Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm- Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
I. Các công thức tính đạo hàm
2
2
2
2
1
8. ln '
'
ln '
1
9. log '
ln
'
log '
ln
10.(sin )' cos
u u u
x
cx
u
u
cu
x
x
u
u
u
14.
'
2
''
( )' ' '; ; ' ' '
()Fx
+C cũng là nguyên hàm của
()fx
và
()Fx
+C được gọi là họ
tất cả các nguyên hàm của
()fx
Kí hiệu:
( ) ( )f x dx F x C
Ví dụ: Tính
BÀI 1. NGUYÊN HÀM
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 1. Nguyên hàm thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê
Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 1. Nguyên hàm, Bạn cần kết hợp
xem tài liệu cùng với bài giảng này.
1
1
'
Cx C
xx
u u u
xx
u
uu
x
x
u
u
u
ee
e e u
a a a
a a a u
x dx
x
e dx
c xdx
dx
x c x
2
2
2
3
6. tan
7. sin 2 . os3
8. os
9. sin
2cos
10.
1 sin
xdx
x c xdx
c xdx
) ) ) 8
5 3 2 2
a y x b y x c y x x
x
Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2 3 3
) ( 3 )( 1) ) ( 3) ) ( 2 )( 1)a y x x x b y x c y x x x
Bài 3: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2 2 2
42
( 2) ( 1)
))
xx
a dx b dx
xx
Bài 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2 2 3
1
) 2 1 ) (2 3 ) 3a x x x x dx b x x x x dx
x
Nguồn: Hocmai.vn
BÀI 1. NGUYÊN HÀM
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Nguyên hàm thuộc khóa học Toán 12 –
Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo
viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1. Nguyên hàm. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó
làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này. Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
3
2
2
2
2 1 1 1 5
) ) ) 8
5 3 2 2
a y x b y x c y x x
x
Bài 3: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2 2 2
42
( 2) ( 1)
))
xx
a dx b dx
xx
Giải:
Khai triển các hằng đẳng thức, áp dụng cách tách:
a b a b
c c c
3
23
1 2 4 1
) ) 2
33
x
a C b x C
x x x x
, biết rằng
2
1
) '( ) 4 à (4) 0 ) '( ) 2 à (1) 2a f x x x v f b f x x v f
x
Giải:
BÀI 1. NGUYÊN HÀM
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Nguyên hàm thuộc khóa học Toán 12 –
Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo
viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1. Nguyên hàm. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó
làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này. Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 - Trước tiên ta tìm nguyên hàm của các hàm số, sau đó ta thay x để tìm ra C.
22
8 40 1 3
) ) 2
3 2 3 2 2
0
a
bc
a
b c a b c
ab
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm – Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
u
u du C
du
uC
u
e du e C
a
a du C
a
2
2
6. cos sin
7. sin cos
8. tan
3
3
32
1. ( 1) .
cos
2.
(3 sin )
3. 9 .
x x dx
x
dx
x
x x dx
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
BÀI 02. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHẦN 01)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 02. Các phương pháp tính nguyên hàm (Phần 01)
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài
02. Các phương pháp tính nguyên hàm (phần 01), Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.
mx x x m dx
xx
3.
3
2 log 2sin2 3cos4
xx
me a x x x dx
4.
2
3 tanx+3x-2
x
dx
x
Bài 2: Tìm họ các nguyên hàm sau:
a.
2
2
2( 1)
23
x
dx
xx
b.
2
22
44
x dx
xx
c.
2
32
23
x
dx
xx
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 02. Các phương pháp tính nguyên hàm
(Phần 01) thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra,
củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 02. Các phương pháp tính nguyên hàm
(phần 01). Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này. Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm- Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Bài 1: Tìm họ các nguyên hàm sau:
1.
3
4 3 2
1
42
4
x x x x dx
2.
Giải:
1.
5
3
4 3 2 5 4 2
3
1 1 4 3 1
4 2 . 2
4 20 3 5 2
x x x x dx x x x x x C
2.
