Tên đề tà i :
MỘ T SỐ KINH NGHIỆ M HƯỚ NG DẪ N HỌ C SINH GIẢ I
CÁ C BÀ I TOÁ N CỰ C TRỊ TRONG ĐẠ I SỐ LỚ P 8
I- LÝ DO CHỌ N ĐỀ TÀ I :
Trong trường phổ thông môn Toán có một vị trí rất quan trọng.
Các kiến thức và phương pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp
học sinh học tốt các môn học khác, hoạt động có hiệu quả trong
mọi lĩnh vực. Đồng thời môn Toán còn giúp học sinh phát triển
những năng lực và phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả
năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư
tưởng đạo đức và thẩm mỹ của người công dân.
Ở trưòng THCS, trong dạy học Toán: cùng với việc hình
thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các
định lí; thì việc dạy học giải các bài toán có tầm quan trọng đặc
biệt và là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp dạy
học Toán ở trường phổ thông. Đối với học sinh THCS, có thể coi
việc giải bài toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán.
Cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững
chắc các kiến thức cơ bản để học sinh có thể vận dụng vào làm bài
tập thì việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi là mục tiêu quan trọng
của ngành giáo dục nói chung và bậc học THCS nói riêng. Do đó
việc hướng dẫn học sinh kĩ năng tìm tòi sáng tạo trong quá trình
giải toán là rất cần thiết và không thể thiếu được.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán ở trường
THCS tôi đi sâu nghiên cứu nội dung chương trình và qua thực tế
dạy học tôi thấy: trong chương trình Toán THCS "Các bài toán về
cực trị trong đại số" rất đa dạng, phong phú và thú vị, có một ý
nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc học này.Ở
THPT để giải quyết các bài toán về cực trị đại số người ta thường
dùng đến "công cụ cao cấp" của toán học là: đạo hàm của hàm số.
Ở THCS, vì không có (hay nói chính xác hơn là không được phép

năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện khả năng vận
dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn, rèn luyện nếp nghĩ khoa
học luôn mong muốn làm được những việc đạt kết quả cao nhất,
tốt nhất.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.
1/ Thuậ n lợi :
- Luôn trau giồ i học hỏ i, dự giờ , gó p ý , rú t kinh nghiệ m từ
đồ ng nghiệp.
- Có sự hỗ trợ và độ ng viên củ a BGH nhà trườ ng và tổ chuyên
môn.
- Mạ ng thông tin internet có mộ t kho tà ng kiế n thứ c khổ ng lồ .
2/ Khó khăn :
- HS hệ bá n công yế u nhiề u về kiến thứ c, kỹ năng , ý thứ c học
tập không cao. Thiếu niề m tin trong học tập.
- Đa số HS thiế u nề n tả ng kiế n thứ c. Tư duy , suy luậ n không
cao.
3/ Điề u tra cơ bả n:
Trước thực trạng trên tôi đã điều tra học sinh qua khả o sát
chấ t lượ ng đầ u năm, kết quả cho thấy.
Năm Lớp
Sỉ
số
Giỏi Khá TB
Yếu-
kém
SL % SL % Sl % SL %
2009-2010
8.3 43 02 4,7 08 19,0 25 58,1 8 18,6
8.5 40 01 2,5 09 22,5 23 57,5 7
17,5

đổi thì có tìm được kết quả không. Từ những băn khoăn đó của
học sinh giáo viên khẳng định nếu không biến đổi như vậy thì
không trả lời yêu cầu của bài toán.
Sau đây tôi xin đưa ra một số kinh nghiệm hướng dẫn học
sinh giải các bài toán cực trị trong đại số 8.
B. Nộ i dung
1. Khái niệm về cực trị của một biểu thức
Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, , z) với x, y, , z thuộc
miền S nào đó xác định. Nếu với bộ giá trị của các biến
(x
0
, y
0
, z
0
)
∈
S mà ta có: P(x
0
, y
0
, z
0
)
≥
P(x, y, , z) hoặc
P(x
0
, y
0

0
, y
0
, z
0
). Tương
tự ta có: P đạt giá trị nhỏ nhất tại (x
0
, y
0
, z
0
)
∈
S còn gọi là P
đạt cực tiểu tại (x
0
, y
0
, z
0
) hoặc P
min
tại (x
0
, y
0
, z
0
).

