NGUYỄN THÀNH ĐẠT
MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN
ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ ÁP
DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TOÁN
KHÓA LUÂN TỐT NGHIÊP ĐAI HOC
• • • •
Chuyên ngành: Giải tích
NGUYỄN THÀNH ĐẠT
MỘT SÓ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN
ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ ÁP
DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TOÁN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
• • • •
Chuyên ngành: Giải tích
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
’KHÒATOÁN’
HÀ NỘI -
Em xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy cô giáo đã quan tâm, dìu dắt
chúng em trưởng thành như ngày hôm nay. Trong suốt quá trình học tập tại khoa
Toán - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 em đã tiếp thu được nhiều tri thức, kinh
nghiệm, phương pháp học tập và được làm quen với nghiên cứu khoa học. Đó là
một hành trang cần thiết cho em bước vào đời.
Em xin gửi lời cám ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS. Khuất
Văn Ninh - người đã giúp đỡ và hướng dẫn tận tình trong suốt thời gian qua để em
có thể hoàn thành được khóa luận này. Thầy là một tấm gương về sự nghiêm túc
trong công việc, hiểu biết về toán học và sự đam mê nghiên cứu khoa học. Nhờ đó
em đã có ý thức và trách nhiệm để hoàn thành khóa luận của mình.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên
Nguyễn Thành Đạt

Em rất mong sự góp ý và cảm thông của các thầy cô giáo và bạn đọc để khóa
luận được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thành Đạt
Chương 1 KIẾN THỨC BỔ TRỢ
1.1. Không gian metrỉc
Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi là không gian metric một tập hợp X =£0 cùng với một
ánh xạd:XxX —» K. thỏa mãn các tiên đề sau:
1) d(x, y) > 0,d(x, j) = 0 X = y, v ớ i m ọ i x , y g X ;
2) d(x,y) = d(y, X), với mọi x,y GX;
3) d(x,y)<d(x,z)+d(z,y), vớimọi x,y,zeX;
Ánh xạ D được gọi là metric trên X. số D(X,Y)ĐUỢc gọi là khoảng cách giữa hai
điểm X và Y. Các phần tử của X gọi là các điểm. Các tiên đề 1), 2),
3) được gọi là hệ tiên đề metric.
Không gian metric ký hiệu là: M = (X,D).
Định nghĩa 1.1.2. Dãy điểm x
n
, n = 1,2, trong không gian metrỉc M =(X,d) gọi là
hội tụ tới điểm X
ữ
<=x khỉ n—>00, nếu
(Vs>0)(3n
0
gN n
0
) d(x
n
,x
0
)< s
Kỉ hiệu: li

trong X.
1.2. Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.2.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tỉnh định
chuẩn) là không gian tuyến tỉnh X trên trường p (P là trường sổ thực M. hoặc
trường sổ phức c) cùng với một ánh xạ từ X vào tập sổ thực M., kỉ hiệu
là I • I và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau:
1) | | jf || > 0 với m ọ i X G X ;
2) 1*1 = 0 o x = ỡ (0 là kí hiệu phần tử không của X);
3) U|.||*| với mọi ~x và mọi sổ ~P\
4) ||x +j|| <||x|| + ||j|| VỚI MỌI X,Y GX;
Số 1*1 gọi là chuẩn của vector jc; Kí hiệu không gian định chuẩn là X\ Các tiên
đề 1), 2), 3), 4) là hệ tiên đề chuẩn.
Định lí 1.2.1. Cho X là một không gian định chuẩn. Với mọi X, y e X, đặt
d(x,y) = \\x-y\\
Khi đó d là một metric ừên X.
• Không gian Banach
Định nghĩa 1.2.3. Dãy điểm (x
n
) trong không gian định chuẩn X gọi là một dãy cơ
bản nếu
n,m—>cc
11
Đ ị n h n g h ĩ a 1 . 2 . 4 . Giả sử không gian định chuẩn X là một không gian
metric đầy đủ (với khoảng cách d(x, y) = ||x — yll^. Khi đó X là một không gian
định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.
• Toán tử tuyến tính bị chặn
Định nghĩa 1.2.5. Cho hai không gian tuyến tỉnh X và Y trên trường p (P là trường
số thực K. hoặc trường số phức c). A là ánh xạ tuyến tỉnh từ không gian X vào
không gian Y nếu thỏa mãn:
1) AỤt + y) = Ax + Ay với mọi X, y e X;

Lấy một điểm bất kì Jt
0
e X, đặt x
n
= Ax
n
_
x
, n = 1,2, thì d(x
2
x
1
) = d(Ax
1
,Ax
0
)
< adi^Xo) < ad(Ax
0
,x
0
)
d
(
x
n
+
i,
x
n) = D(AX

0
,x
0
)J^a
n+j
J=0
j=0 n
n
= d(Ax
0
,x
0
)~
l-a
Do lima" =0 (0<a<l) nên limd(jc ,JC
B
) = 0, VpeN hay dãy (*
и
)”
=0
Л-*» n—>
^
là một dãy cơ bản ừong không gian metric đầy M. Do đó tồn tại giới hạn của
dãy (X
N
) trong không gian M, kí hiệu: lim;t
n
= X*.
n-*»
Với mọi neN ta có:

