BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
- - - - - -  - - - - - -
NGUYỄN THỊ NGỌC
VỀ NGHIỆM XẤP XỈ CHO PHƯƠNG TRÌNH
PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI
GIAN
ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Nghệ An - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
- - - - - -  - - - - - -
NGUYỄN THỊ NGỌC
VỀ NGHIỆM XẤP XỈ CHO PHƯƠNG TRÌNH
PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI
GIAN
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ: 60.46.01.02
ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN ĐỨC
Nghệ An - 2014
MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . 5
1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
Chương 2. Chỉnh hoá phương trình parabolic nửa tuyến tính
ngược thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

+ Au = f(t, u(t)), 0 < t < T
u(T ) = g
(1)
2
với A là toán tử không bị chặn, tự liện hợp, xác định dương trong một
khoảng không gian Hilbbert H , f là hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện
Lipschitz và g là dữ kiện xấp xỉ.
Với mục đích đó luận văn này được chia thành 2 chương:
Chương 1: Trình bày về các không gian Banach, không gian Hilbert,
lý thuyết chuỗi trong không gian Banach
Chương 2: Trình bày chứng minh phương trình parapolic nửa tuyến
tính ngược thời gian là bài toán đặt không chỉnh, trình bày chứng minh
bất đẳng thức Gronwall, trình bày phương pháp chỉnh hóa và các đánh
giá sai số.
Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng
dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Văn Đức. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc của mình đến Thầy. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn
Ban chủ nhiệm phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán học và cảm
ơn các thầy, cô giáo trong bộ môn Giải tích, khoa Toán học đã nhiệt tình
giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập và hoàn thành
đề cương, luận văn này. Cuối cùng, tác giả cám ơn gia đình, đồng nghiệp,
bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học 20 Giải tích đã cộng tác,
giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những
hạn chế, thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
của các thầy, cô giáo và các bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn.
Nghệ An,tháng 6 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Ngọc
3

1.2 Không gian Hilbert
Cho H là không gian tuyến tính thực.
1.2.1 Định nghĩa. 1. Ánh xạ ·, · : H × H → R được gọi là tích vô
hướng nếu
(i) u, v = v, u, ∀u, v ∈ H;
(ii) ánh xạ u → u, v là tuyến tính với mọi v ∈ H;
(iii) u, u  0;
(iv) u, u = 0 ⇔ u = 0.
Không gian Hilbert là một không gian Banach với chuẩn được sinh ra
bởi một tích vô hướng.
2. Hai phần tử u, v ∈ H là trực giao nếu u, v = 0. Khi đó ta ký hiệu
u ⊥ v.
1.2.2 Định nghĩa. Một hệ trực giao trong không gian Hilbert H là
một tập con A các vectơ khác 0 của H sao cho hai vectơ khác nhau bất
kì của A đều trực giao với nhau.
1.2.3 Định nghĩa. Giả sử M là một tập con của không gian Hilbert
H. Vectơ x ∈ H được gọi là trực giao với M nếu x ⊥ y với mọi y ∈ M,
trong trường hợp này ta kí hiệu x ⊥ M. Nếu N là tập con của E sao cho
x ⊥ M với mọi x ∈ N thì N gọi là trực giao với M và kí hiệu là N ⊥ M.
Rõ ràng N ⊥ M thì M ⊥ N.
5
Ta kí hiệu M
⊥
= {x ∈ H : x ⊥ M} và gọi nó là phần bù trực giao
của M.
1.2.4 Bổ đề. Một hệ trực giao trong không gian Hilbert là độc lập tuyến
tính.
Chứng minh. Giả sử A là một hệ trực giao và