0 ; (x - 2)
2
≥
0 nên A
≥
0.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0.
Lời giải trên có đúng không?
Giải

:
Lời giải trên không đúng. Sai lầm của lời giải trên là mới
chứng tỏ rằng A
≥
0 nhưng chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra
dấu đẳng thức. Dấu đẳng thức không xảy ra, vì không thể có đồng
thời:
x
2
= 0 và (x - 2)
2
= 0 .
Lời giải đúng là:
A = x
2
+ (x - 2)
2
= x
2
+ x

∀
x
Do đó A = 2 khi x = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 2 với x = 1.
3.

Kiến thức cần nhớ:
Để tìm cực trị của một biểu thức đại số, ta cần nắm vững:
a) Các tính chất của bất đẳng thức, các cách chứng minh bất
đẳng thức.
b) Sử dụng thành thạo một số bất đẳng thức quen thuộc:
* a
2

≥
0, tổng quát: a
2k

≥
0 (k nguyên dương)
Xảy ra dấu đẳng thức
⇔
a = 0
* -a
2

≤
0, tổng quát: -a
2k


b
≤
0)
*
2
1
≥+
a
a
,
∀
a >0 và
2
1
−≤+
a
a
,
∀
a <0
*
ab
baba
≥








: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ
LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC LÀ TAM THỨC BẬC
HAI.
Ví dụ 1

: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A(x) = x
2
- 4x + 1
Trong đó x là biến số lấy các giá trị thực bất kỳ.
Hướng dẫn giải

:
Gợi ý

: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) ta cần phải
biến đổi về dạng A(x)
≥
k (k là hằng số) với mọi gía trị của biến và
chỉ ra trường hợp xảy ra đẳng thức
Lời giải

: A(x) = x
2
- 4x+1
= x
2
- 2.2x+1
= (x

Hướng dẫn giải

:
Gợi ý

: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) ta cần phải
biến đổi đưa B(x) về dạng B(x)
≤
k (k là hằng số) với mọi giá trị
của biến khi đó giá trị lớn nhất của B(x)= k và chỉ ra khi nào xảy
ra đẳng thức
Lời giải

: B(x) = -5x
2
– 4x+1
= -5 (x
2
+
5
4
x) +1
= -5
1
5
2
5
2
5
2

4
5
2
5
2
+








−






+−
x
= -5
1
5
4
5
2
2





+
x

≥
0 nên -5
2
5
2






+
x

≤
0
suy ra: B(x)= -5
2
5
2




Ví dụ 3:

(Tổng quát)
Cho tam thức bậc hai P = ax
2
+bx + c
Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0
Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0
Hướng dẫn giải

:
Gợi ý

: Để tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của P ta cần phải
biến đổi sao cho P = a.A
2
(x) + k. Sau đó xét với từng trường hợp
a>0 hoặc a<0 để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất.
Lời giải

:
P = a.A
2
(x) + k
= a (x
2
+
a
b
x) + c

xa
+






+=
2
2
với
2
2
4a
b
ck
−=

Do
0
2
2
≥











+
a
b
xa
do đó P
≤
k
Vậy khi x = -
a
b
2
thì P có giá trị nhỏ nhất bằng k (nếu a>0)
hoặc giá trị lớn nhất bằng k (nếu a<0)
DẠNG 2

: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
GIÁ TRI LỚN NHẤT CỦA ĐA THỨC BẬC CAO:
Ví dụ4

