Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
BÀI GIẢNG SỐ 05: KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
A. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính khoảng cách
Loại 1:Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Phương pháp: Cho điểm M và đường thẳng (d) có VTCP
u
và đi qua điểm
0
M
. Khi đó khoảng
cách từ điểm M đến đường thẳng (d) được cho bởi:
0
;
,
MM u
d M d
u
x y z
d
Bài giải:
a. Gọi
u
là VTCP của đường thẳng (d)
7; 5;1
u
và
0
4; 3;0 ( )
M d
Ta có:
0
2; 6;1
MM
và
0
2;1; 1 ( )
M d
Ta có:
0 0
4; 2; 2 ; 8; 10; 6
MM MM u
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) là:
64 100 36 10 2
,
3
1 4 4
d M d
bằng 2.
Bài giải:
Vì
1
1 ; ;4
M d M t t t
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Đường thẳng
2
d
có VTCP
1;2;0
u
,
1 4 5
t t t
t t
d M d
Mà
2
, 2
d M d
2
2 2
81 28 41
2 81 28 41 2 5 81 28 41 20
5
t t
t t t t
2
Do M thuộc Ox nên M (t; 0; 0)
; 1;0 ; 2;2 ; 2
AM t AM u t t
2
;
5 4 8
,
3
AM u
t t
d M
u
Ta có:
1
và
2
Bài toán 1: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Phương pháp:
Bước 1: Lấy một điểm M thuộc và đường thẳng
1
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Bước 2:Khi đó
1
và
2
Bài giải:
1
có VTCP
1
1; 2;1
u
và qua
1
2; 1; 2
M
1
và
2
song song với nhau nên
1 2 1 2
, ,d d M
1 2 2
2
;
M M u
u
4;2;1
d
u
Vì đường thẳng (a) và (d) cùng nằm trong mặt phẳng (P) và hai đường thẳng đó cách nhau một
khoảng là nên (a) // (d)
đường thẳng (a) có VTCP là
4;2;1
u
x 2 4t
d: y 3 2t
z 3 t
Phương trình đường thẳng
2 3
: 3 9
3 6
x t
y t
z t
Lấy
Bài toán 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Phương pháp:
Bước 1: Đường thẳng
1
đi qua
1
M
và có VTCP là
1
u
, đường thẳng
2
qua
2
M
và có VTCP là
2
u
Bước 2: Khi đó
và
2
2 3
: 2 3 .
3
x t
d y t
z t
Bài giải:
1
d
có VTCP
2
2; 2;0
M
1 2 1 2
1; 1; 1 , ; 3; 3;0
M M u u
1 2 1 2
; . 0
u u M M
Vậy
1 2
, 0
b) Gọi MN là đoạn vuông góc chung của hai đuờng thẳng. Hãy viết phương trình đường
vuông góc chung MN Bài giải:
a.
1
d
có VTCP
1
1; 1;2
u
và qua điểm
1
1;1; 2
M
2
d
có VTCP
2
d
về dạng tham số:
4 2 '
8 '
8 '
x t
y t
z t
Gọi
1 2
1 ;1 ; 2 2 , 4 2 ';8 ';8 '
M t t t d N t t t d
0;2; 4 , 8;4;14
M MN
Phương trình đường thẳng MN là
8
2 4
4 14
x t
y t
z t
Bài giải:
Chuyển (
) về dạng tham số:
1
: 2
2
x t
y t
z t
Lấy
1 ; 2 ;2
M M t t t
Ta có
Ví dụ 2: Cho ba điểm
3; 2;3 , 1;0;5 , 7;2; 2
A B C
và đường thẳng
1 2 3
:
1 2 2
x y z
d
a. Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng (d) để
2 2
MA MB
đạt giá trị nhỏ nhất
b. Tìm tọa độ điểm N trên đường thẳng (d) để
NA NB NC
MI MI IA IB MI
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Từ đó ta thấy
2 2
MA MB
đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, tức là M là hình chiếu của I
trên (d)
Chuyển (d) về dạng tham số:
1
: 2 2 ,
3 2
x t
d y t t R
z t
Vậy
2;0;5
M
b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
1;0;2
G
Ta có:
3 3
NA NB NC NG NG
.
Từ đó ta thấy
NA NB NC
đạt giá trị nhỏ nhất khi NG nhỏ nhất, tức là N là hình chiếu của
G trên (d)
Gọi (P) là mặt phẳng qua G và vuông góc với (d).Khi đó (P) có VTPT là
1; 2;2
n u
. Khi
Vậy
1;2;3
N
Ví dụ 3: (A_2008) Trong hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) và đường
thẳng:
1 2
:
2 1 2
x y z
d
a) Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.
b) Viết phương trình mặt phẳng
( )
chứa d sao cho khoảng cách từ A đến
( )
lớn nhất.
