuổi con hơn tuổi mẹ là 6
tuổi ?
( Trích Toán chọn lọc tiểu học)
2.2. CÁC BÀI TOÁN PHÂN SỐ
Ví dụ 1: Cho phân số
29
99
. Hãy tìm một số sao cho đem tử và mẫu của phân số
đã cho cộng với số đó ta được phân số tối giản
1
3
.
( Trích Toán nâng cao lớp 4)
a) Phân tích bài toán:
- Bài toán cho biết những gì ? ( Cho phân số
29
99
)
- Bài toán yêu cầu gì? ( Tìm một số sao cho đem tử và mẫu của phân số đã cho
cộng với số đó ta được phân số tối giản
1
3
)

14
Với bài toán này ta thấy hiệu giữa mẫu số và tử số ban đầu là 99 - 29 = 70.
Và khi ta cộng vào cả tử số và mẫu số với cùng một số thì hiệu này thay đổi như
thế nào? ( Hiệu không thay đổi)


15
Bài 1: Cho phân số
73
98
. Hãy tìm một số sao cho đem tử số và mẫu số của phân
số đã cho trừ đi số đó ta được một phân số tối giản
1
6
.
( Trích Toán nâng cao lớp 4)
Bài 2: Cho phân số . Cần thêm vào cả tử số và mẫu số của phân số đó với
cùng một số là bao nhiêu để được phân số mới có giá trị là .
( Trích Bồi dưỡng Toán 4)
Bài 3: Hãy thêm vào tử số và mẫu số của phân số cùng một số để cho mẫu
số gấp rưỡi tử số mới.
( Trích Bồi dưỡng Toán 4)
2.3.CÁC BÀI TOÁN VIẾT THÊM ( HOẶC XÓA) CHỮ SỐ TẬN CÙNG
BÊN PHẢI
Ví dụ 1: Tìm hai số có hiệu là 333, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 0 vào bên
phải số bé ta được số lớn.
( Trích Toán nâng cao 4)
a) Phân tích bài toán:
- Bài toán cho biết những gì? ( Hai số có hiệu bằng 333 và nếu viết thêm một
chữ số 0 vào bên phải số bé ta được số lớn).
- Bài toán yêu cầu gì? ( Tìm hai số đó).
- Nếu thêm một chữ số 0 vào bên phải số bé thì số bé thay đổi như thế nào ? ( Số
bé tăng lên 10 lần)
- Vậy tỉ số giữa số lớn và số bé là bao nhiêu ? ( Tỉ số là 10 )
Từ đó học sinh giải bài toán với hiệu hai số là 333, tỉ số giữa hai số là 10 (số lớn

b)Trình bày bài giải
Ta có sơ đồ:
Số bé
Số lớn

Theo sơ đồ ta thấy nếu số lớn giảm đi 8 đơn vị thì lúc đó sớ lớn hơn số bé là :
485 – 8 = 477
Số bé là : 477 : (10 -1) = 53
Số lớn là : 53 + 485 = 538
Đáp số : 53 ; 538
8
?

?

485

17
Ví dụ 4 : Cho một số tự nhiên. Biết rằng nếu viết thêm chữ số 7 vào tận cùng
bên phải số đó thì số đó tăng thêm 754 đơn vị. Hãy tìm số đã cho.
( Trích Tuyển chọn những bài toán hay và khó lớp 4 )
a) Phân tích bài toán:
Khi viết thêm chữ số 7 vào tận cùng bên phải số đó thì số đó sẽ gấp lên 10
lần và 7 đơn vị. Điều này có nghĩa có nghĩa là 9 lần số tự nhiên đó có giá trị là :
754 – 7 = 747
Từ đó ta tìm được số tự nhiên ban đầu.
b)Trình bày bài giải
Tương tự ví dụ 3
Kết luận : Vậy qua ví dụ 3, 4 khi viết thêm hay xóa chữ số a tận cùng bên
phải cảu một số thì số đó sẽ tăng (giảm) 10 lần và a đơn vị. Từ đó ta vẽ sơ đồ,

3
số nam bằng
1
5
số nữ và số nam ít hơn số nữ là 16 người
Nếu biểu diễn trên sơ đồ số nam là 3 phần bằng nhau thì số nữ sẽ là 5 phần bằng
nhau như thế.
- 16 người tương ứng với mấy phần ? ( 5 - 3 = 2 (phần))
HS vẽ sơ đồ , rồi giải.
b) Trình bày bài giải

18
Bài giải
Vì
1
3
số nam bằng
1
5
số nữ và số nam ít hơn số nữ là 16 người
Ta có sơ đồ:
Nam | | | |
Nữ | | | | | | Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là :
5 - 3 = 2 ( phần)

