1 | P a g e

Luyện tập – Đại số 12: Cực trị hàm số

Tóm tắt kiến thức về cực trị hàm số
2 | P a g e

3 | P a g e 4 | P a g e

5 | P a g e Một số bài tập tham khảo
Bài 1. Cho hàm số
3 2 2 3

2
3 2 2
2 6 1 0
3 2 2
m
OA OB m m
m

  
     

  



Vậy có 2 giá trị của m là
3 2 2m   
và
3 2 2m   
.
Bài 2. Cho hàm số
3 2 3
34y x mx m  
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y =

yx
x
x
 

    



 Bảng biến thiên

 Đồ thị

7 | P a g e 2) Ta có: y’ = 3x
2
 6mx = 0 
0
2
x
xm






Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m  0.

; m = 0
Kết hợp với điều kiện ta có:
2
2
m 

Bài 3. Cho hàm số
4 2 2
21y x m x  
(1).
1) Với m = 1, khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1).

8 | P a g e

2) Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C và diện tích tam
giác ABC bằng 32 (đơn vị diện tích).
Hướng dẫn
1) Với m = 1 hàm số là:
42
21y x x  

 TXĐ: R
 Giới hạn, đạo hàm:
lim lim
xx
yy
 
  

3

9 | P a g e 2) Ta có y’ = 4x
3
– 4m
2
x ; y’ = 0

22
0x
xm





; ĐK có 3 điểm cực trị : m

0
Tọa độ ba điểm cực trị : A(0 ; 1), B(- m ; 1 – m
4
), C(m ; 1 – m
4
) ;
CM tam giác ABC cân đỉnh A. Tọa độ trung điểm I của BC là I(0 ; 1 – m
4
).
5
4


 Sự biến thiên:
   
2
22
1 4 3
'1
22
xx
y
xx

  

,
1
'0
3
x
y
x






.

10 | P a g e

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận xiên y = x – 1
 Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
   
;1 , 3; ; 
hàm số nghịch biến trên mỗi
khoảng
   
1;2 , 2;3

Cực trị: Hàm số đạt giá trị cực trị: y
CĐ
= 1 tại x = 1; y
CT
= 3 tại x = 3.
 Đồ thị

2) Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(
2 ;2 2 )m m m  
; B(
2 ;2 2 )m m m  

Khoảng cách từ A và B tới d bằng nhau nên ta có phương trình:

11 | P a g e

22m m m m    

0

''(2) 0
y
m
y


  




Với m =1 => y = x
3
-3x + 2 (C)
 TXĐ: D = R
 Chiều biến thiên:
2
0
' 3 6 , y' = 0
2
x
y x x
x


  





3
4
x
y

Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
Bài 6. Cho hàm số y = x
3
+ ( 1 – 2m)x
2
+ (2 – m )x + m + 2 . (C
m
)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
2) Tìm m để đồ thị hàm số (C
m
) có cực trị đồng thời hoành độ cực tiểu nhỏ hơn 1.
Hướng dẫn
1) Với m = 2 ta được y = x
3
– 3x
2
+ 4
Bạn đọc có thế tự làm
1) Hàm số có cực trị theo yêu cầu đầu bài khi và chỉ khi thỏa mãn 2 ĐK sau:
y
’
=0 có 2 nghiệm pbiệt x
1
< x

15
m

Kết hợp 2 ĐK trên ta được… Đáp số
 
;1m  
57
;
45





Bài 7. Cho hàm số
   
4 2 2
2 2 5 5y f x x m x m m      

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 1
2) Tìm các giá trị của m để ®å thÞ hµm sè có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam
giác vuông cân.
Hướng dẫn
1) Với m = 1
 TXĐ: D =
R13 | P a g e


 
;1
, nghịch biến trên mỗi khoảng mỗi
khoảng
 
1;
và
 
1;0

Hàm số đạt cực tiểu tại
0;1 
CT
yx
, đạt cực đại tại
1;0 
CD
yx

 Đồ thị
Điểm uốn:
412''
2
 xy
, các điểm uốn là:






4
2
-2
-4
-5
5

2) Ta có
   
3
2
0
' 4 4 2 0
2
x
f x x m x
xm


    




Hàm số có CĐ, CT khi f’(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu :

14 | P a g e

m < 2 (1) . To cỏc im cc tr l:


21
, xx
sao cho
2
21
xx
.
Hng dn
1) Với
1m
ta có
196
23
xxxy
.
Tập xác định: D = R
Sự biến thiên
Chiều biến thiên:
)34(39123'
22
xxxxy

Ta có






1


yy
xx
lim;lim
.
Bng bin thiờn

15 | P a g e  §å thÞ:
§å thÞ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm
)1,0( 
.
1 2 3 4
-1
1
2
3
x
y
O

2) Ta cã
.9)1(63'
2
 xmxy

Hµm sè ®¹t cùc ®¹i, cùc tiÓu t¹i
21

2
m
m
m

)1(

Theo ®Þnh lý Viet ta cã
.3);1(2
2121
 xxmxx
Khi ®ã
   
41214442
2
21
2
2121
 mxxxxxx)2(134)1(
2
 mm

Tõ (1) vµ (2) suy ra gi¸ trÞ cña m lµ
313  m
vµ
.131  m


22
lim lim ( 2 2) lim (1 )
lim
xx
x
x
y x x x
xx
y
 


       
 

 Lập bảng biến thiên
3
0 (0) 2
' 4 4 ; ' 0
1 ( 1) 1
xy
y x x y
xy
  

   

    



()m
để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị lập thành 3 đỉnh của một tam giác
vuông.
4 2 2
22y x m x  

32
' 4 4y x m x

m=0

3
' 4 0 0y x x   

hàm số không có 3 cực trị

m=0 loại
4
0 (0) 2
0 ' 0
| | ( | |) 2
xy
my
x m y m m
  

   

     





kết hợp m

0 được
1m

Bài 10. Cho hàm số
m
y x m (Cm)
x2
  


1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
2) Tìm m để đồ thị (Cm) có cực trị tại các điểm A, B sao cho đường thẳng AB đi qua gốc
tọa độ 0.
Hướng dẫn
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (bạn đọc tự làm)
2) Ta có:
2
22
m m (x 2) m
y x m y' 1
x2
(x 2) (x 2)

      


(m 0)
2 m 4 m
    


 2x  y  2 + m = 0
AB qua gốc O (0, 0)   2 + m = 0  m = 2.
Cách khác:
2
x (m 2)x m u
y
x 2 v
  


;
2
m
y' 1
(x 2)



y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt  m > 0

19 | P a g e

Khi m > 0, pt đường thẳng qua 2 cực trị là
/
/