LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2,
dưới sự hướng dẫn của TS. Khuất Văn Ninh. Tác giả xin được bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Khuất Văn Ninh, người thầy đã luôn tận
tình chỉ bảo, động viên và khuyến khích tác giả trong những ngày đầu
làm quen với nghiên cứu khoa học và trong quá trình thực hiện bản luận
văn. Đồng thời, tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các
thầy cô giáo trong Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2 cùng các thầy
cô tham gia giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ
tác giả trong suốt thời gian học tập từ những năm còn là sinh viên cho
đến ngày hôm nay. Thêm nữa, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các
đồng nghiệp trong Khoa tự nhiên, Trường Cao đẳng sư phạm Vĩnh Phúc
(nơi tác giả mới nhận công tác) đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác
giả trong những khoảng thời gian cuối cùng hoàn thành bản luận văn
này.
Hà Nội, ngày 30 tháng 9 năm 2010
Tác giả
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của T.S Khuất Văn Ninh.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được
công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác.
Hà Nội, ngày 30 tháng 9 năm 2010
Tác giả
Mục lục
Lời mở đầu 1
1 Một số kiến thức liên quan 4
1.1. Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.6.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Ứng dụng 58
3.1. Ứng dụng vào phương trình vi phân thường . . . . . . . 58
3.1.1. Bài toán giá trị ban đầu . . . . . . . . . . . . . . 58
v
3.1.2. Bài toán giá trị biên . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.3. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2. Ứng dụng giải số bằng lập trình Maple 12 . . . . . . . . 64
3.2.1. Phương pháp nhân suy biến . . . . . . . . . . . . 65
3.2.2. Phương pháp xấp xỉ nhân . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.3. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . 75
3.2.4. Phương pháp Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.5. Phương pháp cầu phương . . . . . . . . . . . . . 86
Kết luận 88
Tài liệu tham khảo 89
BẢNG KÝ HIỆU
N Tập số tự nhiên
N
∗
Tập số tự nhiên khác không
Q Tập số hữu tỷ
R Tập số thực
Z Tập số nguyên
C Tập số phức
R
k
Không gian thực k chiều
C
[a;b]
Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b]

nhưng còn rất nhiều những lợi ích của việc thay thế phép tính vi phân
bởi phép tính tích phân. Một trong những lợi thế này nảy sinh bởi phép
tính tích phân là một quá trình “uyển chuyển” được thể hiện trong quá
trình tìm nghiệm xấp xỉ. Nếu ta cần tìm một lời giải chính xác hay gần
đúng của bài toán cho trước thì phương trình tích phân chính là một
phương pháp hữu ích được trông đợi. Cũng bởi lí do này mà phương
2
trình tích phân đã thu hút được sự chú ý của các nhà toán học trong
phần lớn thời gian của thế kỉ trước và đầu thế kỉ này, và lí thuyết của
nó đang phát triển rất mạnh mẽ.
Cùng với mong muốn hiểu biết sâu hơn về vấn đề này, dưới sự hướng
dẫn của TS. Khuất Văn Ninh, tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương:
Chương 1 của luận văn trình bày một số khái niệm của giải tích hàm
và khái niệm về phương trình tích phân. Cuối chương trình bày một số
điểm chú ý.
Chương 2 của luận văn tập trung trình bày một số phương pháp giải
phương trình tích phân tuyến tính.
Chương 3 của luận văn trình bày ứng dụng của phương trình tích
phân vào giải phương trình vi phân và ứng dụng giải số bằng lập trình
Maple 12.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng các phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân và
ứng dụng của những phương pháp này trong thực tế.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Làm rõ những nội dung cần thể hiện. Qua đó, thấy được lợi ích và
tính hữu dụng của các phương pháp này.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

), n = 1, 2, trong không gian
metric X gọi là hội tụ đến điểm a ∈ X nếu
lim
n→∞
d(a, x
n
) = 0.
Khi đó, ta kí hiệu
lim
n→∞
x
n
= a hoặc x
n
→ a, khi n → ∞.
Định nghĩa 1.1.3. Dãy điểm (x
n
) được gọi là dãy cơ bản trong không
gian metric X nếu với mọi ε > 0 cho trước , đều tồn tại một số n
0
sao
cho với mọi n ≥ n
0
và m ≥ n
0
ta đều có
d(x
n
, x
m

