HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ VIII
MÔN TOÁN - KHỐI 11
Ngày thi: 18/04/2015
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề này có 05 câu; gồm 01 trang)
Câu 1( 4 điểm ). Giải hệ phương trình
6 3 2 2 2
3 2 2 2
2 10
( , ).
4 (2 1) 28 3 2 4( 1) 4
x x y xy x y
xy
x y y x y xy

   



      



Câu 2 ( 4 điểm). Cho dãy số
 
2

,AB
.
,AX AY
lần lượt là
các đường kính của
 
O
1
và
 
O
2
. Gọi
O
là trung điểm của
XY
;
I
là điểm thuộc đường
phân giác của góc
XAY
sao cho
OI
không vuông góc với
XY
và
I
không thuộc hai đường
tròn. Đường thẳng đi qua
A

tại điểm thứ hai
L
.
1. Gọi
C
là giao điểm của
EF
với
IX
. Chứng minh rằng
OE
là tiếp tuyến của đường
tròn ngoại tiếp tam giác
CEK
.
2. Chứng minh rằng ba đường thẳng
,EK FL

và
OI
đồng quy.
Câu 4 (4 điểm). Tìm tất cả các hàm số
:f 
thỏa mãn:
11
( ( )) ( ) ( ) , ,
22
f x xy f y f x f y x y
  
      


   


      

Điều kiện :
 
10
042
10
04)1(4
0
2
22
22












(3)
0,5
Từ (2) và (3) ta suy ra :
4)2(2204242848
2236233
 yxyxxyxyx
 
4228248
2
263
 yxyxyx 
42424
2
263
 yxyxyx 
 
4222
2
2
3
 yxyx


0
0
y
x
hoặc







2
1
1
y
x
hoặc







2
1
1
y


1,0
Rõ ràng khẳng định đã đúng với
1
u
.
Giả sử đã có
2
1, 1
1
k
k
u k k
k
   


ta chứng minh
 
2
1
1
2
2
k
k
uk
k



2
1
( 1) 1
22
1 1 1
1
1
kk
k
k
kk
u u k k
k
k u k k
k



        
   



1,0
Vậy ta có
2
1, 1 lim 1
1
n
n

  
1 1 2 1

Do đó
,,O O E
1
thẳng hàng. Chứng minh tương tự ta có
,,O O F
2
thẳng hàng 0,5
Mặt khác
       
 
   
, , , ,
, , mod
CE CK AC AK AK CK AC AK
O E O K EO EK



   
  
1 1 1
2
1
22


(1) 0,5

Mặt khác

       
   
, , , ,
, mod
KE KA XE XA XE EA AE AX
AE AX


   

2
0,5
S
D
C
F

EK
và
FL

Vì 4 điểm
, , ,E F L K
cùng thuộc một đường tròn nên ta có
   
//

S CEK S DFL
SE SK SF SL P P  
(3)

0,5
Ta có
   
//

I CEK I DFL
IC IK ID IL IA P P   
2
(4)

0,5
Gọi
D
là giao điểm của
EF
với

cùng thuộc trục đẳng phương của hai
đường tròn
   
,CEK DFL
nên
,,S O I
thẳng hàng. Vậy 3 đường
thẳng
,,EK FL OI
đồng quy tại
.S0,5
*) Chú ý: Nếu HS không sử dụng góc định hướng thì phải xét các trường hợp
vị trí của điểm
I
(
I
nằm ngoài các đoạn
,XK YL
và
I
nằm trong các đoạn
,XK YL
)

Câu 4

Dễ thấy hàm

thì
f
là hàm hằng. Do đó:
11
( 1) 0 ( 1)
22
ff      

0,5
Ta sẽ chứng minh:
1
( ) 0 1
2
f x x    
.
Thật vậy, giả sử tồn tại
1a 
sao cho
1
()
2



.
Trong (1) chọn
1
()
2
, ( 1)
1
fy
xy
y

  

ta được:
1 1 1
( ) ( ) ( )
11
2 2 2
( . ( )) (f( ) )( ( ) )
1 1 1 2 2
1
()
1 1 1
2
(f( ) )( ( ) ) ( ) 0, 1
1 2 2 2
f y f y f y
f y f y f y

           


Suy ra
1
( ) , 1
2
f y y y    

Do
1
( 1)
2
f   
nên
1
( ) ,
2
f x x x   
.
Thử lại ta có hàm số cần tìm là
1
( ) ,
2
f x x x   
.



y t z

m y t

z
2,0

Vì các số được điền là không âm và
y
là số nhỏ nhất trong các số ở
đường chéo chính nên các điều kiện sau phải thỏa
, , , 0; ; ; ;
; min , ,
x y z t x t m x t z z y t m
x y t m z y x y z

Các điều kiện trên có thể rút gọn lại thành
0 min , , ; ; *y x y z x t m z y t

Khi đó

1,0

1,0

Chú ý khi chấm:
1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược bài giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập
luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho
điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất chi tiết nhưng không được quá số điểm dành cho câu,
phần đó.
2. Có thể chia điểm thành từng phần nhưng không dưới 0,25 điểm và phải thống nhất trong cả
tổ chấm. Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, không làm tròn điểm.
3. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi thống nhất trong tổ chấm và
ghi vào biên bản.