12
tuổi của ông ( Vì 1 năm có 12 tháng ).
Từ đó ta đưa bài toán về dạng :
Tính tuổi của Tuấn, tuổi của bố, tuổi của ông biết tuổi của Tuấn bằng
1
7
tuổi
của bố và bằng
1
12
tuổi của ông. Ông hơn bố 30 tuổi.
b)Trình bày bài toán:
Từ đó học sinh vẽ sơ đồ và giải như ví dụ 1.
Ví dụ 3: Điểm kiểm tra toán cuối năm, Linh hơn Quang 1 điểm và bằng
5
4
điểm
của Anh. Điểm của Quang bằng
9
8
điểm của Anh. Hỏi điểm toán mỗi người.
( Trích 500 bài toán chọn 4)
a)Phân tích bài toán
- Bài toán hỏi gì ? ( Hỏi điểm toán của mỗi bạn)
- Bài toán này cho ta biết điều gì ?(Bài toán cho ta biết Linh hơn Quang 1 điểm
và bằng
5
4
điểm của Anh. Điểm của Quang bằng
9

20
Điểm của Anh bằng
4
5
điểm của Linh bằng
8
9
điểm của Quang.
Hay điểm của Anh bằng
8
10
điểm của Linh bằng
8
9
điểm của Quang.
Hay
1
8
điểm của Anh bằng
1
10
điểm của Linh bằng
1
9
điểm của Quang.
Nếu ta coi điểm toán của Anh là 8 phần bằng nhau thì điểm toán của Linh là 10
phần và điểm toán của Quang là 9 phần như thế. Mặt khác Linh hơn Quang 1
điểm.
b)Trình bày bài giải:
Từ những phân tích trên, học sinh vẽ sơ đồ và giải như ví dụ 1 dạng 3.

1
2
số người
học tiếng Hoa. Số người học tiếng Hoa bằng
1
3
số người học tiếng Anh. Hỏi mỗi

21
ngoại ngữ có bao nhiêu người học ? Biết rằng số người học tiếng Anh nhiều
hơn số người học tiếng Nhật là 100 người.
( Trích Toán nâng cao 4)
2.4. MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH VẬN DỤNG DẠNG TOÁN “TÌM HAI
SỐ KHI BIẾT HIỆU VÀ TỈ SỐ CỦA HAI SỐ ĐÓ”
Ví dụ: Một hình chữ nhật có chu vi gấp 6 lần chiều rộng. Tìm chiều dài, chiều
rộng biết chiều dài hơn chiều rộng 15 m.
(Trích Toán bồi dưỡng học sinh lớp 4)
a)Phân tích bài toán.
- Bài toán cho ta biết những gì ?( chu vi gấp 6 lần chiều rộng, chiều dài hơn
chiều rộng 15 m)
- Bài toán yêu cầu gì ? (Tìm chiều dài, chiều rộng)
Bài toán này thuộc dạng “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó”, với
hiệu là 15, ta cần tìm tỉ số giữa chúng.
- Nêu quy tắc tính chu vi hình chữ nhật ? ( Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta
lấy chiều dài cộng với chiều rộng cùng đơn vị đo, rồi nhân 2)
- Chu vi gấp 6 lần chiều rộng. Vậy nửa chu vi gấp chiều rộng bao nhiêu ? ( 3 lần
vì 6 : 2 = 3)
- Vậy chiều dài gấp mấy lần chiều rộng ? (Gấp 2 lần)
Giáo viên nêu: Như vậy dựa vào hiệu và tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng ta
giải bài toán như bài toán cơ bản dạng “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai

32 13 40,62

14 43,75 5 15,63

C/ KT LUN - KIN NGH
I/
Trong cụng tỏc ging dy, vai trũ ca ngi giỏo viờn rt quan trng.
Ngi giỏo viờn ch yu cung cp cho hc sinh mt cỏch y chớnh xỏc, cú
h thng kin thc. Ngoi ra, cũng thng xuyờn rốn luyn cho cỏc em nhng
k nng cn thit giỳp cỏc em cú phng phỏp vn dng kin thc ó hc vo
vic gii cỏc bi tp liờn h vi thc tin.
Thông qua việc thực hiện, trực tiếp giảng dạy, bản thân tôi rút ra đợc một
số bài học trong quá trình giảng dạy dạng toán tính tuổi cho học sinh lớp 4 nh
sau:
- Để giải đợ kc một bài toán Tỡm hai s khi bit hiu v t s ca hai s
ú ở lớp 4, giáo viên cần hớng cho học sinh xác nh c bài toán đó thuộc
IM
TSHS
IM
TSHS TSHS

23
dạng nào trong các dạng toán nói trên. Từ đó, các em có thể hình dung phơng
pháp giải các dạng toán một cách hợp lí.
- Để học sinh phát triển đợc trí thông minh, óc sáng tạo và t duy nhạy bén
thì cần phải thờng xuyên động viên, khuyến khích học sinh suy nghĩ, tìm tòi,
sáng tạo, biết vận dụng một cách linh hoạt và nhuần nhuyễn các phơng pháp
giải toán.
- Khi học sinh cảm thấy mệt mỏi, không có hứng thú trong học tập cần đa
ra một vài bài toán vui về tuổi phù hợp với nhận thức của các em, giúp các em