n

j
 > 0 nên α
j
= 0 với
j = 1, , n. Từ đó A độc lập tuyến tính.
1.2.5 Bổ đề. Nếu M là một tập con tùy ý của không gian Hilbert H thì
M
⊥
là một không gian con đóng của E.
Chứng minh. Giả sử x, y ∈ M
⊥
, α, β ∈ K. Với mọi a ∈ M ta có αx + βy|a =
α x, a+β y, a = 0, vì vậy αx+βy ∈ M
⊥
và M
⊥
là không gian vectơ con
của E. Để chứng minh M
⊥
đóng, ta lấy tùy ý dãy x
n
⊂ M
⊥
, x
n
→ x ∈ E.
Với mọi a ∈ M do tính liên tục của tích vô hướng ta có x
n
, a → x, a.
Bởi vì x

n
)
2
= 2(x − y
m

2
+ x − y
n

2
), từ đó
y
m
− y
n

2
= 2(x −y
m

2
+ x − y
n

2
) − 4




m
+ y
n
)




2
≥ α
2
. Với mọi ε > 0 tồn tại n
0
sao cho x − y
n

2
≤ α
2
+ ε với mọi n ≥ n
0
. Do đó với mọi m, n ≥ n
0
ta
có y
m
− y
n

2



x −
1
2
(y − y

)




2
.
Vì
1
2
(y + y

) ∈ F nên từ đó suy ra


y − y



2
≤ 0 tức là y = y

.

+ λ z, v + λz, v + |λ|
2
v
2
.
Vì z = α nên với mọi λ ∈ K : λ z, v + λz, v + |λ|
2
v
2
≥ 0.
Lấy λ = t z, v thì với mọi t ∈ K ta có : t|z, v|
2
(2 + t v
2
) ≥ 0.
Đến đây ta kết luận được z, v = 0 vì nếu z, v = 0 thì bất đẳng thức
cuối cùng không thể xảy ra khi t ∈

−
2
v
2
, 0

. Bởi vì z, v = 0 với mọi
v ∈ F nên z ∈ F
⊥
. Như vậy với mọi x ∈ H ta đều có x = y + (x − y) =
y + z ∈ F + F
⊥

.
Từ đó P
F
(x) ≤ x và vì vậy P
F
liên tục và có P
F
 ≤ 1.
1.2.8 Định nghĩa. Một hệ trực giao A được gọi là hệ trực chuẩn nếu
x = 1 với mọi x ∈ A.
Nếu A là hệ trực giao thì hệ B =

1
x
x : x ∈ A

là hệ trực chuẩn.
Hệ B gọi là trực chuẩn hóa của hệ A. Nếu hệ A toàn vẹn thì hệ B toàn
vẹn.
Một hệ trực chuẩn toàn vẹn của không gian Hilbert H được gọi là hệ
trực chuẩn đầy đủ hay là một cơ sở trực chuẩn của H.
1.2.9 Bổ đề. Giả sử {e
i
} là một dãy trực chuẩn trong không gian Hilbert
H. Khi đó
a)
∞

i=1
|x, e

x −
n

i=1
c
i
e
i





2
=

x −
n

i=1
c
i
e
i
, x −
n

j=1
c
j

n

i=1
|c
i
|
2
.
Vì vậy
n

i=1
|x, e
i
|
2
≤ x
2
. Do n tùy ý nên ta có bất đẳng thức Bessel.
b) Vì không gian H đầy đủ nên ta chỉ cần chứng minh dãy các tổng
riêng s
n
=
n

i=1
λ
i
e
i





n+p

i=n+1
λ
i
e
i




2
=
n+p

i=n+1
|λ
i
|
2
< ε.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
1.2.10 Định lý. Giả sử không gian Hilbert H có một cơ sở trực chuẩn
đếm được {e
n
}. Khi đó


i=1
(x|e
i
)e
i
∈ H. Ta sẽ chứng minh
x = y. Thật vậy, với mọi j ta có
x − y, e
i
 =