3
3 2 4 3
2
3 2 2
4 5 2 4 5
3 1 7 1 7
2 4 3 2. 2.
m m m
mx x x m dx x x x mx C
x
Bài 2: Tìm họ các nguyên hàm sau:
a.
2
1
44
dx
xx
b.
2
1
9 12 4
dx
xx
c.
2
1
32
dx
xx
9 12 4 9 9 9 6
22
9
3
33
dx dx dx C
x x x
x
xx
c.
2
1 1 1 1 1 2
ln 2 ln 1 ln
3 2 2 1 1 2 2 1 1
x
dx dx dx dx x x C
x x x x x x x
11
4
44
dx dx dx dx
x x x
x
xx
41
1 1 1 1 1
ln 1 ln ln ln
1
3 4 3 3 4 1
4
x
x
c.
2
32
23
x
dx
xx
d.
2
23
44
x
dx
xx
Giải:
a.
2
2
2 2 2
c. Cách 1.
Ta có :
2 2 2
22
3 2 2 2
2 3 2 3 2 3
E x D
x E D E
x x x x x x
. Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ phương trình :
2 2 2
3
3
22
23
3 2 1
2
2
2
2 2 2
23
3 2 3 1 3
ln 2 3 1
2 3 2 2 3 2 3 2
d x x
x
dx dx x x J
x x x x x x
Tính :J=
2
1 1 1 1 1 1 1
ln 1 ln 3 ln
2 3 4 1 3 4 4 3
x
dx dx dx x x C
x x x x x
A x B x A B x A B
x x A B
x x x x x x x x x x
Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ :
5
3
4
3 2 7
4
A
AB
AB
B
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 - +) Phân tích f(x) đễn (*) .Sau đó thay hai nghiệm x=1 và x=3 vào hai tử số để tìm A,B , cụ thể ta có hệ hai
phương trình sau :
5
3.1 2 (1 3)
4
3( 3) 2 ( 3 1) 7
4
A
A
B
B
2 2 2
2 3 2 4 7
4 4 4 4 4 4
xx
x x x x x x
.
Vậy :
2
2
22
2 3 2 4 1 7
7 ln 4 4
4 4 4 4 2
2
xx
dx dx dx x x C
x x x x x
x
Bài 4: Tìm họ các nguyên hàm sau:
1
Ta có :
os x+
os x+ osx+sin x+ sinx
4
44
( ) 2 2
sinx.cos x+ sinxcos x+
44
cx
cc
F x dx dx
Cách 2 : Dựa trên đặc thù của hàm số f(x)
Ta có:
2
2
1 1 1 1
( ) 2 2 2
cosx
sinx sinx-cosx sin x cotx-1
sinxcos x+ sin x 1-
4 sinx
F x dx dx dx dx
6. Ba kỹ năng cơ bản
a) Kỹ năng đưa vào dấu vi phân
( ) '( )d f x f x dx
Chú ý:
()dx d x C
Bài tập mẫu: Tìm nguyên hàm (tiếp)
2
2 2 2
3
2
4. 5.
( 3) 1
x
x
ex
I dx I dx
e x x
3
22
1
6. 7. tan 8.
2 15 sin (2 cot )
I dx I dx
e x x
6
32
5) 6)
3 ( 4)
xx
I dx I dx
xx
c) Kỹ năng tách
Bài tập mẫu: Tính tích phân
22
1) 2)
4 9 8
dx dx
II
x x x
Bài 1: Tìm nguyên hàm của hàm số :
a.
( ) os3xcos5xf x c
b.
( ) tanx.tan tan
33
f x x x
Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số :
a.
3
( ) sin .sin3f x x x
b.
33
( ) sin . os3x+cos .sin3f x xc x x
Bài 3 : Tìm nguyên hàm của hàm số :
a.