∗
) = x
∗
.
1.1.2. Không gian định chuẩn
Cho X là một không gian vectơ trên trường P (P = R hoặc C).
Định nghĩa 1.1.6. Một chuẩn, kí hiệu || · ||, trong X là một ánh xạ đi
từ X vào R thỏa mãn các điều kiện:
1) ||x|| ≥ 0 với mọi x ∈ X ;
2) ||x|| = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không);
3) ||λx|| = |λ|||x|| với mọi số λ ∈ P và mọi x ∈ X;
4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y ∈ X.
Số ||x|| được gọi là chuẩn ( hay độ dài) của vectơ x ∈ X. Một không
gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được
gọi là một không gian định chuẩn (thực hoặc phức, tùy theo P thực hay
phức).
Định lý 1.1.2. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Với mọi x, y ∈
X, đặt
d(x, y) = ||x − y||
Khi đó, d là một metric trên X.
7
Định nghĩa 1.1.7. Dãy (x
n
) trong không gian định chuẩn X được gọi
là hội tụ đến x
0
∈ X nếu lim
n→∞
||x
n

P . Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính
nếu A thỏa mãn:
1) A(x + y) = Ax + Ay, với mọi x, y ∈ X;
2) A(αx) = αAx, với mọi x ∈ X, α ∈ P .
A cũng được gọi là toán tử tuyến tính. Khi đó, nếu A chỉ thoả mãn 1)
thì A được gọi là toán tử cộng tính; nếu A chỉ thỏa mãn 2) thì A được
gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y = P thì toán tử tuyến tính A được gọi
là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.11. Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến
tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng
số c ≥ 0 sao cho:
||Ax|| ≤ c||x||, với mọi x ∈ X.
8
Định nghĩa 1.1.12. Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Kí hiệu
L(X, Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X
vào không gian Y . Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán:
• Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X, Y ) là toán tử, kí hiệu A + B, xác
định bởi biểu thức
(A + B)(x) = Ax + Bx, với mọi x ∈ X;
• Tích vô hướng của α ∈ P (P = R hoặc P = C) với toán tử A ∈
L(X, Y ) là toán tử, kí hiệu αA, được xác định bởi biểu thức
(αA)(x) = α(Ax).
Dễ kiểm tra được rằng A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và hai phép
toán trên thỏa mãn tiên đề tuyến tính. Khi đó, tập L(X, Y ) trở thành
một không gian tuyến tính trên trường P .
Định lý 1.1.3. Nếu Y là một không gian Banach thì L(X, Y ) là không
gian Banach.
1.1.3. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.13. Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P =
R hoặc P = C). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ

Ta gọi mỗi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert
H là không gian Hilbert con của không gian H.
10
1.2. Khái niệm về phương trình tích phân
1.2.1. Phương trình toán tử
Cho A là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn X vào
chính nó.
Định nghĩa 1.2.1. Phương trình dạng
Ag = f, (1.1)
trong đó f ∈ X cho trước, được gọi là phương trình loại I.
Phương trình dạng
g = λAg + f, (1.2)
trong đó f ∈ X cho trước, tham số λ ∈ P , được gọi là phương trình loại
II.
1.2.2. Phương trình tích phân
Định nghĩa 1.2.2. Phương trình dạng

b
a
K(t, s)g(s)ds = f(t), (1.3)
với K(t, s) là hàm số 2 biến (t, s) ∈ [a; b] × [a; b] cho trước, g là hàm số
liên tục trên đoạn [a; b], được gọi là phương trình tích phân tuyến tính
loại I.
Phương trình dạng
g(t) = λ

b
a
K(t, s)g(s)ds + f(t), (1.4)
11

Với mọi α, β ∈ R, với mọi g
1
, g
2
∈ C
[a;b]
, ta có
A(αg
1
+ βg
2
)(t)) =

b
a
K(t, s)[αg
1
(s) + βg
2
(s)]ds
= α

b
a
K(t, s)g
1
(s)ds + β

b
a

a
K(t, s)g(s)ds
trong đó, hàm K(t, s) gọi là nhân của các toán tử tích phân.
Nếu A là toán tử tích phân Fredholm thì tương ứng với (1.1) và (1.2) ta
có phương trình tích phân Fredholm loại I và loại II. Nếu A là toán tử
tích phân Volterra thì tương ứng với (1.1) và (1.2) ta có phương trình
tích phân Volterra loại I và loại II.
1.2.3. Một số điểm chú ý
1) Phương trình tích phân Volterra là trường hợp riêng của phương
trình tích phân Fredholm.
Thật vậy, đặt
˜
K(t, s) :=





K(t, s), a ≤ s ≤ t
0, t ≤ s ≤ b
thì ta có

t
a
K(t, s)g(s)ds =

b
a
˜
K(t, s)g(s)ds.