Bài giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (d)
1 2 ; ;2 2 2 1; 5;2 1
H t t t AH t t t
Vì
. 0 2 1 2 2 2 1 0 1
AH d AH u t t t t
Vậy
3;1;4
H
b. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên
( )
1 3 4 1 1 4 0 4 3 0
x y z x y z
Dạng 2: Tính Góc
Loại 1: Tính góc giữa hai đường thẳng
Phương pháp:Cho đường thẳng
1 2
,
d d
lần lượt có VTCP là
1 1 1 1 2 2 2 2
( ; ; ), ; ;
u a b c u a b c
. Khi đó góc
tạo bởi hai đường thẳng
a a bb c c
a b c a b c
Chú ý:
a. Điều kiện cần và đủ để
1 2
d d
là
1 2 1 2 1 2
os 0 0
c a a b b c c
b. Trong nhiều bài toán ta lại áp dụng kết quả sau của hình không gian, bằng cách thực hiện các
bước:
Bước 1: Tìm góc, ta đi tìm điểm I nào đó thỏa mãn:
1
4;1; 1
A
căt
và tạo với
một góc bằng
0
45
,
biết
0
: 1 ,
1
x
y t t R
z t
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và chứa
. Khi đó VTPT của (P) được xác định bởi:
; 2;4; 4
p
n AB u
. Chọn
1; 2;2
p
n
Vì (d) cắt
nên
c
u u
a b c
2 2
2 2 2 2
2 2 2 5 2 0
b c b c b c b bc c
2
2
b c
c b
Với b = 2c thì a = 2c nên
,
t R
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Với c = 2b thì a = -2b nên
2 ; ;2
d
u b b b
. Chọn
2;1;2
d
u
. Khi đó phương trình đường thẳng (d)
là:
4 2
: 1
và tạo với trục Ox góc 60
0
.
Bài giải:
Goi (d) là đường thẳng cần tìm và (d) có VTCP
; ;
u a b c
1
d
có VTCP là
1
2;1;4
u
, trục Ox có VTCP là
2
1;0;0
.
. 1
u u
a
c
u u
a b c
2 2 2
3
b c a
2 2 2 2
4 16 16 3
a c ac c a
2 2
16 17 0 8 47
a ac c a c
Chọn
1, 8 47 20 2 47
c a b
Loại 2: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Phương pháp:Mặt phẳng (P) có VTPT
1 1 1
( ; ; )
n a b c
, đường thẳng (d) có VTCP là
2 2 2
; ;
u a b c
. Khi đó
góc tạo bởi đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) là
với 0
( )
d P
là
1 2 1 2 1 2
sin 0 0
a a bb c c
Ví dụ 1:Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
a)
1 2
: 1 3
2
x t
d y t
z t
và
: 2 2 1 0.
.
n u
n u
b)
2 3 1 0
:
2 0
x y z
x y z
và
:3 1 0.
x y z
. Khi đó:
.
12 5 1
6
sin
77
16 25 1. 9 1 1
.
n u
n u
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với
A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc
A C MN A C MN
Mặt phẳng (P) đi qua điểm A’(0; 0; 1), nhận
1;0;1
n
là VTPT có phương trình là:
1 0 0 0 1 1 0 1 0
x y z x z
Vậy
2 2 2
1
0 1
1
Do đó, (Q) có dạng:
ax 0
by a b z a b
Mặt phẳng (Q) có VTPT là
; ;
n a b a b
, mặt phẳng Oxy có VTPT
0;0;1
k
Vì góc giữa (Q) và Oxy là
mà
1
os =
a b
b a
Với
2
a b
. Chọn
1, 2
b a
( ): 2 1 0
Q x y z
Với
2
b a
. Chọn
1, 2 ( ) : 2 1 0
a b Q x y z
. Tính khoảng cách
từ M đến (P), biết
6
MC
ĐS:
1
6
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (2; 5; 3) và đương thẳng
1 2
:
2 1 2
x y z
d
a. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đương thẳng (d)
b. Viết phương trình mặt phẳng
( )
chứa (d) sao cho khoảng cách từ A đến
( )
lớn nhất.
ĐS: a. H (3; 1; 4) b. x – 4y + z – 3 = 0
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai đường
thẳng
1 2
0
60
.
Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. ĐS:
3
.
3
S BCNM
V a ,
2 39
,
13
a
d AB SN
Bài 5:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d):
1 3 3
1 2 1
x y z
và mặt phẳng
( ):2 2 9 0
P x y z
a. Tìm tọa độ điểm I thuộc (d) sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2
b. Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng (d) và mp(P). Viết phường tham số của đường
thẳng
Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi,
AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết
2;0;0 , 0;1;0 , 0;0;2 2
A B S
. Gọi M là trung điểm của SC.
a. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM
b. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN
ĐS: a)
0
2 6
30 , ,
3
d SA BM
b)
.
2
S ABMN
V
Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên
mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mp
(ABC) bằng
0
: 1 0
P y z
. Xác định b, c biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và
khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng
1
3
ĐS:
1
2
b c
Bài 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh
1;2;1 , 2;1;3 , 2; 1;1
A B C và
0;3;1
D . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho
khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) ĐS:
x y z
Copyright: Tài liệu đại học ©