2
( ) tanf x x
b)
22
1
()
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 03. Các phương pháp tính nguyên hàm
(Phần 02) thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra,
củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 03. Các phương pháp tính nguyên hàm
(phần 02). Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này. Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm – Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Bài 1: Tìm nguyên hàm của hàm số :
a.
( ) os3xcos5xf x c
b.
( ) t anx.tan tan
33
f x x x
2
1 1 1
sinx. cos2x-cos
os2x.sinx+ sinx sin3 sinx sinx
sin3
3
2 2 2
1 1 1
2
os3x
cos2x.cosx- osx os3x+cosx osx
osx cos2x+cos
2 2 2
3
cx
x
3
( ) sin .sin3f x x x
b.
33
( ) sin . os3x+cos .sin3f x xc x x
Giải:
a. Ta có :
32
3sin sin3 3 1
( ) sin .sin3 sin3 sin3 .sinx- sin 3
4 4 4
xx
f x x x x x x
3 1 3 1 3 1
os2x-cos4x 1 os6x os2x+ os6x- os4x-
8 8 8 8 8 8
c c c c c
.
BÀI 03. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHẦN 02)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
c
f x x c x x c x
33
os3xsinx+sin3xcosx sin4
44
cx
Do đó :
33
( ) sin4 os4x+C
4 16
I f x dx xdx c
Bài 3 : Tìm nguyên hàm của hàm số :
a.
2
( ) tanf x x
b)
22
1
()
sin . os
fx
22
1
()
sin . os
fx
x c x
Sử dụng kĩ thuật thêm bớt
22
1 sin osx c x
ta có:
22
2 2 2 2 2 2
1 sin os 1 1
()
sin . os sin . os os sin
x c x
fx
x c x x c x c x x
Khi đó
2 2 2 2
11
( ) tan cot
os sin os sin
dx dx
f x dx dx x x C
Khi đó
33
22
1 1 1 1 2 1 2
( ) 2 2 2 2 . ( 2) . ( 2)
4 4 4 4 3 4 3
f x dx x x dx x dx x dx x x C
Bài 5: Tìm nguyên hàm
a.
3
1
x
dx
x
. 4 7b x x dx
Giải:
33
2
b)
1
4 7 (4 7) 7 4 7
4
x x dx x x dx
3 1 5 3
2 2 2 2
1 1 2 2
(4 7) 7(4 7) (4 7) (4 7) 7. (4 7)
16 16 5 3
x x d x x x C
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
I
x
. d.
3
2
1
dx
I
x
Bài 2: Tính tích phân bất định sau
a.
8
22
23I x x dx
b.
3
1
x dx
x
I dx
x
g.
2
0
dx
Ia
xa
h.
12
dx
I
xx
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau:
a.
2
e.
22
sin
x
I e xdx
f.
3x
I xe dx
g.
22x
I x e dx
h.
2
2 lnI x x xdx
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
BÀI 04. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHẦN 03)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 04. Các phương pháp tính nguyên hàm
c.
2
2
1
x dx
I
x
. d.
3
2
1
dx
I
x
Giải
a. Đặt : x = sint ; t
; ostdt
22
dx c
dx t x
d t t C C
tx
x
b. Vì :
2
2
2
2 3 1 2x x x
, nên
Đặt :
2
1
1 2 tan ; ; 2. ;tan
2 2 os
2
dt x
x t t dx t
ct
1 ostdt ostdt
.
sint-1 sint+1
22
cc
.
Khi đó :
2
1 ostdt ostdt 1 sin 1
ln
sint-1 sint+1 sin 1
2 2 2 2
23
dx c c t
C
t
xx
(*)
.
Vì điều kiện :
1x
, nên ta xét hai trường hợp :
BÀI 04. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHẦN 03)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 04. Các phương pháp tính nguyên hàm
(Phần 03) thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra,
củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 04. Các phương pháp tính nguyên hàm
(phần 03). Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này. Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyền đề 03. Nguyên hàm – Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 - Với x>1
Đặt
2
1 2cos2
; 0;
sin 2 4 sin 2
tdt
x t dx
=
2 2 2
1 1 1 2 1
cot . tan . .