13
3) Phương trình tích phân Fredholm đặt không chỉnh theo nghĩa: chỉ
một kích động nhỏ của vế trái dẫn đến sự thay đổi lớn của nghiệm, thậm
chí làm cho phương trình vô nghiệm. Bởi vậy, trong giới hạn của đề tài,
giới hạn hiểu biết của riêng tác giả, và nhằm đạt được mục đích nghiên
cứu, luận văn này chỉ xét tới phương trình tích phân Fredholm loại II.
Chương 2
Một số phương pháp giải gần đúng
phương trình tích phân
2.1. Phương pháp nhân suy biến
2.1.1. Phương pháp
Kí hiệu X là không gian Banach. Trong X ta xét phương trình tích
phân Fredholm loại II
g(t) = f(t) + λ

b
a
K(t, s)g(s)ds (2.1)
trong đó, f là phần tử cho trước thuộc X.
Định nghĩa 2.1.1. Nhân K(t, s) của phương trình tích phân được gọi
là nhân suy biến nếu nó được biểu diễn dưới dạng
K(t, s) = K
n
(t, s) =
n

i=1
α
i
(t)β

n
(s)ds. (2.3)
Từ đó, nó dẫn đến phương pháp giải phương trình này về cơ bản phụ
thuộc vào việc lựa chọn tham số phức λ và
c
i
=

b
a
β
i
(s)g
n
(s)ds, (2.4)
ở đây, c
i
là hằng số chưa biết. Thay (2.4) vào (2.3) ta được
g
n
(t) = f (t) + λ
n

i=1
c
i
α
i
(t), (2.5)
và bài toán trở thành đi tìm c

−

b
a
β
i
(s)[f(s) + λ
n

k=1
c
k
α
k
(s)]ds = 0, (2.7)
với i = 1, 2, Đặt

b
a
β
i
(s)f(s)ds = f
i
,

b
a
β
i
(s)α











1 − λa
11
−λa
12
· · · −λa
1n
−λa
21
1 − λa
22
· · · −λa
2n
.
.
.
.
.
.
.
.

Như vậy, việc giải phương trình (2.1) với nhân suy biến gồm các bước:
1) Tính các tích phân:

b
a
β
i
(s)f(s)ds = f
i

b
a
β
i
(s)α
k
(s)ds = a
ik
2) Giải hệ đại số tuyến tính:
c
i
− λ
n

k=1
a
ik
c
k
= f

t)g(s)ds (2.11)
Lời giải. Nhân K(t, s) = st
2
+ ts
2
là nhân suy biến và chúng ta có
c
1
=

1
0
s
2
g(s)ds, c
2
=

1
0
sg(s)ds.
Phương trình (2.11) trở thành
g(t) = t + λc
1
t + λc
2
t
2
. (2.12)
Thế (2.12) vào (2.11) ta nhận được hệ phương trình đại số

+
1
4
c
2
(2.13)
Giải hệ (2.13) ta nhận được





c
1
=
60+λ
240−120λ−λ
2
c
2
=
80
240−120λ−λ
2
(2.14)
Từ (2.12) và (2.14) ta có nghiệm
g(t) =
[(240 − 60λ)t + 80λt
2
]

0
cos s x(s)ds. (2.17)
Thay (2.17) vào (2.16)
x(t) = cλ sin t + sin t = (cλ + 1) sin t. (2.18)
Thay (2.18) vào (2.17)
c =

π
2
0
(cλ + 1) cos s sin sds
=(cλ + 1)

π
2
0
cos s sin sds
=
1
2
(cλ + 1)

π
2
0
sin 2sds
= −
1
4
(cλ + 1) cos 2s

1
0
e
s
e
t
g(s)ds + t
Lời giải.
g(t) = λe
t

1
0
e
s
g(s)ds + t (2.19)
Đặt
c =

1
0
e
s
g(s)ds (2.20)
Thay (2.1.20) vào (2.1.19):
g(t) = λe
t
c + t (2.21)
Thay (2.1.21) vào (2.1.20)
c =

=
λc
2
e
2s



1
0
+ e
s
s



1
0
− e
s



1
0
=
cλ
2
e
2