:
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (x
2
+ x + 1)
2
Hướng dẫn giải


Ta có x
2
+ x +1 = x
2
+ 2x.
2
1
+
4
1
-
4
1
+ 1
=
2
2
1






+x
+
4
3

≥

:
Tìm giá trị nhỏ nhất của
x
4
– 6x
3
+ 10x
2
– 6x + 9
Hướng dẫn giải

:
Gợi ý:

-Hãy viết biểu thức dưới dạng A
2
(x) + B
2
(x)
≥
0
-Xét xem xảy ra dấu đẳng thức khi nào? Giá trị nhỏ
nhất của biểu thức bằng bao nhiêu?
Lời giải

: x
4
- 6x
3
+ 10x

x 3
x 3 0
x 3 0
x 3

=

 − =
=

− =


 
⇔ ⇔ ⇔
=
   

=
− =
− =





=

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3
Đáp số


: Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta tính giá trị của A
trong các khoảng nghiệm. So sánh các giá trị của A trong các
khoảng nghiệm đó để tìm ra giá trị nhỏ nhất của A.
Lời giải
+ Trong khoảng x < 1 thì
( )
( )
x 2 x 2 2 x
x 5 x 5 5 x
A 2 x 5 x 7 2x
− = − − = −
− = − − = −
⇒ = − + − = −
Do x < 2 nên -2x > -4 do đó A = 7 - 2x >3
+ Trong khoảng 2
≤
x
≤
5 thì

( )
x 2 x 2
x 5 x 5 5 x
− = −
− = − − = −

⇒
A = x - 2 + 5 - x = 3
+ Trong khoảng x > 5 thì


A x 2 x 5 x 2 5 x
= − + − = − + −
Ta có:
x 2 5 x x 2 5 x 3
− + − ≥ − + − =

( ) ( )
x 2 0
A 3
5 x 0
x 2 5 x 0 2 x 5

− ≥

= ⇔

− ≥


⇔ − − ≥ ⇔ ≤ ≤
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi 2
≤
x
≤
5
DẠNG 4

: BÀI TOÁN TÌM GTNN, GTLN CỦA PHÂN
THỨC CÓ TỬ LÀ HẰNG SỐ, MẪU LÀ TAM THỨC BẬC HAI

414)2(
3
2
++− xx
=
4 1)-(2x
3
2
+
Ta thấy (2x - 1)
2

≥
0 nên (2x - 1)
2
+ 4
≥
4
Do đó:
4 1)-(2x
3
2
+
≤

4
3
Trả lời:

Vậy M lớn nhất bằng

1
2
+
= -
3 1) -(x
1
2
+
Vì (x - 1)
2

≥
0 => (x + 1)
2
+ 3
≥
3
=>
3 1) -(x
1
2
+

≤

3
1
=> -
3 1) -(x
1

−
x
Mẫu thức x
2
- 3 có giá trị nhỏ nhất là -3 khi x = 0
Nhưng với x = 0 thì
3
1
2
−x
= -
3
1
không phải là giá trị lớn nhất
của phân thức
Chẳng hạn với x = 2 thì
3
1
2
−x
= 1 > -
3
1
Như vậy từ -3 < 1 không thể suy ra -
3
1
>
1
1
Vậy từ a < b chỉ suy ra được

1
1
+x
. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Lời giải

: Ta có: x
2
+ x + 1 = (x
2
+ 2x + 1) - (x +1) + 1
= (x + 1)
2
- (x + 1) + 1
Do đó A =
−
+
+
2
2
)1(
)1(
x
x
+
+
+
2
)1(
)1(

2
1
)
2
+
4
3
=
2
2
1






−y
+
4
3

≥

4
3
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng
4
3
khi và chỉ khi:

:
Gợi ý

: Ta có thể viết A dưới dạng tổng của một số với một
biểu thức không âm. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Lời giải:
( ) ( ) ( )
2
22
2
2
2
2
14
12363
14
144
1
1
+
+−+++
=
+
++
=
+
++
=
x
xxxx