4 sin os tan os
t t dt
t c t t c t
Vậy :
22
1 2 1 1 1
cot . (cot ) tan . (tan ) . (tan ) cot tan 2ln tan
4 tan 4 2 2
I I t d t t d t d t t t t C
t
1
x
x dx x x dx x x I a
x
Tích phân :
2 2 2
2
ln 1 1 ln 1
1
dx
K x x I x x I x x
x
2 2 2 2
11
2 1 ln 1 1 ln 1
22
I x x x x I x x x x C
d. Tính tích phân:
3
2
1
c
ct
xt
.
Khi đó :
32
2
ostdt sin
1
1
dx x
I c t C C
x
x
Chú ý :
1. Sở dĩ trong ví dụ trên có kết quả như vậy vì :
22
2
2
1
ost= ;sin
1+x 1
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 - a.
8
22
23I x x dx
b.
3
1
x dx
x
c.
2
52
3
12x x dx
d.
3
sin osxI x c dx
e.
h.
12
dx
I
xx
Giải
a.
8
22
23I x x dx
Đặt :
8
2 2 2 8 8 9
2
6
21
2 3 2 3 2
2
33
3
b.
3
1
x dx
x
Đặt : t=
3
2
2
2
2 4 6
12
1
1 2 1 2 3
2
1
t tdt
xt
x dx
x t t t dt
t
dx tdt
x
c.
2
52
3
12x x dx
Đặt : t =
3
2 3 2 2 2
3
13
1 2 1 2 2
22
t
x t x x xdx t dt
Do đó :
3
2
5 2 2 2 7 4
3
1 3 3
1 2 .
2 4 8
320
x x x C
d.
3
sin osxI x c dx
Đặt : t =
2
osx osx 2tdt=-sinxdxc t c
.
Do đó :
3 2 4 6 2
sin osx 1 os osxsinxdx= t 1 2 2x c dx c x c t tdt t t dt
.
Vậy :
3 6 2 7 3 3
2 2 2 1
sin osx 2 os osx osx osx+C
7 3 7 2
I x c dx t t dt t t C c x c c c
Suy ra :
32
22
1
osx.sin 1 sin .2sin . osx.dx 1 1 1
1
1 sin 2 1 sin 2 2
t dt
c x x xc
dx dt
x x t t
.
Vậy :
3
22
2 2 2 2 2 2
2
8 8 8
os os sin 1 sin 1 sin sin
os
sin sin sin
c x c x x x x x
cx
x x x
Đặt : t =
2
22
2
1
sin
cot
1
1 cot 1
sin
dt dx
x
x
xt
x
2 4 6 3 5 7
8
os 1 2 1
2
sin 3 5 7
cx
I dx t t t dt t t t C
x
. Thay : t = cotx vào .
g.
2
0
dx
Ia
xa
Đặt :
2
2
xét hai trường hợp :
Với :
10
1.
20
x
x
x
Đặt :
12t x x
Suy ra :
1 1 1 1 2
22
12
1 2 1 2
tdx dt dx
dt dx
t
xx
Đặt t =
12xx
Suy ra :
1 1 1 1 2
22
1 2 1 2 1 2
tdx dt dx
dt dx
t
x x x x x x
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyền đề 03. Nguyên hàm – Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5 -
2
2
ln 1 .
1
xdx
I x x
x
.
Đặt :
2
2
22
2
2
1
ln 1
1
11
1
1
x
u x x
dx
2 2 2 2
. 1ln 1 1ln 1I u dv x x x dx x x x x C
b.
2
ln osx
os
c
I dx
cx
Ta viết lại :
2
ln osx .
os
dx
Ic
cx
Đặt :
.
Khi đó :
2
1
tanx.ln cosx 1 tanx.ln cosx tanx-x+C
os
I dx
cx
c.
