Sở gd&đt thanh hoá
Trờng THPT Hậu Lộc I đề thi học sinh giỏi lớp 12
Môn: toán bảng A
Thời gian: 180 phút
Bài1: ( 4 điểm)
Cho hàm số
222
2
++= xxmxy
1. Tìm các tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi m = 3
2. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại một điểm x
o
<-2
Bài 2: ( 4điểm)
1. Tìm m để nghiệm của bất phơng trình sau chứa đoạn
[ ]
2;1

0
13
2
13
2
2

+
+
xx
xxm
2. Giải bất phơng trình:


1
Bài 4: ( 2 điểm)
Tìm các đa thức f(x) thoả mãn:
x.f(x-1) = (x-3) f(x)
Bài 5: ( 6 điểm)
1. Lập phơng trình của Parabol (P) có tiêu điểm F(3;2) và đỉnh S(2;1).
2. Cho tứ diện OABC, đỉnh S có ba mặt vuông. Gọi H là hình chiếu của
O lên đáy ABC. Chứng minh rằng:
a)
2222
1111
OCOBOAOH
++=
b)
OABOACOBCABC
SSSS

++=
2222
®¸p ¸n ®Ò thi hsg líp 12
M«n: to¸n b¶ng A–
Bµi1:
1) (1,5®iÓm): Víi m =3 ta cã:
2232
2
+−+−= xxxy
TX§: D = R
TiÖm cËn xiªn bªn ph¶i
1
2232

−→
x
xxx
a
x
ω
(0,25®iÓm)
[ ]
352232lim
2
=++−+−=
−→
xxxxb
x
ω
(0,25®iÓm)
Ta cã tiÖm cËn xiªn bªn tr¸i y = -5x+3 (0,25®iÓm)
2) (2,5 ®iÓm): y
/
(x
o
) = 0
Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x
o
(0,25®iÓm)
y
//
(x
o
) < 0

0
22
)1(
2
0
0
2
0
3
0
2
0
0
2
0
0
m
x
xx
m
xx
m
xx
xm
(0,5 ®iÓm)
§Æt
1
222
)(
0

gi¶m (0,5 ®iÓm)
2)(lim
0
−=
−→
xg
x
ω
vµ g(-2) =
3
102
−
(0,5 ®iÓm)
VËy
3
102
−
< m < -2 (0,5 ®iÓm)
Bµi 2:
1.( 2 điểm): Với
[ ]
113
4
5
2;1
2
+ xxx
(0,25 điểm)
Đặt
4







4
5
;1t
(0,25 điểm)






<
+
+
=
4
5
;1;0
)(
24
)(
22
/
t
tt

()
1
2
(
64
2
2
64
2
22

+

+
+
++++ xxxx
m
m
m
m
(1) (0,25 điểm)
Đặt
2
t
tgm =
với
2
0

<< t

/
(t)

f(t) 2
32/45
Ta suy ra vế trái của (2)
ttt + ;1cossin
22
(0,25 điểm)
Vậy bất phơng trình đã cho có tập nghiệm là R (0,25 điểm)
Bài 3:
1.(2 điểm):
Điều kiện:
Zkkxk +<< ;2
2
2



(0,25 điểm)
Ta có 1 + cosx > 0 ; 1 + sinx > 0 (0,25 điểm)
Phơng trình
)sin1ln(coslog)cos1ln(sinlog
sincos
xxxx
xx
+=+
(0,25 điểm)
(*)
)cos1ln(

2
t
t
tf
+
=
với
)1;0(t
(0,25 điểm)

[ ]
0
)1ln()1(
ln)ln()(2ln
)(
/
<
++

=
ttt
ttttt
tf
với
)1;0(t
(0,25 điểm)
Hàm số f(t) nghịch biến
phơng trình (*) có nghiệm
xx cossin =
(0,25 điểm)

2
.
1
cos
22
+
=
(0,25 điểm)
k
k
ab
ba
k
k
C
1
2
.
1
cos
22


+

=
theo côsi (0,25 điểm)
2
22
12

Từ (2) ;(3); (4) ta suy ra f(x) chia hết cho x; x-1; x-2 (0,25 điểm)
Nên f(x) = x.(x-1).(x-2).P(x) (0,25 điểm)
Thay vào (1) ta đợc:
x.(x-1).(x-2).(x-3).P(x-1) = x.(x-1).(x-2).(x-3).P(x) (0,25 điểm)
P(x-1) = P(x) ; x
P(x) = C hằng số (0,25 điểm)
Vậy f(x) = x.(x-1).(x-2).C với C là hằng số (0,25 điểm)
Bài 5:1.(1 điểm)
Đờng thẳng SF là trục của (P) có phơng trình: x y - 1 = 0 (0,25 điểm)
Đờng chuẩn () của (P) có phơng trình: x + y - 1 = 0 (0,5 điểm)
Gọi điểm M(x;y) (P) FM = d(M; ) (0,25 điểm)
2
)1(
)2()3(
2
22
+
=++
yx
yx
(0,5 điểm)
x
2
+ y
2
- 2xy - 10x - 6y + 25 = 0 (*) (0,25 điểm)
(*) là phơng trình của Parabol (P) nhận điểm S làm đỉnh
và F là tiêu điểm (0,25 điểm)
2.(4điểm):
Gọi A

(2) (0,25điểm)
Từ (1) và (2) ta có:
2222
1111
OCOBOAOH
++=
(đpcm) (3) (0,25điểm)
Nhân hai vế của (3) với 9.V
2
OABC
ta có: (0,25điểm)
9.V
2
OABC
=OH
2
.(S
ABC
)
2
= OA
2
. (S
OBC
)
2
= OB
2
. (S
OAC

CC A
H
O

OABOACOBCABC
SSSS

++=
2222
(đpcm) (0,5 điểm)
(Chú ý: cách khác có thể chọn hệ toạ độ Oxyz gốc O)
Lu ý: Những cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa thoe mỗi ý, mỗi bài.