x −
∞

i=1
x, e
i
e
i
|e
j

= x, e
j
 − x, e
i
 = 0.
Do hệ {e
j

,
n

j=1
y, e
j
e
j

= lim
n→∞
n

i=1
x, e
i
y, e
i
 =
∞

i=1
x, e
i
y, e
i
.
1.2.11 Định lý. Nếu {e
n
} là một dãy trực chuẩn trong không gian

i
|
2
với mọi x ∈ H.
Chứng minh. Giả sử {a
n
} là một dãy toàn vẹn, độc lập tuyến tính trong
E. Kí hiệu L là không gian các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của tập {a
n
}.
Gọi D là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn với hệ số hữu tỉ (ta
gọi số phức α + iβ là hữu tỉ nếu α và β là hữu tỉ). Ta đã biết D là đếm
được. Để chứng minh D là trù mật trong E ta chỉ cần chứng minh D trù
mật trong L.
Lấy tùy ý x =
n

i=1
λ
i
a
i
∈ L. Khi đó :
(λ
1
a
1
+ + λ
n
a

ở đây M = sup
1≤i≤n
a
i
. Đặt y =
n

i=1
r
i
a
i
. Ta có x ∈ D và x −y < ε.
Vậy D là trù mật trong L.
Bây giờ giả sử E khả li. Giả sử D = {a
n
} là trù mật trong E. Lấy k
1
là chỉ số nhỏ nhất để a
k
1
= 0. Giả sử đã chọn được a
k
1
, , a
k
n−1
, ta chọn
a
k

1.2.13 Định nghĩa. Cho H là không gian Hilbert với tích vô hướng
(.|.).
i) Nếu A : H → H là toán tử tuyến tính bị chặn, toán tử liên hợp của
nó là A
∗
: H → H thỏa mãn
(Ax|y) = (x|A
∗
y), ∀x, y ∈ H.
ii) Nếu A
∗
= A thì A được gọi là toán tử tự liên hợp.
11
CHƯƠNG 2
CHỈNH HÓA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA
TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN
Chương này trình bày kết quả chỉnh hóa cũng như các đánh giá sai số
của phương pháp cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời
gian trong bài báo [5].
2.1 Giới thiệu bài toán
Cho H là không gian Hilbert thực hoặc phức với tích vô hướng ·, · và
chuẩn .. Giả sử A: D(A) → H là toán tử dương, tự liên hợp, không bị
chặn và ánh xạ f : [0, T ] ×H → H. Xét bài toán tìm hàm u: [0, T ] → H
thỏa mãn

u
t
+ Au = f(t, u(t)), 0 < t < T
u(T ) = g
(2.1)

2
, (2.2)
trong đó k  0 là một hằng số độc lập với t, w
1
, w
2
.
Mặc dù tính duy nhất nghiệm được đảm bảo theo định lý duy nhất
nghiệm ngược (xem [4]), bài toán (2.1) vẫn là một bài toán đặt không
12
chỉnh. Một sai số nhỏ trong dữ kiện g có thể gây ra một lỗi lớn cho
nghiệm tương ứng (nếu nghiệm của bài toán này tồn tại). Thật vậy, từ
dạng biểu diễn quen thuộc của nghiệm
u(t) =
∞