2
,x^) <
-
Vậy tồn tại duy nhất X* EX sao cho AX* =X*. □
1.4. Không gian C
M
Định nghĩa 1.4.1. Tập hợp các hàm số thực xác định và liên tục trên một đoạn
[a,b] với khoảng cách giữa hai phần tửx(t) vày(t) là
p(x, y) = max |*(f) - j(í)|
a<t<b ' '
l à k h ô n g g i a n C [ a b ] -
Không gian C[a b] là không gian định chuẩn với chuẩn xác định
■llrll = maxbt(í)| (1.1)
Định lí 1.4.1. Không gian C[ab] là không gian Banach với chuẩn (1.1).
Chứng minh
Giả sử K(0L là dãy cơ bản bất kì ừong C
[A
b]
, nghĩa là
(Vf>0)(Vn
0
eN I>N
0
):\\X
N
-X
M
\\<£
Suy ra Vm,n>n
0

) < ad(x
2
,x^) <
-
Hay max be, (f)-jc(f) \<£.
a<t<b "
1
Tức là dãy {*„(*)} hội tụ đều tới XỊT).
Vậy XỊT) liên tục ừên C
[A
b]
, X(T) G C
[A B]
và {*„(í)}”
=1
hội tụ tới X(T)
ữong C
[A
b]
. Nói cách khác C
[A B ]
là không gian Banach với chuẩn (1.1). □
1.5. Không gian L
p
[a,b]
Giả sử E là một tập nào đấy, F là một ơ - đại số các tập con của E, Ụ là
một độ đo trên F. Ta kí hiệu L
P
[E,FU] là tập tất cả các hàm XỊT) đo được theo
độ đo ỊX trên tập E sao cho

|jc(í)|
P
d/л< +00
E
=> k x ( t ) e L
p
[ E , j ũ \.
Dễ dàng kiểm tra được hai phép toán trên thỏa mãn hệ tiên đề tuyến tính nên
không gian L
P
[E, JU] trở thảnh không gian tuyến tính thực.
Với mỗi hàm số X(T) G L
P
[E,ỊŨ\ ta đặt
• |JC(Í) + J(Í)|
P
^
Ị|x(í)|
p
+|jơ)|
p
],
VíeE
1
.
]
( ỳỉ
||*ơ)|| = \\x{t)\
p
dự

q
dự
q
E VÌÉ /VỈ )
nếu các tích phân ừong bất đẳng thức (1.5) đều hữu hạn.
1.6. Phương trình toán tử tích phân
Cho A là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn X vào chính
nó.
Phương trình dạng: AX = F (1.6)
trong đó / cho trước, / e X, được gọi là phương trình loại I.
Phương trình dạng: Jt = ẴAX + F (1.7)
(1.
(1.
-
trong đó, / cho trước, /eX, tham số Ằ thuộc trường số thực R (hoặc trường số
phức c), được gọi là phương trình loại II, đôi khi còn được gọi là phương trình
Fredholm loại II.
• Nếu A là toán tử tích phân tuyến tính thì phương trình (1.6), (1.7) là
phương trình tích phân tuyến tính.
• Nếu A là toán tử tích phân nhưng không giả thuyết tuyến tính thì
phương trình (1.6), (1.7) là phương trình tích phân phi tuyến tính.
Ta thường xét X là không gian C
[A B ]
hoặc L^Ạ,B\.
Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
2.1. Phương pháp cầu phương
2.1.1. Phương pháp giải
Xét phương trình tích phân tuyến tính dưới dạng Fredholm : tìm hàm X
- X(í); t e [a,b] thỏa mãn phương trình

fi ’
i
=0,1,2,(2.5)
J=0
Trong đó k
ịị
=k(x
i
,x
J
Ỵ
t
fi=f(x
i
); ỉ, 7 = 0,1, 2, ,n.
x^xitị); ỉ' = 0,1,2,.„,n.
Sai số của phương pháp này tùy thuộc vào sai số của công thức lấy tích phân
(2.3).
Đầu tiên từ phương trình tích phân (2.2) ta thay T - TỊ {Ỉ - 0ta được:
i = 0, ,n; (2.6)
Sau đó áp dụng công thức cầu phương (2.3) ta được hệ phương trình đại số
tuyến tính:
x
(0 = A^AjkiXi'SjWSj) + /(tị) ỉ = 0; (2.7)
j=0
Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (2.7) ta được nghiệm của phương trình
tích phân loại II cho dưới dạng bảng số:
{*(*,.); i = 0, ,n}
Một số công thức tính gần đúng tích phân
Phụ thuộc vào cách chọn các công thức lấy tích phân (2.3) ta có thể có các hệ

2
+ t + l (I)
Đáp án
Áp dụng công thức Simpson với 2m=2, ta có:
2m=2; [ữ,z?l = [0,ll; /ỉ = — = 0,5.
L J L J
2 m
TỊ=A + IJV, ỉ'= 0,1,2.
Do đó í
n
= 0 ; t = 0 +1.— = —; í, = 0 + 2.— = 1;
u 1
2 2 2
„ „ ^ 1 „ 4/ỉ 2
3 6
;
A
~ 3 3’
Với / = / = 0,1,2 ta thay vào (I) ta có hệ phương trình sau:
b
X (tị) + À Ị k (tị, s)x(s)ds = f (tị) i = Q, ,n;
a
-
Áp dụng công thức simpson vào tính gần đúng tích phân với
:
í,; ' -
X(T;), ta có hệ phương trĩnh đại số tuyến túứi sau:
(
1
C

0
1
JC
0
+ j tan(5)jc(í)í/5 =
0
0
x
i
+\tmịị
0 V
J
X
2+ j
tan
í
0 V
H*
(s)
4
•
x(s)ds =
—
+ S
~
1 2 f5Ì 1 Í*')
<»
X +—tan
—
jc


2
'T
1
Í
5
Ì
X, + —tan
2
6 l
,3, *
0
+ —tan
3
^6,
JCj
+
—
tan
,3,
*
2
2 (1^ X, +
—tan —
X
1
+ — tan(l)jc
2

3 Uy