4
3






+
−
+=
x
x
A
A=
4
3
+






+
−
)1(2
1
x
x

2
)(
k
xA

≤
0)
Ví dụ 10

:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M
(x)
=
32
1063
2
2
++
++
xx
xx
(Với x thuộc tập hợp số thực)
Hướng dẫn giải

:
Gợi ý

: Từ M
(x)
=

x
2
+ 2x + 3 được không? Vì sao?
Trả lời

: Vì x
2
+ 2x + 3 = x
2
+ 2x + 1 + 2 = (x+1)
2
> 0 với
mọi giá trị của x. nên sau khi chia cả tử và mẫu cho x
2
+ 2x + 3 ta
được
M(x) = 3 +
2)1(
1
2
++x
(?) Bài toán xuất hiện điều gì mới?
Trả lời:

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2)2(
1
2
++x
(?) Hãy tìm giá trị lớn nhất của

2)1(
1
2
++x

≤
3 +
2
1
= 3
2
1
Dấu “=” xảy ra khi x+1=0 hay x=-1
Vậy giá trị lớn nhất của M(x) = 3
2
1
khi và chỉ khi x=-1
Đáp số

: M(x)
Lớn nh ấ t
=3
2
1
với x = -1
IV- KẾ T QUẢ
Để giải quyết các bài toán về cực trị đại số ở lớp 8 các em
phải biến đổi đồng nhất các biểu thức đaị số, phải biến đổi và sử
dụng khá nhiều các hằng đẳng thức đáng nhớ từ dạy đơn giản đến
phức tạp. Ngoài ra còn liên quan mật thiết đến các kiến thức

8.3 42 02 4,8 10 23,8 26 61,9 4 9,5
8.5 40 04 10,0 12 30,0 22 55,0 2 5,0
V- KẾ T LUẬ N - BÀ I HỌC KINH NGHIỆ M:
Với đề tài “ Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán
cực trị trong đại số” Tôi đã cố gắng hệ thống một số dạng cơ bản
nhất về các bài toán cực trị trong đại số 8. Trong mỗi giờ dạy tôi
có đưa ra cơ sở lí thuyết và những ví dụ trong mỗi ví dụ đó có gợi
ý và hướng dẫn học sinh cách giải và những chú ý cần thiết để khi
gặp các ví dụ khác các em có thể giải được.
Các dạng bài tập đưa ra từ dễ đến khó, từ đơn giản đến
phức tạp nhằm giúp cho học sinh có những kiến thức cơ bản về
giải bài toán cực trị trong đại số 8. Bên cạnh đó tôi còn đưa ra các
ví dụ là các bài toán tổng hợp các kiến thức và kĩ năng tính toán,
khả năng tư duy ở cấp học này, qua đó làm cho các em say mê
hứng thú học tập bộ môn Toán.
Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy vẫn có rất nhiều học
sinh còn bỡ ngỡ trong qúa trình giải các bài toán cực trị, lập luận
chưa có căn cứ, suy diễn chưa hợp logic và đặc biệt là một số
dạng chưa phù hợp với học sinh trung bình, yếu.
Mặc dù có rất nhiều cố gắng nhưng do thời gian không
nhiều, do trình độ năng lực của bản thân và tài liệu tham khảo còn
hạn chế lại chưa có kinh nghiệm trong lĩnh vực nghiên cứu khoa
học nên trong cách trình bày không tránh khỏi những sơ xuất thiếu
sót . Rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp ý của các thầy , cô và
và bạn đồng nghiệp để tôi có thể rút kinh nghiệm trong quá trình
giảng dạy của mình trong thời gian sau.
Xé t duyệ t củ a Hiệu Trưở ng Tam Hiệp , ngày 08 tháng 9 năm
2011
Người viết
PHẠ M VĂN ĐỨC