n=1

e
(T −t)λ
n
φ
n
, g −

T
t
e
(s−t)λ
n

λ
n
(s−t)
φ
n
, f(s, u(s))ds (2.3)
với mọi n = 1, 2,
Do tính không ổn định của nghiệm nên các phương pháp chỉnh hóa
cho bài toán này là cần thiết. Mặc dù có rất nhiều kết quả về việc chỉnh
hóa dành cho bài toán thuần nhất (nghĩa là bài toán (2.1) với f ≡ 0)
bằng cách sử dụng các phương pháp khác nhau như phương pháp tựa đảo
(quasi-reversibility method) của Lattes và Lions, phương pháp Tikhonov,
phương pháp dựa trên khai triển hàm riêng của Gajewski and Zacharias,
phương pháp biên không địa phương, phương pháp sử dụng phương trình
Sobolev, , các kết quả chỉnh hóa cho bài toán (2.1) với f = 0 còn rất hạn
chế. Trước hết, chúng ta hãy điểm qua một số kết quả chỉnh hóa dành cho
bài toán phi tuyến.
Vào năm 1994, Long và Định [9] đã sử dụng phương pháp nửa nhóm
để xử lý bài toán phi tuyến (2.1) và đạt được các đánh giá sai số bậc
t
−2
(ln(1/ε)
−1
với mỗi t > 0. Đánh giá này có kiểu logarithmic với mỗi
t > 0 cố định. Năm 2008, Đặng Đức Trọng và Nguyễn Huy Tuấn [12] đã
cải tiến phương pháp tựa đảo để đưa ra nghiệm xấp xỉ với sai số có bậc
13
ε
t
T


n
e
2λ
n
min{t,β}
|φ
n
, u(t)|
2
 E
2
1
, (2.5)
∞

n=1
e
2βλ
n
|φ
n
, u(t)|
2
 E
2
2
(2.6)
với mọi t ∈ [0, T ], trong đó β, β


≤ M},
nghĩa là
P
M
w =

λ
n
M
φ
n
, wφ
n
với mọi w ∈ H.
14
Như chúng ta sẽ thấy trong các phần sau, bài toán (2.7) là đặt chỉnh và
nghiệm của nó là một nghiệm xấp xỉ địa phương (cụ thể với t > T − β)
tới nghiệm chính xác của bài toán (2.1).
2.2 Bất đẳng thức Gronwall
2.2.1 Định lý. ([8])(Bất đẳng thức Gronwall dạng vi phân) Giả sử η(t)
là hàm liên tục tuyệt đối không âm trên [0, T ], thỏa mãn hầu khắp nơi
trên [0, T ] bất đẳng thức
η

(t)  φ(t)η(t) + ψ(t), (2.8)
trong đó φ(t) và ψ(t) là các hàm không âm, khả tích trên [0, T ]. Khi
đó
η(t)  e

t


η

(s) − φ(s)η(s)

 e
−

s
0
φ(r)dr
ψ(s)
với hầu khắp s ∈ [0, T ]. Do đó, với mỗi t ∈ [0, T ], ta có

t
0
d
ds

η(s)e
−

s
0
φ(r)dr

ds 

t
0

Bất đẳng thức (2.10) kéo theo bất đẳng thức (2.9).
Định lý được chứng minh.
15
2.2.2 Định lý. ([8])(Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân) Giả sử
ξ(t) là hàm không âm, khả tích trên [0, T ] và thỏa mãn hầu khắp nơi
trên [0, T ] bất đẳng thức tích phân
ξ(t)  C
1

t
0
ξ(s)ds + C
2
(2.11)
với các hằng số C
1
, C
2
không âm. Khi đó
ξ(t)  C
2

1 + C
1
te
C
1
t

(2.12)

1
t
. (2.13)
Từ các bất đẳng thức (2.11) và (2.13) ta có
ξ(t)  C
1
η(t) + C
2
 C
2

1 + C
1
te
C
1
t

hầu khắp nơi trên [0, T ].
Định lý được chứng minh.
2.2.3 Định lý. Nếu u
1
(t), u
2
(t) ∈ C ([0, T ], H) là các nghiệm yếu của
phương trình u
t
+ Au = f(t, u(t)), 0 < t < T thì ta có đánh giá
u
1

i
(T )
−

T
t
e
λ
n
(s−t)
φ
n
, f(s, u
i
(s))ds (2.14)
16
với mọi n = 1, 2, và i = 1, 2. Từ công thức (2.14) ta thấy
φ
n
, u
i
(0) = e
λ
n
T
φ
n
, u
i
(T ) −