2
sinx xdx
Ta có :
2
Thay vào (1) :
22
1 1 1 1 1
sin 2 os2x sin2 os2x
4 2 2 4 4 2
x
I x x c x x x c C
d.
32
2 3 sinxI x x x dx
1 2 1 2 1 2 1
- a 3 2 sinx 2x a b x b c x c d
Đồng nhất thức ta được :
2 2 1 2
1 2 2 1 1 2
1 2 2 1 1 2
1 2 2 1 1 2
0 1 1; 0
3 0 3 1 1; 3
2 0 2 2 4; 2
0 3 1; 4
a a a a
a b a b b b
b c b c c c
c d c d d d
(1)
Tính :J=
2
3 2 2 osxdxx x c
Đặt :
2
1
2
1
1
1
62
3 2 2
sinx 3 2 2 6 2 sinxdx 2
osxdx
sinx
du x dx
K c c c x
dv v c
Thay các kết quả tìm được lần lượt vào (2) và (1) ta tính được I
J=
22
sinx 3 2 2 osx 6x-2 6sin sinx 3 2 4 6 2 osxx x c x x x x c
I=
3 2 2
osx 2 3 sinx 3 2 4 6 2 osxc x x x x x x c
os2xdx
x
ec
.
Đặt :
2 2 2
2
2x
2sin 2
os2x
11
os2x+ sin 2 os2x+K 2
1
22
dv=e
2
x x x
x
du xdx
uc
J e c e xdx e c
ve
dx
2
x x x
x
x
du xdx
ux
K e x e c e x J
ve
dv e dx
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyền đề 03. Nguyên hàm – Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 7 -
Thay vào (1) ta được : I=
2 2 2
1 1 1 1 1
. sin 2 os2x 1 sin 2 os2x
4 2 4 4 2
x x x
e e x c e x c C
f.
3x
I xe dx
Đặt :
3 3 3 3
3
3
1 1 1 1
1
3 3 3 9
3
x x x x
x
2
2
11
.1
1
22
2
x x x
x
x
du xdx
ux
I x e x e dx x e J
ve
dv e dx
Thay vào (1) ta được : I=
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 1
2 2 4 4
x x x x
x e xe e C e x x C
* Chú ý :
Qua hai ví dụ trên ta thấy số lần lấy tích phân từng phần bằng với số bậc của đa thức P(x). Nghĩa là : số
bậc của P(x) càng cao thì số lần lấy tích phân từng phần càng nhiều .
h.
2
2 lnI x x xdx
Suy ra :
3 2 3 2 3 2 2
1 1 1 1
ln ln
3 3 3 3
dx
I x x x x x x x x x dx xdx
x
I
3 2 3 2
1 1 1
ln
3 9 2
x x x x x C
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
9 5 3
ln
3) (1 ) 4)
(3 ln )
x
I x x dx I dx
xx
( 1)
5)
1
xx
x
ee
I dx
e
b) Tích phân từng phần
*) Công thức:
I udv uv vdu
*) Các dạng bài tập
Đặt
ln ( )
()
f x u
P x dx dv
Bài tập mẫu: Tính tích phân
2
2
ln
1) .ln(5 ) 2)
( 1)
x
I x x dx I dx
x
Kí hiệu
()
b
a
f x dx
- Dấu
gọi là dấu tích phân
a : cận dưới, b : cận trên
()f x dx
gọi là biểu thức dưới dấu tích phân
()fx
: gọi là hàm lấy tích phân
:x
biến lấy tích phân
Người ta dùng kí hiệu
()
b
a
Fx
để chỉ hiệu F(b) – F(a)
Do đó ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
+ Nếu
;ab
thì
( ) ( ) ( )
bb
aa
f x dx f x dx f x dx
+
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du
3. Các ví dụ minh họa
1. ĐHKD – 2005 : Tính tích phân :
2
sin
0
cos cos
x
Copyright: Tài liệu đại học ©