HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MÔN TOÁN
VÙNG DUYÊN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ KHỐI 11- NĂM 2015
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Thời gian làm bài 180 phút
TP ĐÀ NẴNG (Đề có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1. (4,0 điểm) Tìm tất cả các số thực
,x y
thỏa hệ:
1 1
, 0
2
1
x y
x y
x y
x y
+ +
ì
ï
>
ï
ï
ï
+ =
í
ï
ï
ï
³
ï
î

Câu 3. (4,0 điểm) Cho tam giác
ABC
nhọn có trực tâm
H
, nội tiếp đường tròn
( )
O
. Đường
thẳng
CH
cắt
AB
tại
D
. Đường thẳng qua
D
vuông góc với
OD
, cắt đường thẳng
BC
tại
.E
Đường tròn ngoại tiếp tam giác
BCH
cắt đường thẳng
AB
tại
F
(
F

Câu 5. (4,0 điểm) Cho các số nguyên dương
, ;m n
một bảng hình vuông kích thước
n n´
được
gọi là bảng “
m-
hoàn thiện” nếu tất cả các ô của nó được điền bởi các số nguyên không âm
(không nhất thiết phân biệt) sao cho tổng các số trên mỗi hàng và mỗi cột đều bằng
.m

Hỏi có tất cả bao nhiêu cách lập bảng “2015-hoàn thiện” kích thước 3x3 sao cho số nhỏ
nhất trong các số ở các ô trên đường chéo chính nằm ở vị trí tâm của bảng?
(Ô ở đường chéo chính của bảng là ô ở vị trí giao của dòng có số thứ tự tính từ trên xuống và
cột có số thứ tự tính từ trái sang bằng nhau; ô ở tâm bảng 3x3 là ô ở dòng thứ 2 và cột thứ 2).
HẾT

P N +BIU IM CHM MễN TON KHI 11
Cõu í Ni dung im
1 Ta chng minh nu cỏc s
,x y
tha món hai iu kin u thỡ
( ) ( )
1 1
1 1 ln 1 ln 0
x y
x y x x y y
+ +
Ê + + + Ê
Thay

1 1 1 1 1 1 1
0
2 2 2 2 2
f x
x x x
x
x
x x x x x x x x
ộ ự
ờ ỳ
= + - +
ờ ỳ
-
-
ờ ỳ
ở ỷ
ổ ử ổ ử
-
ữ ữ
ỗ ỗ
Ê + - + =- + Ê
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
- - - -
2,0
Do ú
( )

1, 1
n
x n=- "
nờn
lim 1
n
n
x
đ+Ơ
=-
0,5

Vi
1a ẽ -
thỡ
( ) ( )
3 3
1 1
2 2
1 1 1 1
1 2
1 , 2 , 2
3 9 7 3 9 7
n n
n n
n n n n
x x
x x n
x x x x
- -

= = "
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗỗ
ữ
ỗ
ố ứ
+ + +
ố ứ
T ú, tớnh c
( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 1
3 3
3 3
2 1 2
, 1
2 1
n n
n n
n
a a
x n
a a
- -
- -

a x n x
®+¥
=- Þ =- " ³ Þ =-
1,5
3

Gọi
,I J
lần lượt là giao điểm của đường thẳng
DE
với đường tròn
( )
,ABC
I

và
A
nằm cùng phía đối với
BC
. Vì
OD IJ^
nên
D
là trung điểm
IJ
.
Ta có
·
·
·

là hình bình hành, nên
·
·
IKJ IHJ=
.
0,5
Ta có
·
·
·
·
0
180IFJ IHJ IAJ IKJ+ = + =
nên các điểm
, , ,I F J H
nằm trên một
đường tròn.

0,5
Vì
IJ
là trục đẳng phương của hai đường tròn
( )
ABC
,
( )
IHJ
;
BC
là trục đẳng

1
2 4 ,f n m f n m f n n
f n
+ =- Þ + = " Î ¥
0,5
Với
1m =
, ta có
( ) ( ) ( ) ( )
*
4 4 , ,f n f n f n k f n k n+ = Þ + = " Î ¥

( )
( )
( )
( )
( )
*
1
1
2 ; 1 ,
1
f n
f n f n n
f n f n
-
+ =- + = " Î
+
¥


-
+ =- + = " Î
+
¥
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
2 2015 251.8 7 7 ;
3
f f f f
f
= = + = =-

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
1
3 2016 251.8 8 8
4
2 1
2 4 2 1
2 1
f f f f
f

( )
( )
( )
1
3 , 1
1
f n
f n n
f n
-
+ = " ³
+
Khi đó, chứng minh quy nạp thì hàm số xác định trên
*
¥
và

( ) { }
*
\ 1;0;1 ,f n nÎ - " Ρ ¥
hơn nữa theo chứng minh trên

( )
( )
1
6f n
f n
+ =-
,
( ) ( )

f
a
f f f f
f f a
+
-
= + = =- = = =
- +
Vậy hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
5 Ta giải bài toán trong trường hợp lập bảng “
m-
hoàn thiện” kích thước 3x3.
Gọi
, , ,x y z t
lần lượt là các số điền được ở đường chéo chính và ô ở vị trí dòng 1
cột 2 , khi đó các số còn lại ở các ô được xác định duy nhất như hình bên dưới
x
t
m x t- -
m z x y t+ - - -
y
x t z+ -
y t z+ -
m y t- -
z
2,0
Vì các số được điền là không âm và
y
là số nhỏ nhất trong các số ở đường chéo
chính nên các điều kiện sau phải thỏa

æ ö
+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è ø

Áp dụng với
2015m =
được kết quả là
2019
.
4
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è ø
2,0