e
λ
n
s
φ
n
, f(s, u
i
(s))ds

.
(2.16)
Thay (2.16) vào (2.14) ta được
φ
n
, u
i
(t) = e
−λ
n
t
φ
n
, u
i
(0) +

t
0
e

(s−t)
φ
n
, f(s, u
1
(s)) − f(s, u
2
(s))ds (2.18)
với mọi n = 1, 2, Sử dụng bất đẳng thức (a + b)
2
 2(a
2
+ b
2
) ta có
u(t)
2
=
∞

n=1
|φ
n
, u(t)|
2
 2
∞

n=1
e


n=1
|φ
n
, u(0)|
2
+ 2t
∞

n=1

t
0
e
2λ
n
(s−t)
|φ
n
, f(s, u
1
(s)) − f(s, u
2
(s))|
2
ds
 2u(0)
2
+ 2T


ds
 2u(0)
2
+ 2T

t
0
k
2
u
1
(s) − u
2
(s)
2
ds
= 2u(0)
2
+ 2T k
2

t
0
u(s)
2
ds.
Đặt ξ(t) = u(t)
2
, ∀t ∈ [0, T ]. Bất đẳng thức trên trở thành
ξ(t)  2ξ(0) + 2T k

T t

u
1
(0) − u
2
(0), ∀t ∈ [0, T ].
Định lý được chứng minh.
2.3 Phương pháp chỉnh hóa và các đánh giá sai số
Trong phần này, chúng ta xem xét bài toán đặt chỉnh (2.7) và đánh giá
sai số giữa nghiệm của nó với nghiệm của bài toán đặt không chỉnh (2.1).
2.3.1 Định lý. ([5])(Tính đặt chỉnh) Với mỗi g ∈ H, bài toán (2.7) có
nghiệm duy nhất u ∈ C
1
([0, T ] , P
M
(H)). Hơn nữa, nghiệm phụ thuộc
liên tục vào dữ kiện theo nghĩa nếu u
i
là nghiệm của bài toán (2.7)
với g được thay thế bởi g
i
, i = 1, 2, thì
u
1
(t) − u
2
(t)  e
(k+K)(T −t))
g

G
M
(t, w
1
) − G
M
(t, w
2
)  (k + M)w
1
− w
2
,
với mọi w
1
, w
2
∈ P
M
(H).
Tính đặt chỉnh của hệ phương trình phi tuyến nói trên kéo theo từ định
lý Picard–Lindel¨of (xem [6]).
Chú ý rằng u là một nghiệm của bài toán (2.7) nếu và chỉ nếu (2.3)
đúng với mọi n sao cho λ
n
 M và φ
n
, u(t) = 0 nếu λ
n
> M.

nghiệm yếu u
0
∈ C([0, T ] , H). Với bất kỳ ε > 0, lấy g
ε
∈ H sao cho
19
g
ε
− g
0
  Eε, trong đó E là một hằng số độc lập với ε. Ký hiệu u
ε
là nghiệm của bài toán (2.7) với g = g
ε
và M = log(1/ε)/τ , τ  T.
(i) Nếu u
0
thỏa mãn (2.4) với β  T thì
u
ε
(t) − u
0
(t)  Ce
t/τ
với mọi t ∈ [0, T ] ,
(ii) Nếu u
0
thỏa mãn (2.5) với β  T thì
u
ε

trong đó C = C(E, k, u
0
) là một hằng số dương độc lập với t và ε.
2.3.3 Nhận xét. ([5]) (1) Trong (ii) nếu τ > T thì ta có đánh giá sai
số kiểu logarithm tại t = 0.
(2) Trong (iii) nếu β > T và τ > T thì ta có đánh giá sai số kiểu
H¨older với mọi t ∈ [0, T ]. Tuy nhiên nếu β < T thì đánh giá trong (iii)
chỉ có ý nghĩa khi t gần T , cụ thể t > T −β.
Chứng minh. (i) Sử dụng đẳng thức Parseval, biểu diễn (2.3) và điều kiện
Lipschitz (2.2) ta có
u

