HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT. TỈNH QUẢNG NGÃI
ĐỀ THI MÔN TOÁN. KHỐI 11
NĂM 2015
Thời gian làm bài 180 phút
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT (Đề này có 1 trang, gồm 5 câu)

Câu 1 (4,0 điểm)
Cho
2 1k +
số nguyên lẻ
0 1 2
, , , ( )
k
a a a k ∈L ¥
. Chứng minh rằng phương trình
2 2 1
2 2 1 1 0
0
k k
k k
a x a x a x a
−
−
+ + + + =L
không có nghiệm hữu tỷ.
Câu 2 (4,0 điểm)
Cho dãy
( )
n

v
u
=
=
+
∑
. Tìm
lim
n
n
v
→+∞
.
Câu 3 (4,0 điểm)
Cho đường tròn (T) tâm O đường kính
2AB R=
và điểm I di động trên (T), (
,I A I B≠ ≠
). Gọi
1
( )O
,
2
( )O
là hai đường tròn nhận OI làm tiếp tuyến chung đồng
thời
1
( )O
tiếp xúc với (T) tại M và tiếp xúc với OA tại N;
2

. Gọi T là tập hợp
gồm tất cả các tập con không rỗng của S. Với mỗi tập hợp
X T
∈
, ký hiệu
( )m X

là trung bình cộng của tất cả các số thuộc
X
. Đặt
( )
| |
m X
m
T
=
∑
(ở đây tổng được
lấy theo tất cả các tập hợp
X T
∈
). Hãy tính giá trị của m.
hết
Người ra đề
Nguyễn Thanh Quang
Điện thoại liên hệ: 0983 901 825
ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN, KHỐI 11
Câu Ý Nội dung chính cần đạt Điểm
Câu 1
(4 điểm)

k k
q pp a qa qa p a
− −
−
+ + + + =L
(2)
1.0
Suy ra
2
2
k
k
a p qM
, vì
( , ) 1p q =
nên
2k
a qM
.
1.0
Tương tự ta có
0
a pM
.
0.5
Vì
02
,
k
a a

+ + − +
− = − =
− + + − −
0.5
Bằng quy nạp ta chứng minh được
3, 1
n
u n> ∀ >
0.5
Xét
1 2
1
2 4 ( 2)
0, 3
6 6
n n n
n n n n
n n n n
u u u
u u u u
u u u u
α
α α
+
+
+ + −
− = − = > ∀ ≥
− + − +
Do đó
( )

a a
α
α
+
+ +
= ⇒ = <
− +
(vô lí), suy ra
( )
n
u
không bị chặn trên. Vậy
lim
n
n
u
→+∞
= +∞
0.5
Từ (*) suy ra
1
1 1 1
2 2 4
n n n
u u u
α
+
= −
− − +
, hay

L
0.5
Vậy
1
lim li
1
1 ) 1
2
m (
n
n n
n
v
u
→+∞ →+
+
∞
= − =
−
0.5
Câu 3
(4 điểm)
Lời giải
0.5
a/
 Gọi
K
là giao điểm thứ hai của
MN
với đường tròn

AMB MN⇒
đi qua trung điểm
K
của cung
AB
.
Tương tự
HK
đi qua trung điểm
K
của cung
AB
⇒
đpcm.
0.5
0.5
b/
Ta có
·
·
·
·
// 45CD AB DNB ANF CNA ENB⇒ = = = = °

· ·
· ·
90NFK NEK FNE FKE FNEK= = = = °⇒
là hình chữ nhật.

2 2 2 2 3 2

= + ∈¢
0.5
Nếu
(0) 2f a=
thì
( )
(0) (2 ) (0) 2 2 2 4f f f a f a a a a= = + = + +
Mà
( )
(0) 2 4 2f f a= ⇒ =
(Vô lý), vậy
(0) 2 1f a= +
0.5
Ta có
( )
2 (0) (2 1) (1) 2f f f a f a= = + = +
Do
(1)f
+
∈¢
nên
0a
=
hoặc
1a
=
0.5
* Với
0a
=

 
⇒ =
 
+ = −
 
0.5
Câu 5
(4 điểm)
Với mỗi
[1,2, , 2014],x
∈
đặt
(X)
k
m m
=
∑
ở đây tổng được lấy theo tất cả
các tập hợp
X T
∈
mà
| |X k
=
.
1.0
Xét số a bất kỳ thuộc S, suy ra a có mặt trong
1
2013
k

k
k k k k
C
m m C C
k
−
= = = =
 
= = = =
 ÷
 
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
2014
2015
(2 1)
2
= −
1.0
Mà
2015
2015
| | (2 1)
2
T m
= − ⇒ =
1.0
Cách 2. Xây dựng song ánh từ T vào T như sau
( ) {2015- / } ( ) ( ( )) 2015X T f X x x X m X m f X∀ ∈ ⇒ = ∈ ⇒ + =

Suy ra