(t) − P
M
u(t)
2
=

λ
n
M
|φ
n
, u(t) − u

(t)|
2
=

λ

(s))ds




2


λ
n
M

2e
2M(T −t)
|φ
n
, g
ε
− g
0
|
2
+ 2T

T
t
e
2M(s−t)
|φ
n

2M(T −t)
ε
2
E
2
+ 2k
2
T

T
t
e
2M(s−t)
u
ε
(s) − u
0
(s)
2
ds.
20
Mặt khác, từ (2.4) với β = T ta có
u(t) − P
M
u(t)
2
=

λ
n

(t)
2
= u(t) − P
M
u(t))
2
+ u
ε
(t) − P
M
u(t)
2
 e
−2Mt
E
2
0
+ 2e
2M(T −t)
ε
2
E
2
+ 2k
2
T

T
t
E

T
t
e
2Ms
u
ε
(s) − u
0
(s)
2
ds.
Bất đẳng thức Gronwall kéo theo
e
2Mt
u

(t) − u
0
(t)
2
 (E
2
0
+ 2e
2Mt

2
E
2
)e

T
.
(ii) Nếu (2.5) đúng với β = T thì chúng ta có thể lặp lại quá trình
chứng minh trên với (2.19) được thay thế bởi
u(t) − P
M
u(t)
2
 M
−2β

e
−2Mt

λ
n
>M
λ
2β

2
e
2λ
n
t
|φ
n
, u
0
(t)|

E
2
+ 2k
2
T

T
t
e
2Ms
u
ε
(s) − u
0
(s)
2
ds.
Sử dụng bất đẳng thức Gronwall ta có
e
2Mt
u
ε
(t) − u
0
(t)
2
 (M
−2β

E

2
2
+ 2E
2
e
k
2
T
. Thay thế M = log(1/ε)/τ ta đạt được
u
ε
(t) − u
0
(t)
2
 C
2
max

log(1/ε)
−2β

ε
2t/τ
, ε
2(t+τ−T )/τ

với mọi t ∈ [0, T ] .
(iii) Nếu u
0

2Mt
u
ε
(t) − u
0
(t)
2
 e
2M(t−β)E
2
2
E
2
2
+ 2e
2Mt
ε
2
E
2
+ 2k
2
T

T
t
e
2Mt
u
ε

(s)
2
ds.
Sử dụng bất đẳng thức Gronwall ta có
e
2Mt
u
ε
(t) − u
0
(t)
2
 (e
2M(T −β)E
2
2
E
2
2
+ 2e
2Mt
ε
2
E
2
)e
2k
2
T
.

. Thay thế M = log(1/ε)/τ ta có kết qủa mong
muốn.
2.3.4 Nhận xét. Chứng minh Bổ đề 2.3.2 trong [5] có sự nhầm lẫn
giữa các kí hiệu t và s và trong chứng minh trên chúng tôi đã chỉnh
sửa lại.
2.3.5 Định lý. ([5])(Tính duy nhất nghiệm) Với g ∈ H, bài toán (2.1)
có không quá một nghiệm u ∈ C
1
((0, T ), H) ∩C([0, T ] D(A)).
Chứng minh. Giả sử rằng u
1
và u
2
là hai nghiệm của bài toán (2.1). Đặt
w(t) = u
1
(t) − u
2
(t) với mọi t ∈ [0, T ]. Khi đó w(T ) = 0 và điều kiện
Lipschiz (2.2) kéo theo
w
t
+ Aw = f(t, u
1
(t)) − f(t, u
2
(t))  kw, 0 < t < T. (2.20)
Theo Đinh lý 1.1 trong [4], bất đẳng thức (2.20) kéo theo w(t) = 0 với
mọi t ∈ [0, T ]. Do đó u
1

với g = g
0
∈ H có một nghiệm yếu u
0
∈ C([0, T ] , H). Với bất kỳ ε > 0,
23